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離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用1第2章謂詞邏輯2.1謂詞邏輯的基本概念2.2謂詞合式公式2.3謂詞公式的解釋和分類2.4謂詞演算的關(guān)系式2.5前束范式2.6謂詞演算的推理22.1謂詞邏輯的基本概念2.1.1個(gè)體詞和謂詞定義2.1.1個(gè)體詞是指可以獨(dú)立存在的客體,可以是一個(gè)具體的事物或抽象的概念,是原子命題所描述的對(duì)象。

謂詞是用來(lái)說(shuō)明個(gè)體的性質(zhì)或個(gè)體間的關(guān)系。例如,小王是個(gè)大學(xué)生

3大于23謂詞個(gè)體詞個(gè)體詞個(gè)體詞謂詞謂詞

形如“b是A”類型的命題可表達(dá)為A(b);表示多個(gè)個(gè)體間關(guān)系的命題,可表達(dá)為B(a,b),或P(a,b,c)定義2.1.2

和一個(gè)個(gè)體相聯(lián)系的謂詞稱為一元謂詞,和二個(gè)個(gè)體相聯(lián)系的謂詞稱為二元謂詞,和n個(gè)個(gè)體相聯(lián)系的謂詞稱為n元謂詞。

個(gè)體常元

表示具體的或特定的個(gè)體,如a,b,c,

等;個(gè)體變?cè)?/p>

表示抽象的或泛指的個(gè)體,如x,y,z,

等。

謂詞常項(xiàng)

表示具體性質(zhì)或關(guān)系的謂詞,R(a)表示a是人;

謂詞變項(xiàng)

表示抽象或泛指的謂詞

,如:P(a)表示a具有P性質(zhì)。4謂詞表達(dá)式和命題函數(shù)定義2.1.3

一個(gè)原子命題可以用一個(gè)謂詞常項(xiàng)P和幾個(gè)個(gè)體常元,如a,b,c,

,表示成P(a,b,c,

)的形式。稱P(a,b,c,

)為原子命題或命題的謂詞表達(dá)式。

一個(gè)謂詞常項(xiàng)P和幾個(gè)個(gè)體變?cè)鐇,y,z,

表示成P(x,y,z,

)的形式,稱為命題函數(shù),其中的個(gè)體變?cè)梢源砣我庖粋€(gè)個(gè)體。注意:命題的謂詞表達(dá)式是有真值的,命題函數(shù)的真值是不確定的。5例題寫(xiě)出下列命題的謂詞表達(dá)式。

1.小王和小李是大學(xué)生。解:設(shè)A(x):x是大學(xué)生。a:小王,b:小李。

A(a)

A(b)2.

北京是中國(guó)的首都。解:設(shè)F(x,y):x是y的首都。a:北京,b:中國(guó)。F(a,b)3.如果你來(lái),他就走。解:設(shè)P(x):x來(lái)。Q(x):x走。a:你,b:他。

P(a)

Q(b)6例題(續(xù))4.如果3

2,2

1,則3

1。解:設(shè)B(x,y):x

y。a:3,b:2,c:1。則

B(a,b)

B(b,c)

B(a,c)武漢位于北京和廣州之間。解:設(shè)Q(x,y,z):y位于x和z之間。a:北京,b:廣州,c:武漢。Q(a,c,b)7個(gè)體域定義2.1.4命題函數(shù)中,個(gè)體變?cè)娜≈捣秶Q為個(gè)體域或論述域。

個(gè)體域可以是有限的,也可以是無(wú)限的。把宇宙中一切事物作為對(duì)象的的集合稱為全總個(gè)體域。通常,沒(méi)有特別說(shuō)明時(shí),個(gè)體變?cè)恼撌鲇蚴侵溉倐€(gè)體域。如:A(x)表示:x是大學(xué)生。個(gè)體域:華工計(jì)科1班學(xué)生,則A(x)是永真式。個(gè)體域:華工附中1班學(xué)生,則A(x)是永假式。個(gè)體域:xx公司員工,其中有些是大學(xué)生,有些不是大學(xué)生,則對(duì)有些人,A(x)為真,對(duì)有些人,A(x)為假。8例題給出執(zhí)行語(yǔ)句“If

P(x)then

x:=1”以后x的值,其中P(x)為語(yǔ)句“x

1”,且執(zhí)行到該語(yǔ)句時(shí)x的值如下:1)x=02)x=13)x=2解1)若x=0,P(x)為語(yǔ)句“0

1”,真值為0,不執(zhí)行賦值語(yǔ)句“x:=1”,所以x=0。2)若x=1,P(x)為語(yǔ)句“1

1”,真值為0,不執(zhí)行賦值語(yǔ)句“x:=1”,所以x=1。3)若x=2,P(x)為語(yǔ)句“2

1”,真值為1,執(zhí)行賦值語(yǔ)句“x:=1”,所以x=1。92.1.2量詞定義2.1.5表示個(gè)體常元或個(gè)體變?cè)g數(shù)量關(guān)系的詞稱為量詞。量詞有兩種:全稱量詞

符號(hào):

x表示對(duì)個(gè)體域“所有的x”,“每一個(gè)x”,“一切x”等。存在量詞

符號(hào):

x表示個(gè)體域中“存在這樣的x”,“某個(gè)x”,“至少有一個(gè)x”或“有一些x”等。

xF(x)表示個(gè)體域中所有個(gè)體都有性質(zhì)F

xF(x)表示個(gè)體域中存在個(gè)體有性質(zhì)F10例題假設(shè)F(x)表示x選修離散數(shù)學(xué),x的個(gè)體域是這個(gè)班的同學(xué),將下面的兩個(gè)命題符號(hào)化。這個(gè)班的所有學(xué)生都選修離散數(shù)學(xué)這個(gè)班有些學(xué)生選修離散數(shù)學(xué)解

當(dāng)個(gè)體域是這個(gè)班的同學(xué)時(shí):

xF(x)

xF(x)若個(gè)體域是全總個(gè)體域時(shí),要引入一個(gè)新的謂詞表示個(gè)體的取值范圍。稱這個(gè)表示個(gè)體范圍的謂詞為特性謂詞。11例題假設(shè)F(x)表示x選修離散數(shù)學(xué),將下面的兩個(gè)命題符號(hào)化。這個(gè)班的所有學(xué)生都選修離散數(shù)學(xué)這個(gè)班有些學(xué)生選修離散數(shù)學(xué)解

(沒(méi)有特別說(shuō)明時(shí)個(gè)體域是全總個(gè)體域)設(shè)特性謂詞S(x):表示x是這個(gè)班的同學(xué),

x(S(x)

F(x))

x(S(x)

F(x))注意:在使用全稱量詞時(shí),

特性謂詞和表示個(gè)體性質(zhì)的謂詞構(gòu)成條件關(guān)系式;

在使用存在量詞時(shí),特性謂詞和表示個(gè)體性質(zhì)的謂詞構(gòu)成合取關(guān)系式。12例題在個(gè)體域分別為:(a):自然數(shù)集合,(b):實(shí)數(shù)集合時(shí),將下列命題符號(hào)化,并給出它們的真值。對(duì)于任意的x,均有x2?3x+2=(x?1)(x?2);存在x,使得x+5=2。解

假設(shè)F(x):x2?3x+2=(x?1)(x?2),G(x):x+5=2。(a)個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)集合。符號(hào)化為:

xF(x),真值為1。符號(hào)化為:

xG(x),真值為0。(b)個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù)集合。符號(hào)化為:

xF(x),真值為1。符號(hào)化為:

xG(x),真值為1。13例題用謂詞邏輯將下列命題符號(hào)化。所有的偶數(shù)均能被2整除。解

設(shè)A(x):x是偶數(shù),B(x):x能被2整除。

x(A(x)

B(x))這個(gè)班有些學(xué)生有電腦。解設(shè)A(x):x是這個(gè)班的學(xué)生,B(x):x有電腦。

x(A(x)

B(x))。14例題(續(xù))沒(méi)有不犯錯(cuò)誤的人。解設(shè)A(x):x是人,B(x):x犯錯(cuò)誤。

x(A(x)

B(x))。盡管有人聰明,但未必一切人都聰明。解設(shè)A(x):x是人,B(x):x聰明。

x(A(x)

B(x))

x(A(x)

B(x))15例題(續(xù))5.有些人喜歡某些體育運(yùn)動(dòng)。解

設(shè)A(x):x是人,B(y):y是體育運(yùn)動(dòng),

C(x,y):x喜歡y。

x(A(x)

y(B(y)

C(x,y)))。6.并非所有的工作都可以由一些機(jī)器人來(lái)完成。解設(shè)A(x):x是工作,B(x,y):x可以由y來(lái)完成,

R(x):x是機(jī)器人。

x(A(x)

y(R(y)

B(x,y)))。16量詞當(dāng)論述域中的元素個(gè)數(shù)有限時(shí),例如,論述域?yàn)閚個(gè)元素的集合{a1,a2,a3,

an}時(shí),有

x

A(x)

A(a1)

A(a2)

A(a3)

A(an)

x

A(x)

A(a1)

A(a2)

A(a3)

A(an)17例題若P(x)是語(yǔ)句“x2>10”,論述域?yàn)椴怀^(guò)4的正整數(shù),

xP(x)和

x

P(x)的真值是什么?

由于論述域?yàn)閧1,2,3,4},命題

xP(x)為

x

P(x)

P(1)

P(2)

P(3)

P(4)而P(1)即“12>10”為假,所以

x

P(x)為假。命題

xP(x)為

x

P(x)

P(1)

P(2)

P(3)

P(4)而P(4)即“42>10”為真,所以

x

P(x)為真。18例題設(shè)P(x,y)表示“x+y>10”,論述域?yàn)閷?shí)數(shù),

x

yP(x,y)和

y

xP

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