2022-2023學(xué)年湖北省鄂州市吳都中學(xué)高三線上測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年湖北省鄂州市吳都中學(xué)高三線上測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．2．在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成.某班級(jí)從名男生，，和名女生，，中各隨機(jī)選出兩名，把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為（）A． B． C． D．5．如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)位于第一象限），過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C．4 D．38．已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．9．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B．C． D．10．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．11．設(shè)，且，則（）A． B． C． D．12．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為__________．14．直線過圓的圓心，則的最小值是_____.15．已知二面角α﹣l﹣β為60°，在其內(nèi)部取點(diǎn)A，在半平面α，β內(nèi)分別取點(diǎn)B，C．若點(diǎn)A到棱l的距離為1，則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為_____．16．如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，，殘缺部分位于過點(diǎn)C的豎直線的右側(cè)，現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個(gè)直角三角形，若該直角三角形一條邊在上，則裁出三角形面積的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求m的值.18．（12分）如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．19．（12分）如圖，三棱臺(tái)中，側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，證明：∥平面；（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（12分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求幾何體的體積.21．（12分）設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，且，其中p為常數(shù)．（1）求p的值；（2）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（3）證明：“數(shù)列an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x＝1，且y＝2”．22．（10分）4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動(dòng)．學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組（每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書小組）學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查．各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：小組甲乙丙丁人數(shù)12969（1）從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自同一個(gè)小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)，，去絕對(duì)值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，設(shè)，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．2、C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理，用來表示，然后利用數(shù)量積公式，簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，所以又所以則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式，掌握公式，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.3、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對(duì)數(shù)式比較大小，屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)組合知識(shí)，計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為，然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為，最后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對(duì)平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細(xì)心計(jì)算，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.5、A【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為，所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式應(yīng)用，屬于中檔題6、C【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．7、A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，再由模的定義計(jì)算出模．【詳解】．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程．【詳解】由拋物線y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2x．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長(zhǎng)為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的，如圖，故其表面積為，故選：B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．10、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將與對(duì)比，即可求出結(jié)論.【詳解】由題知，，則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小，注意與特殊數(shù)的對(duì)比，屬于基礎(chǔ)題..11、C【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解，屬于簡(jiǎn)單題目.12、D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期，根據(jù)周期公式求出，求出，根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求出，即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的是的圖像的運(yùn)用，在解答此類題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件，計(jì)算三角函數(shù)的周期、最值，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的中等馬，結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.14、【解析】

直線mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），可得m+n＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1.∴（）（m+n）＝22+2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號(hào).∴則的最小值是4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

作A關(guān)于平面α和β的對(duì)稱點(diǎn)M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對(duì)稱性三角形ADC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)長(zhǎng)度最短，結(jié)合對(duì)稱性和余弦定理求解.【詳解】作A關(guān)于平面α和β的對(duì)稱點(diǎn)M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對(duì)稱性三角形ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當(dāng)M，B，C，N共線時(shí)，周長(zhǎng)最小為MN設(shè)平面ADE交l于，O，連接OD，OE，顯然OD⊥l，OE⊥l，∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根據(jù)余弦定理，故MN2＝1+1﹣2×1×1×cos120°＝3，故MN．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查求空間三角形邊長(zhǎng)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對(duì)稱關(guān)系，結(jié)合解三角形知識(shí)求解.16、【解析】

分兩種情況討論：（1）斜邊在BC上，設(shè)，則，（2）若在若一條直角邊在上，設(shè)，則，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】（1）斜邊在上，設(shè)，則，則，，從而.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，符合.（2）若一條直角邊在上，設(shè)，則，則，，由知.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，.當(dāng)，即時(shí)，最大.故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意分類討論把所有情況考慮完全，屬于一般性題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）先求導(dǎo)，再對(duì)m分類討論，求出的單調(diào)性；（2）對(duì)m分三種情況討論求函數(shù)在區(qū)間上的最小值即得解.【詳解】（1）若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減若.在R上單調(diào)遞增若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則.則不合題意當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，即又因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，故綜上，【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，連，，由等邊三角形三邊合一可知，，即證．（2）以，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：連，，則和皆為正三角形．取中點(diǎn)，連，，則，，則平面，則（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．如圖所示，分別以，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以取面的法向量取，則，平面與平面所成的銳二面角的余弦值．19、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)連接，由比例可得∥，進(jìn)而得線面平行；（Ⅱ）過點(diǎn)作的垂線，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則求得平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，由求二面角余弦即可.試題解析：（Ⅰ）證明：連接，梯形，,易知：；又，則∥；平面，平面，可得：∥平面；（Ⅱ）側(cè)面是梯形，，,,則為二面角的平面角，；均為正三角形，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則,故點(diǎn)，；設(shè)平面的法向量為，則有：；設(shè)平面的法向量為，則有：；，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由題可知，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，得出，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，所以，再利用線面平行的判定定理即可證出平面；（2）由于平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得出平面，從而得出到平面的距離為，結(jié)合棱錐的體積公式，即可求得結(jié)果.【詳解】解：（1）∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）取，的中點(diǎn)，，連接，，，，則，由于為三棱柱，為四棱錐，∵平面平面，∴平面，由已知可求得，∴到平面的距離為，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，，，，設(shè)幾何體的體積為，則，∴，即：.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定、面面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積公式，考查邏輯推理和計(jì)算能力.21、（1）p＝2；（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）取n＝1時(shí)，由得p＝0或2，計(jì)算排除p＝0的情況得到答案.（2），則，相減得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化簡(jiǎn)得到，得到證明.（3）分別證明充分性和必要性，假設(shè)an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，計(jì)算化簡(jiǎn)得2x﹣2y﹣2＝1，設(shè)k＝x﹣（y﹣2），計(jì)算得到k＝1，得到答案.【詳解】（1）n＝1時(shí)，由得p＝0或2，若p＝0時(shí)，，當(dāng)n＝2時(shí)，，解得a2＝0或，而an＞0，所以p＝0不符合題意，故p＝2；（2）當(dāng)p＝2時(shí)，①，則②，②﹣①并化簡(jiǎn)得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，則3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，④﹣③得（n∈N*），又因?yàn)?，所以?shù)列{an}是等比數(shù)列，且；（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次為，，，滿足，即an，2xan+1，2yan+2成等