小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具的價值及運(yùn)用

小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具的價值及運(yùn)用摘要:學(xué)具是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一部分，充分關(guān)注學(xué)具的使用，對小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會產(chǎn)生積極的影響，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供學(xué)生多種多樣的學(xué)具開展探索活動，能使學(xué)生通過這些學(xué)具構(gòu)建自己的認(rèn)知模型并內(nèi)化抽象的數(shù)學(xué)概念。因此，關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具的起源與特點(diǎn)，了解學(xué)具的使用價值，掌握典型傳統(tǒng)學(xué)具的運(yùn)用，能更好地從實(shí)踐視角再認(rèn)識傳統(tǒng)學(xué)具，以有意義的方式將傳統(tǒng)學(xué)具融入小學(xué)數(shù)學(xué)課程，有助于學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)抽象概念，提高學(xué)習(xí)效果。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)學(xué)具;虛擬學(xué)具；傳統(tǒng)學(xué)具;數(shù)學(xué)概念學(xué)具（Manipulative）是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一部分，小學(xué)生接觸到的周圍事物是以一定的數(shù)、形、量存在著，由于他們是6—12歲的兒童,認(rèn)知發(fā)展具有特殊性，通過數(shù)學(xué)學(xué)具的操作能促進(jìn)他們對數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確理解和表征。對于學(xué)具的研究不同的專家學(xué)者有不同的視角，本文聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)具中的傳統(tǒng)學(xué)具,之所以選擇這個視角進(jìn)行探討，是因?yàn)殡S著教室里白板的普及應(yīng)用,虛擬學(xué)具變得更方便，也非常流行，因此，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上出現(xiàn)一些過度使用虛擬學(xué)具的現(xiàn)象，用信息技術(shù)制作的演示性內(nèi)容代替學(xué)生的實(shí)踐操作活動，讓學(xué)生“用眼看”多于學(xué)生的“動手做”。雖然這些虛擬演示能為學(xué)生提供感知材料，再現(xiàn)事物的現(xiàn)象以及過程，但是，我們不能忽視學(xué)生動手操作傳統(tǒng)學(xué)具的力量,操作的小方塊、小棒和計(jì)數(shù)器,甚至是一些折疊的紙張,這些都能讓學(xué)生將數(shù)學(xué)思想、符號與實(shí)物聯(lián)系起來,從而促進(jìn)他們更好地理解數(shù)學(xué)抽象概念。所以小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具雖不具備現(xiàn)代化學(xué)具的高新技術(shù)，但其對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義卻是其他學(xué)具無法替代的。小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具使用歷史非常悠久，特別是一些常用的典型傳統(tǒng)學(xué)具，經(jīng)過實(shí)踐證明,對學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解以及對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要。因此,本研究旨在探討小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具的起源與特點(diǎn)、使用價值和典型運(yùn)用，以期為小學(xué)數(shù)學(xué)教師提供當(dāng)下關(guān)于傳統(tǒng)學(xué)具運(yùn)用的思考。一、小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具的起源與特點(diǎn)自古以來，不同文明的人們就使用工具來解決日常數(shù)學(xué)問題。中國人很早就發(fā)明了用算籌、算盤計(jì)數(shù)和計(jì)算。古羅馬人在計(jì)算板的基礎(chǔ)上，用豆子或石頭,在沙子或木頭、石頭、金屬等制成的槽上移動來進(jìn)行計(jì)算，這種算盤稱為溝算盤。古代亞洲西南部地區(qū)的人使用計(jì)數(shù)板,即在木制或粘土托盤上覆蓋一層薄薄的沙子,在上面畫符號，來清點(diǎn)存貨或者其他需要計(jì)算的東西。南美的瑪雅人和墨西哥的印地安人也都有一種計(jì)數(shù)工具，即將玉米粒串在繩子或金屬絲上，然后橫跨在木制框架上。印加人有自己獨(dú)特的計(jì)數(shù)工具,即用打結(jié)的繩子做成的稱作quipu的工具。直到19世紀(jì)，教育系統(tǒng)才開始在學(xué)校使用學(xué)具操作學(xué)習(xí)。裴斯泰洛齊（Pestalozzi）提倡實(shí)物教學(xué)，在算術(shù)教學(xué)中，他制作了著名的“算術(shù)箱”，箱內(nèi)是各種形體的實(shí)物。福祿貝爾（Froebel）為兒童設(shè)計(jì)了一套“恩物（gift）”，以幫助他們識別和欣賞理解自然界中的萬物。蒙臺梭利（Mont-

esson）進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了學(xué)具在教育中的重要性，并設(shè)計(jì)了許多學(xué)具來幫助學(xué)齡前兒童和小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。自20世紀(jì)初以來，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)具被認(rèn)為是必不可少的。自古代用繩結(jié)、石頭和算盤作為計(jì)數(shù)和計(jì)算工具發(fā)明以來，今天似乎有一個共識，就是為了解決小學(xué)數(shù)學(xué)教育的抽象性，提出的教學(xué)策略在某種程度上都與學(xué)生動手操作實(shí)物學(xué)具有關(guān)。蒙臺梭利一直倡導(dǎo)使用具體實(shí)物操作學(xué)具進(jìn)行教學(xué)，以各類教具為基礎(chǔ)，通過孩子們自行操作學(xué)具來理解抽象的數(shù)學(xué)概念。古氏積木的發(fā)明者比利時教師喬治?奎遜納（GeorgeCuisenaire）將彩色古氏積木應(yīng)用在分?jǐn)?shù)和四則運(yùn)算等數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中。七巧板不僅是中國傳統(tǒng)智力玩具，還是學(xué)習(xí)圖形內(nèi)容重要的學(xué)具。許多學(xué)者對數(shù)學(xué)實(shí)物操作學(xué)具進(jìn)行了描述闡釋，莫耶（Moyer）認(rèn)為學(xué)具是學(xué)生可以觸摸和移動的具體模型，是被設(shè)計(jì)出來用于表示抽象數(shù)學(xué)概念的實(shí)物，能將抽象的數(shù)學(xué)思想具體化、清晰化。①史密斯（Smith）將學(xué)具定義為使學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)物,學(xué)生可以觸摸、移動、重組或以其他方式進(jìn)行處理，在這個過程中充分調(diào)動多種感官,獲得綜合體驗(yàn)。②博甘、哈珀和惠特梅爾（Boggan,Harper，Whitmire）提出數(shù)學(xué)學(xué)具是一種實(shí)物，可以讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)踐學(xué)習(xí)的教學(xué)工具,學(xué)生借助學(xué)習(xí)工具積極地動手操作，探索數(shù)學(xué)思想。③從上述比較有代表性的觀點(diǎn)可以看出，學(xué)具具有可以被觸碰、移動、重組的特點(diǎn)，有些是基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)出來的模型，目的是使學(xué)生通過學(xué)具來理解特定的數(shù)學(xué)概念，為其提供一種基于操作活動經(jīng)驗(yàn)來學(xué)習(xí)概念的方法。學(xué)具作為一種教學(xué)資源用于輔導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，從古至今經(jīng)歷了漫長的歷史演變過程，其形式雖然發(fā)生了很大變化,但學(xué)具與學(xué)生的生活實(shí)際密切相關(guān)，架起了一座人與知識之間的溝通橋梁。二、小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具的使用價值體現(xiàn)研究表明,數(shù)學(xué)課堂中使用學(xué)具是極為必要的,當(dāng)學(xué)生通過積極的過程獲取知識時，學(xué)習(xí)就會得到加強(qiáng),學(xué)具是在數(shù)學(xué)教學(xué)中提供積極有效的、有吸引力的課程的關(guān)鍵④。u/nn呻也 ?場 ?袤 Jiihnir^rrnrffrom?:計(jì)數(shù)；' "X二十五/2個十卸5個一: J口述表詁u/nn呻也 ?場 ?袤 Jiihnir^rrnrffrom?:計(jì)數(shù)；' "X二十五/2個十卸5個一: J口述表詁這個概念對于小學(xué)低年級學(xué)生是非具的操作能幫助他們更清晰地建構(gòu)對概念的思考，然后將這些思考與數(shù)學(xué)符號、術(shù)語聯(lián)系起來，從而有助于學(xué)生形成基本的數(shù)學(xué)思想。圖2第二，傳統(tǒng)操作學(xué)具的合理充分利用會促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的提高。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生積極使用學(xué)具不僅得到了研究者的理論支持,也得到了教育實(shí)踐的支持。過去幾十年中，不同國家關(guān)于不同年級學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)具的研究表明，當(dāng)學(xué)具在數(shù)學(xué)課堂中得到充分利用時，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就會有所提高①。首先,學(xué)具使用的時間長短會影響學(xué)生取得的數(shù)學(xué)成就。隨著數(shù)學(xué)中長期使用學(xué)具,學(xué)生在一些領(lǐng)域獲得更顯著的成就，包括數(shù)學(xué)思維的語言表達(dá)、數(shù)學(xué)思想和概念的討論、數(shù)學(xué)表征與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系、協(xié)同工作、數(shù)學(xué)思考分歧下找到解決問題的多種方法、使用各種數(shù)學(xué)符號表達(dá)問題和解決方案、進(jìn)行演示、掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)②。而且，長期使用學(xué)具比短期使用也會帶來更多的益處。其次，在一些特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容中使用操作學(xué)具的學(xué)生，比沒有使用操作學(xué)具的學(xué)生更有可能獲得數(shù)學(xué)的良好表現(xiàn)，比如計(jì)數(shù)、位值、計(jì)算、分?jǐn)?shù)、比、代數(shù)推理等數(shù)學(xué)內(nèi)容使用操作學(xué)具學(xué)習(xí)效果成效顯著③。以分?jǐn)?shù)單位為例，讓學(xué)生準(zhǔn)備四張同樣大小的長紙條,在其中一張標(biāo)上單位“1”，再把其他三張分別平均分成二份、四份、八份，如右圖2涂色,綠色涂1份,藍(lán)色涂2份,黃色涂4份,然后讓學(xué)生思考綠色、藍(lán)色、黃色部分能用哪個分?jǐn)?shù)表示？并說出每個分?jǐn)?shù)包含幾個分?jǐn)?shù)單位？讓學(xué)生用學(xué)具操作可以進(jìn)一步感悟圖2TOC\o"1-5"\h\z1 2 4分?jǐn)?shù)單位。分?jǐn)?shù)單位分子是1,每個分?jǐn)?shù)都有單獨(dú)的一個分?jǐn)?shù)單位。綠色表示;，藍(lán)色表示號，黃色表示尋,111 2它們的分?jǐn)?shù)單位分別是號，土奪，包含分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)分別是1、2、4個,這里可滲透分?jǐn)?shù)累加的概念:號數(shù)24o 4了2個土，寺是數(shù)了4個號,還可以解釋分子其實(shí)是計(jì)數(shù)，而分母是數(shù)了什么。另外，可以繼續(xù)鼓勵學(xué)生觀察這些長條模型去發(fā)現(xiàn)，在一個整體中分的份數(shù)越多，每一份就會越小,分?jǐn)?shù)單位也會變小，+＞孚＞1。這樣學(xué)具操作過程能夠促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)單位的深度理解,有利于學(xué)生提高學(xué)業(yè)成就。第三，很多國家的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》都關(guān)注學(xué)具的使用，這其中也包括傳統(tǒng)學(xué)具。比如美國《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》（NGA&CCSS。,2010）建議使用代表性模型作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要操作工具，代表性模型可以是動手操作和虛擬學(xué)具，以及畫圖等④。其中動手操作就包括基10組塊、數(shù)字磁貼、奎遜納棒、雙面計(jì)數(shù)器、時鐘模型等這些傳統(tǒng)學(xué)具的使用。新加坡修訂的《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（2016年）總目標(biāo)中指出，學(xué)生應(yīng)發(fā)展和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念所需要的過程性技能;要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中有效利用不同的數(shù)學(xué)學(xué)具，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程性，充分利用學(xué)具進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)⑤。其中不同的學(xué)具包括生活中常見的物品，也包括各式各樣的傳統(tǒng)學(xué)具。加拿大安大略省《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出發(fā)展學(xué)生選擇合適學(xué)具的能力，并運(yùn)用學(xué)具完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)和解決問題⑥。這里的學(xué)具包括具體的實(shí)物、圖片和類似于古氏積木這樣的傳統(tǒng)學(xué)具。我國的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在實(shí)施建議部分明確提到環(huán)境與工具，建議教師應(yīng)當(dāng)努力開發(fā)制作簡便實(shí)用的教具和學(xué)具。這些課程標(biāo)準(zhǔn)的建議都表明,充分關(guān)注學(xué)具的使用,對小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會產(chǎn)生積極的影響，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中提供給學(xué)生多種多樣的學(xué)具開展探索活動，能使學(xué)生通過這些學(xué)具構(gòu)建自己的認(rèn)知模型，并內(nèi)化抽象的數(shù)學(xué)概念。上述研究與案例均表明，教師使用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)具可以積極地影響學(xué)生的學(xué)習(xí)。教育性和直觀性是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)具兩大本質(zhì)特點(diǎn)，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)具因其鮮明的特點(diǎn)，成為數(shù)學(xué)教育教學(xué)中一種重要的工具和教學(xué)資源。在教學(xué)過程中通過學(xué)具的操作使得抽象的知識被表征得更具體、生動、形象，尤其在小學(xué)階段,傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)具的使用更能集中學(xué)生的注意力，既有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)又有利于教學(xué)活動的開展。將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)具以有意義的方式納入數(shù)學(xué)課程，有助于學(xué)生更輕松地掌握概念，使教學(xué)更有效?？傊?，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)具在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中具有重要價值，可以幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念，建構(gòu)學(xué)生的認(rèn)知體系，形成整合性思維。三、小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具的典型運(yùn)用很多小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具在設(shè)計(jì)之初就強(qiáng)調(diào)多種感官的綜合作用，使學(xué)生獲得豐富的認(rèn)知體驗(yàn)，這些典型的學(xué)具代表了數(shù)學(xué)學(xué)科思想和方法，能幫助學(xué)生理解特定的學(xué)科概念，并且這些學(xué)具已經(jīng)商業(yè)化，很容易獲得。因此，我們應(yīng)盡可能有效、廣泛地使用這些經(jīng)典的學(xué)具來支持兒童的數(shù)學(xué)思維、推理和問題解決能力的發(fā)展。下面我們將梳理典型的國內(nèi)外小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)學(xué)具，來理解這些操作學(xué)具應(yīng)用在哪些學(xué)習(xí)內(nèi)容中。（一）數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域傳統(tǒng)學(xué)具的運(yùn)用下面幾種都是學(xué)生可以操作的傳統(tǒng)學(xué)具，每種學(xué)具都有其特殊的使用特性，能在不同方面幫助學(xué)生理解不同的數(shù)與代數(shù)的概念，探索與之相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容。1.小方塊和小棒圖3自然數(shù)的認(rèn)識中理解位值和十進(jìn)制計(jì)算法是核心內(nèi)容，如何讓學(xué)生理解這些抽象的數(shù)概念,運(yùn)用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)具促進(jìn)學(xué)生理解是非常有效的策略。最常用的就是小方塊和小棒（見圖3），它們不僅具有直觀、結(jié)構(gòu)化和齊性的特點(diǎn)，而且便于操作且可以循環(huán)使用。最重要的是,學(xué)生能用這兩種學(xué)具體會以10為基底分組,也就是10個為一群，理解10個一是1個十。在這個操作過程中，小方塊和小棒分別表示一、十、百的具體數(shù)量是成比例的,相鄰是10倍的關(guān)系。具體來說，一個小方塊表示一，一個一個地數(shù)，十個就是一條,也就是1個十;十個十個地數(shù)，十條就是一板,也就是10個十是百，十個這樣的板放在一起就構(gòu)成一個立方體，10個百是一千。同理，一根小棒表示一,一捆小棒表示1個十，一大捆小棒表示10個十是百。雖然小方塊和小棒都能幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識數(shù)概念，認(rèn)識相鄰數(shù)位之間的十進(jìn)制關(guān)系，但也能看出不同的使用優(yōu)勢，小方塊是表達(dá)計(jì)數(shù)單位的模型,所以從體會更多計(jì)數(shù)單位來講用小方塊更適合。小棒在百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識中使用比較好，更易于學(xué)生操作，也能表達(dá)數(shù)量的分群組關(guān)系。圖3圖4圖5計(jì)數(shù)器圖4圖5學(xué)生使用的計(jì)數(shù)器通常由計(jì)數(shù)珠、拱形穿珠桿構(gòu)成，從左向右標(biāo)有數(shù)位,和整數(shù)數(shù)位順序表是一致的，每一數(shù)位上的珠子有10個，珠子前后能滑行，拔珠能表示數(shù)，也稱位值算盤（見圖4）。個位上的1個珠子就表示1個一，十位上的一顆珠子就表示1個十，百位上一顆珠子就表示1個百，以此類推。每個數(shù)位上都有10個珠子，要表示46,可以在十位上撥4個珠子，在個位上撥6個珠子，表示4個十和6個一，也就是46。這種計(jì)數(shù)器和小方塊、小棒不同，同樣是計(jì)數(shù)，但它是不成比例的學(xué)具,能保持?jǐn)?shù)字的軌跡,由于帶數(shù)位,能讓學(xué)生體會位值思想和數(shù)位順序。雙面計(jì)數(shù)器這是國外小學(xué)數(shù)學(xué)常用的一個學(xué)具，見圖5，就是兩面不同顏色的小圓片，通常一面是紅色，另一面是黃色,可以用來分類和計(jì)數(shù)，描述具有相反意義的量、理解正負(fù)數(shù)、解釋0的含義，如表示溫度在零度以上或以下等，也用來演示基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算、概率和估計(jì)概念。天平稱（平衡器）這也是國外小學(xué)數(shù)學(xué)常用的一個學(xué)具，數(shù)平衡器是對相等的理解，可以用不同的方式來使用（見圖6）。比如左邊是4和6，右邊是2和8，學(xué)生可以看到是平衡的。還可以識別兩個表達(dá)式何時相等，如,表達(dá)式X+X+X和3x是等價的，因?yàn)椴还躕代表的是哪個數(shù),它們都是相等的。奎遜納棒這是由一位比利時的小學(xué)老師研制的，將彩色古氏積木應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)上,是國際上常用于算術(shù)內(nèi)容的

學(xué)具,由十種不同顏色及長度的積木構(gòu)成，相同顏色的積木為相同的長度（見圖7）。計(jì)數(shù)、排序、模式、代數(shù)推理、加法與減法、乘法與除法、分?jǐn)?shù)、比和比例等內(nèi)容的學(xué)習(xí)都可以用它作為操作學(xué)具。比如，在做運(yùn)算時，學(xué)生根據(jù)題目，操作奎遜納棒就能得出相應(yīng)答案。再如這樣的題，如果一個人1/6小時走1/2千米，求單位速度，學(xué)生也可以通過操作求出。（二）圖形與幾何領(lǐng)域傳統(tǒng)學(xué)具的運(yùn)用下面幾種學(xué)具側(cè)重于圖形與幾何領(lǐng)域,可以幫助學(xué)生理解二維平面圖形和三維立體圖形，利用這些學(xué)具也可以理解測量內(nèi)容中的面積與體積，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考在操作學(xué)具過程中會逐漸清晰起來，也會在具體操作中發(fā)展他們的視覺空間推理能力。1.幾何釘板學(xué)生在釘板上可以拉出不同位置、不同大小的圖形,促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識幾何圖形，理解幾何圖形的周長和面積。特別是能幫助學(xué)生識別平面圖形的面積屬性，理解面積的測量概念。如圖8，在釘板上任意圍一個圖形，被圍部分的大小就是這個圖形的面積，數(shù)出所圍部分占多少個小方格,它的面積就是多少。另外，在幾何釘板上還可以表示圖形面積的推導(dǎo)過程，比如把一個平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個與其等底等高的長方形，然后比較它們之間的關(guān)系，再推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。七巧板七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，也是學(xué)生認(rèn)識幾何圖形和進(jìn)行拼圖活動的學(xué)具，能促進(jìn)學(xué)生理解若干重要的幾何圖形邏輯關(guān)系（見圖9）。七巧板中正方形和平行四邊形各只有一個,其余為2大、1中、2小