人教版五年級數(shù)學(xué)上冊【課本】5年級第06講-直線形計算中的倍數(shù)關(guān)系

第六講直線型計算中的倍數(shù)關(guān)系

迄今為止，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會了很多圖形計算面積的方法．在計算這些面積的時候，只要知道相應(yīng)線段的長度，然后利用公式即可以計算．例如計算長方形的面積，只需知道長方形的長和寬即可利用長方形的面積進行計算．但很多時候，題目中并不給出長和寬，那怎么來求面積呢？我們來看下面這個例題．448121620如圖，有9個小長方形，其中的5個小長方形的面積分別為4、8、12、16、20平方米．其余4個長方形的面積分別是多少平方米？「分析」如果兩個長方形的一條邊相等，我們可以比較它們的另一條邊來求它們的面積關(guān)系，看看下圖，能利用左上角的三塊面積求出①的面積嗎？

對于長方形，我們總結(jié)出：如果兩個長方形的長（寬）相等，那么它們的面積的比等于它們寬（長）之比．例如：如圖所示的長方形ABCD與長方形BEFC寬BC相同，那么．AABCDEF練練習1如圖，有7個小長方形，其中的5個小長方形的面積分別為20，4，6，8，10平方厘米．求陰影長方形的面積是多少平方厘米？848462010從上面的例題可以看出，求一個圖形的面積不一定要通過公式，有些時候我們也可以利用圖形各部分之間的面積關(guān)系進行計算．實際問題中，各圖形的形狀各異．我們很難直接看出面積間的關(guān)系，更容易發(fā)現(xiàn)的是長度之間的倍數(shù)關(guān)系．本章重點就是長度的倍數(shù)關(guān)系與面積倍數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化．過三角形一個頂點的直線將三角形分為兩個小三角形，則這兩個小三角形面積之比等于該直線分對邊所得的兩條線段長度之比,這是由兩個小三角形有共同的高決定的．AABCDEAABCDE下圖中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點，AD的長是AE長的3倍．那么三角形ABE的面積是多少平方厘米？「分析」你能從圖中發(fā)現(xiàn)前面講過的基本圖形嗎？如何利用其中的比例關(guān)系解題呢？練練習2如圖，三角形ABC中，D為AB的中點，E為BC的中點，F(xiàn)為BE中點，如果三角形ABC的面積是120平方厘米，那么三角形DEF的面積是多少？ACACBFED在實際問題中，給出的圖形結(jié)構(gòu)往往只能滿足上述形式的一部分．比如知道兩條線段的長度關(guān)系，卻找不到合適的圖形引出面積關(guān)系．此時，我們可以添加適當?shù)妮o助線，使得兩個圖形之間可以找到一個過渡的量，這個量和兩個圖形都有比較緊密的聯(lián)系．ABCEDF如圖，把三角形DEF的各邊分別向外延長1倍后得到三角形ABC，已知三角形DEFABCEDF「分析」容易看出，本題也需要通過邊長的倍數(shù)關(guān)系去求三角形面積之間的關(guān)系．但是我們所求的是三角形DEF的面積，而已知的是三角形ABC的面積，這兩個三角形之間一條直接相連的邊也沒有．那么我們該怎么辦呢？練練習3如圖，把三角形DEF的各邊分別向外延長1倍、2倍、3倍后得到三角形ABC，已知三角形DEF的面積為1，那么三角形ABC的面積是多少？DDEFABC除了利用圖形間的長度關(guān)系尋找面積關(guān)系外，我們有時候也利用面積的倍數(shù)關(guān)系反推出長度的倍數(shù)關(guān)系．BCDEA如圖，E是AB上靠近A點的三等分點，梯形ABCD的面積是三角形AEC面積的4BCDEA「分析」本題中我們并不知道圖形的具體面積，而只知道面積的倍數(shù)關(guān)系．需要求的則是長度的倍數(shù)關(guān)系，所以我們考慮如何利用面積的關(guān)系求出長度關(guān)系．我們不妨假設(shè)三角形AEC的面積是“1”份，那么梯形ABCD的面積就是“5”份．接著可以看看“E是AB上的三等分點”這個條件能得出什么結(jié)論，看看怎么利用求出的面積來比較梯形的上下底？

練練習4如圖，將一個長為18的長方形，分成一個三角形和一個梯形，且梯形的面積是三角形的5倍，那么三角形底邊BE的長是多少？AABCDE24除了利用長度間的倍數(shù)關(guān)系外24把一個正方形的相鄰兩邊分別增加2厘米和4厘米，結(jié)果面積增加了24①②③

「分析」由于陰影部分是一個不規(guī)則圖形，我們需要把它轉(zhuǎn)化為規(guī)則形狀，可以將它分割成幾塊．如圖所示，我們將陰影部分分割為①、②、③三個長方形．其中，③的長和寬分別為4、2，可以求出它的面積．那么①和②的面積能求出來嗎？關(guān)鍵是找出它們面積的關(guān)系．24①②③AACBEFD如圖，直角三角形ABC套住了一個正方形CDEF，E點恰好在AB邊上．又已知直角邊AC長20厘米，BC長12「分析」注意到EF垂直于AC，ED垂直于BC．我們可以連接CE，將三角形ABC分成兩個三角形，這兩個三角形的底都給出了長度，而它們的高相等．我們的目標就是求這個高．

歐拉的故事歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、幾何學(xué)、天文數(shù)學(xué)、微積分等好幾個數(shù)學(xué)的分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就。歐拉小時候幫助爸爸放羊，他一面放羊，一面讀書。他讀的書中，有不少數(shù)學(xué)書。爸爸的羊群漸漸增多了，達到了100只。原來的羊圈有點小了，爸爸決定建造一個新的羊圈。他用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一算，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米。正打算動工的時候，他發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用。若要圍成長40米，寬15米的羊圈，其周長將是110米（15+15+40+40=110）父親感到很為難，若要按原計劃建造，就要再添10米長的材料；要是縮小面積，每頭羊的面積就會小于6平方米。小歐拉卻向父親說，不用縮小羊圈，也不用擔心每頭羊的領(lǐng)地會小于原來的計劃。他有辦法。父親不相信小歐拉會有辦法，沒有理會他。小歐拉急了，大聲說：“只要稍稍移動一下羊圈的樁子就行了。”父親聽了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣便宜的事情？”但是，小歐拉卻堅信，他一定有兩全齊美的辦法。父親終于同意讓兒子試試看。小歐拉見父親同意了，站起身來，跑到準備動工的羊圈旁。他以一個木樁為中心，將原來的40米邊長截短，縮短到25米。父親著急了，說：“那怎么成呢？那怎么成呢？這個羊圈太小了，太小了?！毙W拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來15米的邊長延長，又增加了10米，變成了25米。經(jīng)這樣一改，原來計劃中的羊圈變成了一個25米邊長的正方形。然后，小歐拉很自信地對爸爸說：“現(xiàn)在，籬笆也夠了，面積也夠了?！备赣H照著小歐拉設(shè)計的羊圈扎上了籬笆，100米長的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光。面積也足夠了，而且還稍稍大了一些。父親心里感到非常高興！ABCD如圖，一個長方形被分成了四個小長方形，長方形A的面積是45平方米，長方形B的面積是15平方米，長方形C的面積為15平方米，則長方形ABCDABCD如圖，D為AB邊上的三等分點，已知三角形ACD面積為12ABCD

ABCDE如圖，D、E分別為AB、BC邊上的三等分點，已知三角形ABC面積為AB