2023-2024學年四川省廣元市蒼溪中學高二數學第一學期期末聯考模擬試題含解析

2023-2024學年四川省廣元市蒼溪中學高二數學第一學期期末聯考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知P是直線上的動點，PA，PB是圓的切線，A，B為切點，C為圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是（）A2 B.C.3 D.2．雙曲線C:的右焦點為F，過點F作雙曲線C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為H1，H2.若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.23．已知點F為拋物線C：的焦點，點，若點Р為拋物線C上的動點，當取得最大值時，點P恰好在以F，為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．天文學家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現：同一平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標系中，設定點為，，，點O為坐標原點，動點滿足(且為常數)，化簡得曲線E：.當，時，關于曲線E有下列四個命題：①曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個數為（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個5．已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點，下列條件中能確定點M與點A，B，C一定共面的是A. B.C. D.6．設為實數，則曲線：不可能是（）A.拋物線 B.雙曲線C.圓 D.橢圓7．“”是“曲線為焦點在軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知數列滿足，則滿足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.99．已知拋物線的焦點為，直線過點與拋物線相交于兩點，且，則直線的斜率為（）A. B.C. D.10．已知向量a→=(1，1，k)，A. B.C. D.11．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A. B.C. D.12．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.14．兩個人射擊，互相獨立．已知甲射擊一次中靶概率是0.6，乙射擊一次中靶概率是0.3，現在兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目標，則完成目標的概率為_____________15．直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，與其準線交于點C，若，則直線l的斜率為______.16．古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現：“平面內到兩個定點A、B的距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點P的軌跡方程為__________.（答案寫成標準方程），的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數列{an}的前n項和記為Sn，且.（1）求數列{an}的通項公式an（2）記數列的前n項和為Tn，若，求n的最小值.18．（12分）已知各項為正數的等比數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.19．（12分）設函數（1）若曲線在點處的切線方程為，求；（2）求函數的單調區(qū)間20．（12分）已知直線，，，其中與交點為P（1）求過點P且與平行的直線方程；（2）求以點P為圓心，截所得弦長為8的圓的方程21．（12分）如圖，已知橢圓的焦點是圓與x軸的交點，橢圓C的長半軸長等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點，A為橢圓C的右頂點，點B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個交點分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補，直線BD與圓O相切，設直線BD的斜率為．當時，求k22．（10分）奮發(fā)學習小組共有3名學生，在某次探究活動中，他們每人上交了1份作業(yè)，現各自從這3份作業(yè)中隨機地取出了一份作業(yè).（1）每個學生恰好取到自己作業(yè)的概率是多少？（2）每個學生不都取到自己作業(yè)的概率是多少？（3）每個學生取到的都不是自己作業(yè)的概率是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由圓C的標準方程可得圓心為（1，1），半徑為1，根據切線的性質可得四邊形PACB面積等于，，故求解最小時即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓，由于四邊形PACB面積等于2×××=，而，故當最小時，四邊形PACB面積最小，又的最小值等于圓心C到直線l：的距離d，而，故四邊形PACB面積的最小值為，故選：D2、D【解析】將條件轉化為該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，可得，由離心率公式即可得解.【詳解】由題意，(為坐標原點)，所以該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，即，所以離心率.故選：D.3、D【解析】過點P引拋物線準線的垂線，交準線于D，根據拋物線的定義可知，記，根據題意，當最小，即直線與拋物線相切時滿足題意，進而解出此時P的坐標，解得答案即可.【詳解】如圖，易知點在拋物線C的準線上，作PD垂直于準線，且與準線交于點D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設切線方程為，代入拋物線方程并化簡得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.4、D【解析】①：根據軸對稱圖形、中心對稱圖形的方程特征進行判斷即可；②：結合兩點間距離公式、曲線方程特征進行判斷即可；③：根據卡西尼卵形線的定義，結合基本不等式進行判斷即可；④：根據方程特征，結合三角形面積公式進行判斷即可.【詳解】當，時，.①：因為以代方程不變，以代方程不變，同時代，以代方程不變，所以曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當時成立，因此本命題正確；③：因為，所以，當且僅當時，取等號，因此本命題正確；④：，因為，所以，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點睛】關鍵點睛：利用方程特征進行求解判斷是解題的關鍵.5、D【解析】首先利用坐標法，排除錯誤選項，然后對符合的選項驗證存在使得，由此得出正確選項.【詳解】不妨設.對于A選項，，由于的豎坐標，故不在平面上，故A選項錯誤.對于B選項，，由于的豎坐標，故不在平面上，故B選項錯誤.對于C選項，，由于的豎坐標，故不在平面上，故C選項錯誤.對于D選項，，由于的豎坐標為，故在平面上，也即四點共面.下面證明結論一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四點共面.故選：D.【點睛】本小題主要考查空間四點共面的證明方法，考查空間向量的線性運算，考查數形結合的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.6、A【解析】根據圓的方程、橢圓的方程、雙曲線的方程和拋物線的方程特征即可判斷.【詳解】解：對A：因為曲線C的方程中都是二次項，所以根據拋物線標準方程的特征曲線C不可能是拋物線，故選項A正確；對B：當時，曲線C為雙曲線，故選項B錯誤；對C：當時，曲線C為圓，故選項C錯誤；對D：當且時，曲線C為橢圓，故選項D錯誤；故選：A.7、C【解析】∵“”?“方程表示焦點在軸上的橢圓”，“方程表示焦點在軸上的橢圓”?“”，∴“”是“方程表示焦點在軸上的橢圓”的充要條件，故選C.8、B【解析】首先地推公式變形，得，，求得數列的通項公式后，再解不等式.【詳解】因為，兩邊取倒數，得，整理為：，，所以數列是首項為1，公差為4的等差數列，，，因為，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故選：B9、B【解析】設直線傾斜角為，由，及，可求得，當點在軸上方，又，求得，利用對稱性即可得出結果.【詳解】設直線傾斜角為，由，所以，由，，所以，當點在軸上方，又，所以，所以由對稱性知，直線的斜率.故選：B.10、D【解析】根據向量的坐標運算和向量垂直數量積為0可解.【詳解】解：根據題意，易得a→∵與兩向量互相垂直，∴0+2+k+2=0，解得.故選：D11、A【解析】兩直線垂直，斜率之積為，曲線與直線相切，聯立方程令.【詳解】法一：直線，所以，所以切線的，設切線的方程為，聯立方程，所以，令，解得，所以切線方程為.法二：直線，所以，所以切線的，，所以令，所以，帶入曲線方程得切點坐標為，所以切線方程為，化簡得.故選：A.12、C【解析】由為的中點，根據向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據向量的運算法則，可得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進而可求得答案【詳解】因為平面的法向量為，平面的法向量為，，所以∥，所以存實數使，所以，所以，解得，所以，故答案為：214、72【解析】利用獨立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，若甲、乙兩個各射擊1次，至少有一人命中目標的概率為.故答案為：15、【解析】由拋物線方程求出焦點坐標與準線方程，設直線為，、，即可得到的坐標，再聯立直線與拋物線方程，消元列出韋達定理，表示出、的坐標，根據得到方程，求出，即可得解；【詳解】解：拋物線方程為，則焦點，準線為，設直線為，、，則，由，消去得，所以，，則，，因為，所以，所以，所以，解得，所以，即直線為，所以直線的斜率為；故答案為：16、①.②.【解析】設點P坐標，然后用直接法可求；根據軌跡方程和數量積的坐標表示對化簡，結合軌跡方程可得x的范圍，然后可解.【詳解】設P點坐標為，則由，得，化簡得，即.因為，所以因為點P在圓上，故所以，故的最小值為.故答案為：，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差數列的通項公式列出方程組求解即可；（2）由裂項相消求和法得出，再由不等式的性質得出n的最小值.【小問1詳解】設等差數列{an}的公差為d，依題意有解得，所以an=2n.【小問2詳解】由（1）得，則，所以因為，即，解得n>99，所以n的最小值為100.18、（1）；（2）【解析】（1）根據條件求出即可；（2），然后利用等差數列的求和公式求出答案即可.【詳解】（1）且，，（2）19、（1）（2）答案見解析【解析】（1）求出，建立方程關系，即可求出結論；（2）對分類討論，求出的單調區(qū)間.【小問1詳解】由于切點在切線上，所以，函數通過點又，根據導數幾何意義，；【小問2詳解】由可知當時，則；當時，則；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.20、（1）；（2）.【解析】（1）首先求、的交點坐標，根據的斜率，應用點斜式寫出過P且與平行的直線方程；（2）根據弦心距、弦長、半徑的關系求圓的半徑，結合P的坐標寫出圓的方程.【小問1詳解】聯立、得：，可得，故，又的斜率為，則過P且與平行的直線方程，∴所求直線方程為.【小問2詳解】由（1），P到的距離，∴以P為圓心，截所得弦長為8的圓的半徑，∴所求圓的方程為.21、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設可得，求出參數b，即可寫出橢圓C的方程；（2）延長線段DB交橢圓C于點，根據對稱性設B，為，，聯立橢圓方程，應用韋達定理并結合已知條件可得，直線與圓相切可得，進而求參數t，即可求直線BD的斜率.【小問1詳解】因為圓與x軸的交點分別為，，所以橢圓C的焦點分別為，，∴，根據條件得，∴，故橢圓C的方程為【小問2詳解】延長線段DB交橢圓C于點，因直線BD與直線BE的傾斜角互補，根據對稱性得由條件可設B的坐標為，設D，的縱坐標分別為，，直線的方程為，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直線與圓相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直線BD斜率【點睛】關鍵點點睛：將已知線段的長度關系轉化為D，的縱坐標的數量關系，設直線的含參方程，聯立橢圓方程及其與圓的相切求參數關系，進而求參數即可.22、（1