2023-2024學(xué)年四川省仁壽一中南校區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年四川省仁壽一中南校區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，設(shè)為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（）A. B.C. D.2．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.3．已知圓，若存在過點(diǎn)的直線與圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.4．120°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，則CD的長為()A. B.C. D.5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入t的取值范圍為，則輸出s的取值范圍為（）A. B.C. D.6．雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與y軸交于點(diǎn)A、與雙曲線右支交于點(diǎn)B，若為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.7．國際冬奧會(huì)和殘奧會(huì)兩個(gè)奧運(yùn)會(huì)將于2022年在北京召開，這是我國在2008年成功舉辦夏季奧運(yùn)會(huì)之后的又一奧運(yùn)盛事.某電視臺(tái)計(jì)劃在奧運(yùn)會(huì)期間某段時(shí)間連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不能相鄰播放，則不同的播放方式有（）A.120種 B.48種C.36種 D.18種8．下列命題錯(cuò)誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件9．方程所表示的曲線為（）A.射線 B.直線C.射線或直線 D.無法確定10．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.11．已知點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.12．七巧板是中國古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為______14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在的一條漸近線上，若，則的離心率的取值范圍是________15．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是__________16．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)在x，y，z軸上的射影分別為A，B，C，則四面體PABC的體積為______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.（1）若，，，求邊長c；（2），，，求角C.18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)F，C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5（1）求C的方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，求直線l的方程19．（12分）已知橢圓C：的焦距為，點(diǎn)在C上（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線：上任意一點(diǎn)，設(shè)直線RM，RQ，RN的斜率分別為，，，若，，成等差數(shù)列，求的方程.20．（12分）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)且動(dòng)圓內(nèi)切于定圓：記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）若、是曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足求直線的方程.21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知圓與直線相切（1）求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若線段AB的端點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)點(diǎn)與的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示與，再結(jié)合兩點(diǎn)在橢圓上，可得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)與，則，，所以，，又點(diǎn)與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.2、C【解析】取中點(diǎn)，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數(shù)計(jì)算的正弦值.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C3、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因?yàn)?，所以，于是有，因?yàn)?，所以，而，或，所以，故選：D4、B【解析】由，把展開整理求解【詳解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B5、A【解析】由程序圖可得，，再分段求解函數(shù)的值域，即可求解【詳解】由程序圖可得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述，的取值范圍為，故選：A6、B【解析】由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對(duì)稱性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，從而即可求解.【詳解】解：由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對(duì)稱性有，所以，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理有，所以，解得，所以雙曲線C的離心率，故選：B.7、C【解析】先考慮最后位置必為奧運(yùn)宣傳廣告，再將另一奧運(yùn)廣告插入3個(gè)商業(yè)廣告之間，最后對(duì)三個(gè)商業(yè)廣告全排列，即可求解.【詳解】先考慮最后位置必為奧運(yùn)宣傳廣告，有種，另一奧運(yùn)廣告插入3個(gè)商業(yè)廣告之間，有種；再考慮3個(gè)商業(yè)廣告的順序，有種，故共有種.故選：C.8、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出、，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.9、C【解析】將方程化為或，由此可得所求曲線.【詳解】由得：或，即或，方程所表示的曲線為射線或直線.故選：C.10、C【解析】利用函數(shù)的奇偶性求出，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用點(diǎn)斜式即可求出結(jié)果【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，則則，即，所以，所以函數(shù)，可得；所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C11、C【解析】設(shè)點(diǎn)在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點(diǎn)，故方程為.代入雙曲線方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故的面積為,選C.12、A【解析】設(shè)七巧板正方形邊長為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)七巧板正方形邊長為4，則大陰影等腰三角形底邊長為4，底邊上的高為2，可得小正方形對(duì)角線長為2，小正方形邊長為，小陰影等腰直角三角形腰長為，小白色等腰直角三角形底邊長為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求橢圓上平行于的直線方程，利用平行線的距離公式求橢圓上點(diǎn)到直線的最小值.【詳解】設(shè)與橢圓相切，且平行于的直線為，聯(lián)立橢圓整理可得：，則，∴，又兩平行線的距離，∴到直線距離的最小值為.故答案為：.14、【解析】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段中點(diǎn)，所以有，代入坐標(biāo)求出點(diǎn)的軌跡為圓，因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離求出臨界狀態(tài)下漸近線的斜率，數(shù)形結(jié)合求出有公共點(diǎn)時(shí)漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以有，即有，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以滿足：，代入可得：，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，當(dāng)兩條漸近線與圓恰好相切時(shí)為臨界點(diǎn)，則：圓心到漸近線的距離為，因?yàn)椋?，即，且，所以，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，漸近線與圓有公共點(diǎn)，.故答案為：.15、1【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，從而可求其體積.【詳解】據(jù)三視圖分析知，該幾何體為直三棱柱，且底面為直角邊為1的等腰直角三角形，高為2，所以其體積故答案為：116、2【解析】將物體放入長方體中，切割處理求得體積.【詳解】如圖所示：四面體PABC可以看成以1,2,3為棱長的長方體切去四個(gè)全等的三棱錐，所以四面體PABC的體積為.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)余弦定理可求得答案；（2）根據(jù)正弦定理和三角形的內(nèi)角和可求得答案.【小問1詳解】解：由余弦定理得：，所以.【小問2詳解】解：由正弦定理得：得，所以或120°，又因?yàn)?，所以，所以或即?18、（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線的定義，結(jié)合已知有求p，寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，由中點(diǎn)公式有，進(jìn)而求k值，寫出直線方程.【詳解】（1）由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線方程，得：，，若，則，而線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，∴，即，得，∴直線l的方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用拋物線定義求參數(shù)，寫出拋物線方程；（2）由直線與拋物線相交，以及相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo)值，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式求直線斜率，并寫出直線方程.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為，點(diǎn)在C上，由求解；（2）設(shè)，，，的斜率不存在時(shí)，則的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立求得M，N的坐標(biāo)，由，，成等差數(shù)列求解；的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，然后由，，成等差數(shù)列，結(jié)合韋達(dá)定理求解；【小問1詳解】解：由題意得，解得，，所以C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則的方程為，將代入，得.因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即，顯然當(dāng)時(shí)，方程恒成立.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，則，.，.因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即恒成立.則，解得.綜上所述，的方程為.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切，以及圓過定點(diǎn)列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標(biāo)公式可知，，再設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因?yàn)椋瑒t點(diǎn)是的重心，易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的問題關(guān)系，本題的關(guān)鍵是根據(jù)求得，.21、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.【小