數(shù)字邏輯與計(jì)算機(jī)組成 習(xí)題答案 袁春風(fēng) 第6章作業(yè)題總結(jié)

第6章運(yùn)算方法和運(yùn)算部件作業(yè)：習(xí)題3、4、5、6、7補(bǔ)充題目（復(fù)習(xí)第一章的內(nèi)容）：考慮下列C語言程序代碼：inti=65535;shortsi=(short)i;intj=si;假定上述程序段在某32位機(jī)器上執(zhí)行，sizeof(int)=4，則變量i、si和j的值分別是多少？為什么？【分析解答】在一臺(tái)32位機(jī)器上執(zhí)行上述代碼段時(shí)，i為32位補(bǔ)碼表示的定點(diǎn)整數(shù)，第2行要求強(qiáng)行將一個(gè)32位帶符號數(shù)截?cái)酁?6位帶符號整數(shù)，65535的32位補(bǔ)碼表示為0000FFFFH，截?cái)酁?6位后變成FFFFH，它是–1的16位補(bǔ)碼表示，因此si的值是–1。再將該16位帶符號整數(shù)擴(kuò)展為32位時(shí)，就變成了FFFFFFFFH，它是–1的32位補(bǔ)碼表示，因此j的值也為–1。也就是說，i的值原來為65535，經(jīng)過截?cái)?、再擴(kuò)展后，其值變成了–1?？紤]以下C語言程序代碼：intfunc1(unsignedword){ return(int)((word<<24)>>24);}intfunc2(unsignedword){ return((int)word<<24)>>24;}假設(shè)在一個(gè)32位機(jī)器上執(zhí)行這些函數(shù)，sizeof(int)=4。說明函數(shù)func1和func2的功能，并填寫表6.2，給出對表中“異?！睌?shù)據(jù)的說明。表6.2題3用表Wfunc1(w)func2(w)機(jī)器數(shù)值機(jī)器數(shù)值機(jī)器數(shù)值127128255256【分析解答】函數(shù)func1的功能是把無符號數(shù)高24位清零（左移24位再邏輯右移24位），結(jié)果一定是正的帶符號整數(shù)；而函數(shù)func2的功能是把無符號數(shù)的高24位都變成和第25位一樣，因?yàn)樽笠?4位后左邊第一位變?yōu)樵瓉淼牡?5位，然后進(jìn)行算術(shù)右移，高位補(bǔ)符號，即高24位都變成和原來第25位相同。根據(jù)程序執(zhí)行的結(jié)果填表如下表，表中機(jī)器數(shù)用十六進(jìn)制表示。題3中填入結(jié)果后的表Wfunc1(w)func2(w)機(jī)器數(shù)值機(jī)器數(shù)值機(jī)器數(shù)值0000007FH1270000007FH+1270000007FH+12700000080H12800000080H+128FFFFFF80H–128000000FFH255000000FFH+255FFFFFFFFH–100000100H25600000000H000000000H0因?yàn)檫壿嬜笠坪退阈g(shù)左移的結(jié)果完全相同，所以，函數(shù)func1和func2中第一步左移24位得到的結(jié)果完全相同，所不同的是右移24位后的結(jié)果不同。上述表中，加粗?jǐn)?shù)據(jù)是一些“異?！苯Y(jié)果。當(dāng)w=128和255時(shí)，第25位正好是1，因此函數(shù)func2執(zhí)行的結(jié)果為一個(gè)負(fù)數(shù)，出現(xiàn)了“異?！?。當(dāng)w=256時(shí)，低8位為00，高24位為非0值，左移24位后使得有效數(shù)字被移出，因而發(fā)生了“溢出”，使得出現(xiàn)了“異?！苯Y(jié)果0?；径寄茏鰧Γ瑯O個(gè)別同學(xué)出錯(cuò)。填寫表6.3，注意對比無符號數(shù)和帶符號整數(shù)的乘法結(jié)果，以及截?cái)嗖僮髑啊⒑蟮慕Y(jié)果。表6.3題4用表模式xyx×y（截?cái)嗲埃﹛×y（截?cái)嗪螅C(jī)器數(shù)值機(jī)器數(shù)值機(jī)器數(shù)值機(jī)器數(shù)值無符號數(shù)110010二進(jìn)制補(bǔ)碼110010無符號數(shù)001111二進(jìn)制補(bǔ)碼001111無符號數(shù)111111二進(jìn)制補(bǔ)碼111111【分析解答】根據(jù)無符號數(shù)乘法運(yùn)算和補(bǔ)碼乘法運(yùn)算算法，填寫表6.3后得到下表。題4中填入結(jié)果后的表模式xyx×y（截?cái)嗲埃﹛×y（截?cái)嗪螅C(jī)器數(shù)值機(jī)器數(shù)值機(jī)器數(shù)值機(jī)器數(shù)值無符號數(shù)11060102001100121004二進(jìn)制補(bǔ)碼110–2010+2111100–4100–4無符號數(shù)0011111700011171117二進(jìn)制補(bǔ)碼001+1111–1111111–1111–1無符號數(shù)11171117110001490011二進(jìn)制補(bǔ)碼111–1111–1000001+1001+1對上表中結(jié)果分析如下：=1\*GB3①對于兩個(gè)相同的機(jī)器數(shù)，作為無符號數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算和作為帶符號整數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算，因?yàn)槠渌玫某朔ㄋ惴ú煌?，所以，乘積的機(jī)器數(shù)可能不同。但是，從表中看出，截?cái)嗪蟮某朔e是一樣的，也即不同的僅是乘積中的高n位，而低n位完全一樣。=2\*GB3②對于n位乘法運(yùn)算，無論是無符號數(shù)乘法還是帶符號整數(shù)乘法，若截取2n位乘積的低n位作為最終的乘積，則都有可能結(jié)果溢出，即n位數(shù)字無法表示正確的乘積。雖然表中給出的帶符號整數(shù)乘積截?cái)嗪蠖紱]有發(fā)生溢出，但實(shí)際上還是存在溢出的情況，例如，011×011=001001，截?cái)嗪?11×011=001，顯然截?cái)嗪蟮慕Y(jié)果發(fā)生了溢出。=3\*GB3③表中加粗的地方是截?cái)嗪蟀l(fā)生溢出的情況?？梢钥闯觯瑢τ跓o符號整數(shù)乘法，若乘積中高n位為全0，則截?cái)嗪蟮牡蚽位乘積不發(fā)生溢出，否則溢出；對于帶符號整數(shù)乘法，若高n位中的每一位都等于低n位中的第一位，則截?cái)嗪蟮牡蚽位乘積不發(fā)生溢出，否則溢出?；径寄茏鰧Γ鲥e(cuò)頻率相對較高的是x×y（截?cái)嗪螅┒M(jìn)制補(bǔ)碼。以下是兩段C語言代碼，函數(shù)arith()是直接用C語言寫的，而optarith()是對arith()函數(shù)以某個(gè)確定的M和N編譯生成的機(jī)器代碼反編譯生成的。根據(jù)optarith()，可以推斷函數(shù)arith()中M和N的值各是多少？#define M #define N int arith (intx,inty){ intresult=0; result=x*M+y/N; returnresult;}intoptarith(intx,inty){ intt=x; x<<=4; x–=t; if(y<0)y+=3;y>>=2; returnx+y; }【分析解答】對反編譯結(jié)果進(jìn)行分析，可知：對于x，指令機(jī)器代碼中有一條“x左移4位”指令，即：x=16x，然后有一條“減法”指令，即x=16x–x=15x，根據(jù)源程序知M=15；對于y，有一條“y右移2位”指令，即y=y/4，根據(jù)源程序知N=4。但是，當(dāng)y<0時(shí)，對于有些y，執(zhí)行y>>2后的值并不等于y/4。例如，當(dāng)y=–1時(shí)，在反編譯函數(shù)optarith中執(zhí)行y>>2時(shí)，因?yàn)楱C1的機(jī)器數(shù)為全1，左移兩位后還是全1，也即–1>>2=–1，結(jié)果為–1；而原函數(shù)arith中執(zhí)行y/4時(shí)，因?yàn)楱C1/4=0，得到結(jié)果為0。對于帶符號整數(shù)來說，采用算術(shù)右移時(shí)，高位補(bǔ)符號，低位移出。因此，當(dāng)符號位為0時(shí)，與無符號整數(shù)相同，采用移位方式和直接相除得到的商完全一樣。當(dāng)符號位為1時(shí)，若低位移出的是非全0，則說明不能整除。例如，對于-3/2，假定補(bǔ)碼位數(shù)為4，則進(jìn)行算術(shù)右移操作1101>>1=1110.1B（小數(shù)點(diǎn)后面部分移出）后得到的商為-2，而精確商是-1.5，即整數(shù)商應(yīng)為-1。顯然，算術(shù)右移后得到的商比精確商少了0.5，相當(dāng)于朝-∞方向進(jìn)行了舍入，而不是朝零方向舍入。因此，這種情況下，移位得到的商與直接相除得到的商不一樣，需要進(jìn)行校正。校正的方法是，對于帶符號整數(shù)x，若x<0，則在右移前，先將x加上偏移量(2k-1)，然后再右移k位。例如，上述函數(shù)optarith中，在執(zhí)行y>>2之前加了一條語句“if(y<0)y+=3;”，以對y進(jìn)行校正?；径寄茏鰧?，極個(gè)別同學(xué)出錯(cuò)。設(shè)A4A1和B4B1分別是4位加法器的兩組輸入，C0為低位來的進(jìn)位。當(dāng)加法器分別采用串行進(jìn)位和先行進(jìn)位時(shí)，寫出4個(gè)進(jìn)位C4【分析解答】 串行進(jìn)位：C1=A1C0+B1C0+A1C2=A2C1+B2C1+A2C3=A3C2+B3C2+A3C4=A4C3+B4C3+A4并行進(jìn)位：C1=A1B1+(A1+B1)C0C2=A2B2+(A2+B2)A1B1+(A2+B2)(A1+B1)C0C3=A3B3+(A3+B3)A2B2+(A3+B3)(A2+B2)A1B1+(A3+B3)(A2+B2)(A1+B1)C0C4=A4B4+(A4+B4)A3B3+(A4+B4)(A3+B3)A2B2+(A4+B4)(A3+B3)(A2+B2)A1B1+(A4+B4)(A3+B3)(A2+B2)(A1+B1)C0都能做對。7．請按如下要求計(jì)算，并把結(jié)果還原成真值。設(shè)［x］補(bǔ)=0101、［y］補(bǔ)=1101，求［x+y］補(bǔ)，［x–y］補(bǔ)。設(shè)［x］原=0101、［y］原=1101，用原碼一位乘法計(jì)算［x×y］原。設(shè)［x］補(bǔ)=0101、［y］補(bǔ)=1101，用MBA（基4布斯）乘法計(jì)算［x×y］補(bǔ)。設(shè)［x］原=0101、［y］原=1101，用不恢復(fù)余數(shù)法計(jì)算［x/y］原的商和余數(shù)。設(shè)［x］補(bǔ)=0101、［y］補(bǔ)=1101，用不恢復(fù)余數(shù)法計(jì)算［x/y］補(bǔ)的商和余數(shù)?！痉治鼋獯稹浚?）[x]補(bǔ)=0101B，[y]補(bǔ)=1101B，[–y]補(bǔ)=0011B。[x+y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=0101B+1101B=(1)0010B，因此，x+y=2。兩個(gè)不同符號數(shù)相加，結(jié)果一定不會(huì)溢出。驗(yàn)證：x=+101B=5，y=–011B=–3，x+y=2。[x–y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)+[–y]補(bǔ)=0101B+0011B=(0)1000B，因此，x–y=–8。兩個(gè)正數(shù)相加結(jié)果為負(fù)，發(fā)生了溢出。驗(yàn)證：5–(–3)=8>最大可表示數(shù)7，故溢出。（2）[x]原=0101B，[y]原=1101B。將符號和數(shù)值部分分開處理。乘積的符號為0⊕1=1，數(shù)值部分采用無符號數(shù)乘法算法計(jì)算101×101的乘積。原碼一位乘法過程描述如下：初始部分積為0，在乘積寄存器前增加一個(gè)進(jìn)位位。每次循環(huán)首先根據(jù)乘數(shù)寄存器中最低位決定+X還是+0，然后將得到的新進(jìn)位、新部分積和乘數(shù)寄存器中的部分乘數(shù)一起邏輯右移一位。共循環(huán)3次，最終得到一個(gè)8位無符號數(shù)表示的乘積10011001B。CPY說明0000101P0=0+101y0=1，+X0101C,P和Y同時(shí)右移一位0010110得P1+000y1=0，+00010C,P和Y同時(shí)右移一位0001011得P2+101y2=1，+X0110011C,P和Y同時(shí)右移一位0011001得P3符號位為1，因此，［x×y］原=10011001，因此，x×y=–25。若結(jié)果取4位原碼1001，則因?yàn)槌朔e數(shù)值部分高3位為0011，是一個(gè)非0數(shù)，所以，結(jié)果溢出。驗(yàn)證：4位原碼的表示范圍為-7～+7，顯然乘積–25不在其范圍內(nèi)，結(jié)果應(yīng)該溢出。（3）[x]補(bǔ)=0101B，[–x]補(bǔ)=1011B，[y]補(bǔ)=1101B。采用MBA算法時(shí)，符號和數(shù)值部分一起參加運(yùn)算，在乘數(shù)后面添0，初始部分積為0，并在部分積前加一位符號位0。每次循環(huán)先根據(jù)乘積寄存器中最低3位決定執(zhí)行+X、+2X、–X、–2X、還是+0操作，然后將得到的新的部分積和乘數(shù)寄存器中的部分乘數(shù)一起算術(shù)右移兩位。–X和–2X分別采用+[–x]補(bǔ)和+2[–x]補(bǔ)的方式進(jìn)行。共循環(huán)兩次。最終得到一個(gè)8位補(bǔ)碼表示的乘積11110001B。CPYY-1說明0000011010P0=0+00101y1y0y-1=010，+X00101C,P和Y同時(shí)右移兩位0000101110得P1+11011y3y2y1=110，–X11100C,P和Y同時(shí)右移兩位111110001得P2［x×y］補(bǔ)=11110001，因此，x×y=–15。（4）[x]原=0101B，[y]原=1101B。將符號和數(shù)值部分分開處理。將符號和數(shù)值部分分開處理。商的符號為0⊕1=1，數(shù)值部分采用無符號數(shù)除法算法計(jì)算101B和101B的商和余數(shù)。無符號數(shù)不恢復(fù)余數(shù)除法過程描述如下：初始中間余數(shù)為00001010，其中，最高位為添加的符號位，用于判斷余數(shù)是否大于等于0；最后一位0為第一次上的商，該位商只是用于判斷結(jié)果是否溢出，不包含在最終的商中。因?yàn)榻Y(jié)果肯定不溢出，所以該位商可以直接上0，并先做一次–Y操作得到第一次中間余數(shù)，然后進(jìn)入循環(huán)。每次循環(huán)首先將中間余數(shù)和商一起左移一位，然后根據(jù)上一次上的商（或余數(shù)的符號）決定執(zhí)行+Y還是–Y操作，以得到新的中間余數(shù)，最后根據(jù)中間余數(shù)的符號確定上商為0還是1。–Y采用+[–y]補(bǔ)的方式進(jìn)行。整個(gè)循環(huán)內(nèi)執(zhí)行的要點(diǎn)是“正、1、減；負(fù)、0、加”。共循環(huán)3次。最終得到一個(gè)3位無符號數(shù)表示的商0001和余數(shù)0000，其中第一位商0必須去掉，添上符號位后得到最終的商的原碼表示為1001，余數(shù)的原碼表示為0000。因此，x/y的商為–1，余數(shù)為0。

余數(shù)寄存器R余數(shù)/商寄存器Q說明0000101 開始R0=X+1011 R1=X–Y10111010 R1<0，故q3=0，沒有溢出0111010 2R1（R和Q同時(shí)左移，空出一位商）+0101 R2=2R1+Y11000100 R2<0，則q2=01000100 2R2（R和Q同時(shí)左移，空出一位商）+0101R3=2R2+Y11011000 R3<0，則q1=01011000 2R3（R和Q同時(shí)左移，空出一位商）+0101R4=2R3–Y00000001 R4>0，則q0=1商的最高位為0，說明沒有溢出，商的數(shù)值部分為001。所以，［x/y］原=1001（最高位為符號位），余數(shù)為0。（5）[x]補(bǔ)=0101B，[y]補(bǔ)=1101B。補(bǔ)碼不恢復(fù)余數(shù)除法過程描述如下：初始中間余數(shù)為00000101，整個(gè)循環(huán)內(nèi)執(zhí)行的要點(diǎn)是“同、1、減；異、0、加”。共循環(huán)4次，得到商1110和余數(shù)0010。最終根據(jù)情況需要對商和余數(shù)進(jìn)行修正。余數(shù)寄存器R余數(shù)/商寄存器Q說明00000101 開始R0=X+1101 被除數(shù)和除數(shù)異號，做加法11010101 同、1、減10101011 2R1（R和Q同時(shí)左移，空出一位商）+0011 R2=2R1-Y11011011 同、1、減101101