2023高一數(shù)學(xué)暑假精講精練2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式新人教A版

2．3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式知識點(diǎn)一一元二次不等式的概念定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)知識點(diǎn)二一元二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．知識點(diǎn)三二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識點(diǎn)四解一元二次不等式①化為基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；②計(jì)算Δ＝b2－4ac，以確定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；③有根求根；④根據(jù)圖象寫出不等式的解集.知識點(diǎn)五解分式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0?f(x)·g(x)>0；(2)eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0；))(3)eq\f(fx,gx)≥a?eq\f(fx－agx,gx)≥0.知識點(diǎn)六一元二次不等式恒成立問題恒成立的不等式問題通常轉(zhuǎn)化為求最值問題，即：k≥f(x)恒成立?k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min.題型一、解不含參數(shù)的一元二次不等式1．解不等式：=1\*GB2⑴.=2\*GB2⑵.=3\*GB2⑶.=4\*GB2⑷.=5\*GB2⑸=6\*GB2⑹；=7\*GB2⑺.【詳解】=1\*GB2⑴所以，即解集為.=2\*GB2⑵等價于等價于，解得：或，所以不等式的解集為；=3\*GB2⑶，，，所以原不等式的解集為.=4\*GB2⑷設(shè)函數(shù)，令，則，即函數(shù)的圖象與x軸無公共點(diǎn)，又二次函數(shù)圖象開口向下，不等式恒成立，所以不等式的解集是：R.=5\*GB2⑸因?yàn)椋缘慕饧癁?=6\*GB2⑹，可得，∴不等式解集為.=7\*GB2⑺原不等式造價變形為，即，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或，又二次函數(shù)圖象開口向上，由得：得或，所以不等式的解集是：.2．解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)或；(2)【詳解】(1)因?yàn)?，所以方程有兩個不等實(shí)根x1＝－1，x2＝－3.所以原不等式的解集為或.(2)因?yàn)?，所以方程有兩個相等實(shí)根x1＝x2＝所以原不等式的解集為.3．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，即，解得，即，又，所以；故選：C題型二、解含有參數(shù)的一元二次不等式1．解關(guān)于的不等式：【詳解】方程的解為，，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.2．解關(guān)于的不等式：.【詳解】①當(dāng)時，原不等式可化為：,可得不等式的解集為，②當(dāng)時，原不等式可化為：，不等式的解集為：；③當(dāng)時，原不等式可化為：,當(dāng)時，不等式的解集為：,當(dāng)時，不等式的解集為：,當(dāng)時，不等式的解集為:.3．解下列關(guān)于x的不等式(1)；(2)；(3)；【詳解】(1)因?yàn)?，即，所以，解得∴原不等式的解集?(2)因?yàn)椋簦?，解得或，?dāng)時，原不等式即為，所以原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式即為，所以原不等式的解集為；當(dāng)，即，解得時，所以原不等式的解集為；當(dāng)，即，解得或時，方程有兩不相等實(shí)數(shù)根、，由，解得或，所以原不等式的解集為；(3)因?yàn)?，即，?dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為．題型三、由一元二次不等式的解確定參數(shù)1．不等式的解集為，則__________．【答案】【詳解】由已知，關(guān)于的二次方程的兩根分別為、，且，所以，，解得.故答案為：.2．已知函數(shù)，的解集為或，(1)求a?b的值；(2)若對一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】(1)∵的解集為或∴-2，b為方程的兩個根∴，解得(2)由（1）可知，∴不等式在R上恒成立，等價于在R上恒成立，即，∴∴m的取值范圍為3．已知不等式的解集為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由不等式的解集知：和是方程的兩根，.故選：A.題型四、一元二次方程根的分布問題1．方程的兩根均大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______【答案】【詳解】的兩個根都大于，解得可求得實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：2．若一元二次方程的兩根都是負(fù)數(shù)，求k的取值范圍為___________.【答案】【詳解】首先，設(shè)方程的兩根為，則，所以，又，解得．故答案為：．題型五、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系1．當(dāng)時，請?zhí)钕卤恚号袆e式方程的根二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的零點(diǎn)【詳解】判別式方程的根2個不等實(shí)根兩個相等實(shí)根無實(shí)根二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)與x軸有一個交點(diǎn)與x軸無交點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)2個零點(diǎn)1個零點(diǎn)無零點(diǎn)2．二次函數(shù)（）的部分對應(yīng)值如下表：則關(guān)于的不等式的解集為______.【答案】（或）【詳解】代入，可得，再代入和，可得，得，所以，解得.故答案為：或3．已知，設(shè)集合，若，求的取值范圍.【答案】.【詳解】因?yàn)?，所以不等式有解；即有解，?dāng)時，不成立，所以不符合題意；當(dāng)時，，解集為，不符合題意；當(dāng)即或時，有解，符合題意；當(dāng)時，若不等式有解，則，解得：或，綜上所述：的取值范圍為.題型六、解分式不等式1．（1）.(2).(3)．(4).【詳解】（1）原不等式化為：方程的2個解為，根據(jù)函數(shù)的圖像，可知：原不等式解集為.（2）由得，∴，解得，故不等式的解集為.(3)依題意：,,,,解集為.(4)原不等式可變形為，即，設(shè)函數(shù)，由得或，即函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或，又二次函數(shù)圖象開口向上，由，且得：，所以不等式的解集是：.2．解不等式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)或；(2)；(3).【詳解】(1)由，可得，∴，解得或，所以原不等式的解集為或.(2)由可得，，∴，解得，所以原不等式的解集為.(3)，原不等式化為：，解得：，所以的解集是.3．解不等式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【詳解】(1)由可得，即，解得，所以不等式的解集為。(2)由，可得，即，解得或所以的解集為。題型七、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上的恒成立問題1．已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【詳解】當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，由題意有，解得，綜上，.故選：B.2．（多選）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】因?yàn)闉檎婷}，所以或，所以是命題“”為真命題充分不必要條件，A對，所以是命題“”為真命題充要條件，B錯，所以是命題“”為真命題充分不必要條件，C對，所以是命題“”為真命題必要不充分條件，D錯，故選：AC3．一元二次不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題，一元二次不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立則，即，解得故選：B題型八、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題1．已知函數(shù)．(1)若不等式的解集是實(shí)數(shù)集，求的取值范圍；(2)若不等式的解集是實(shí)數(shù)集，求的取值范圍；(3)時，，求的取值集合．【詳解】(1)因?yàn)椴坏仁降慕饧菍?shí)數(shù)集，所以，對恒成立，當(dāng)a=0時，，不成立，當(dāng)時，，解得．綜上：的取值范圍是．(2)因?yàn)椴坏仁降慕饧菍?shí)數(shù)集，所以不等式對恒成立當(dāng)a=0時，，不成立，當(dāng)時，，解得．綜上：的取值范圍是．(3)因?yàn)闀r，，則即解得．若，時，恒成立，符合要求．所以的取值集合是．2．已知當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】恒成立，即，對任意得恒成立，令，，當(dāng)時，，不符題意，故，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，則，解得或（舍去），當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，則，解得或（舍去），綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.3．若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】命題“”為假命題，其否定為真命題，即“”為真命題．令，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.故選：C題型九、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題1．已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，，即，故問題轉(zhuǎn)化為在上有解，設(shè)，則，，對于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，故，故選：A2．關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則的取值范圍為________．【答案】【詳解】在內(nèi)有解，，其中；設(shè)，則當(dāng)時，，，解得：，的取值范圍為.故答案為：.3．設(shè)二次函數(shù)．（1）若方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______；（2）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______；（3）若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】

或.

【詳解】對于（1），因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，故，解得或.對于（2），因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，故，解?對于（3），不等式的解集為R，故，故.題型十、一元二次不等式的應(yīng)用1．某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，每盞的最低售價為15元，若每盞按最低售價銷售，每天能賣出45盞，每盞售價每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，得，即，∴，解得．又每盞的最低售價為15元，∴．故選：B．2．某學(xué)校欲在廣場旁的一塊矩形空地上進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均種滿寬度相同的鮮花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.(1)若矩形草坪的長比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.【詳解】(1)設(shè)草坪的寬為x米，長為y米，由面積均為200平方米，得，因?yàn)榫匦尾萜旱拈L比寬至少多10米，所以，又，所以，解得，所以寬的最大值為10米；(2)記整個綠化面積為S平方米，由題意得，，當(dāng)且僅當(dāng)米時，等號成立，所以整個綠化面積的最小值為平方米1．“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【詳解】由，可得或則由“”可以得到“”；由“”不能得到“”則“”是“”的充分非必要條件故選：A2．求下列關(guān)于的不等式的解集：(1)；(2)【詳解】(1)由得，解得或，故不等式的解集為或.(2)當(dāng)時，原不等式即為，該不等式的解集為；當(dāng)時，，原不等式即為.①若，則，原不等式的解集為或；②若，則，原不等式的解集為或.綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為或.3．解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】(1)由題，即，解得或，即；(2)由題，解得或，即4．求下列不等式的解集：(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】(1)不等式等價于，解得.∴不等式的解集為.(2)不等式等價于，解得或.∴不等式的解集為.5．解不等式：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【詳解】(1)不等式，可化為，解得或，不等式的解集為；(2)不等式，可化為，等價于，解得，不等式的解集為.6．若，解關(guān)于的不等式．【答案】【詳解】原不等式等價于，因，則，即，于是解得：，所以原不等式的解集為.7．已知函數(shù)，的解集為．(1)求的解析式；(2)當(dāng)時，求的最大值．【答案】(1)；(2)【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)，的解集為，那么方程的兩個根是，，且，由韋達(dá)定理有

所以．(2)，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，當(dāng)時取等號，∴當(dāng)時，．8．若關(guān)于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______．【答案】【詳解】由題意，關(guān)于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.9．若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】當(dāng)時，不等式為，滿足題意；當(dāng)，需滿足，解得，綜上可得，的取值范圍為，故答案為：.10．若命題“關(guān)于的不等式的解集為R”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________【答案】【詳解】因?yàn)槊}“關(guān)于的不等式的解集為R”是真命題，所以，解得，即.故答案為：11．若對于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由題可得對于恒成立，即解得:.故選：B.12．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】，則要滿足，解得：，因?yàn)?，但故“”是“”的必要不充分條件.故選：B13．若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，即函數(shù)的最小值小于0即可，，故，解得：故選：D1．（1）解關(guān)于的不等式組：；（2）解關(guān)于的不等式：.【答案】（1）解集為；（2）或.【詳解】（1）由可得，所以不等式的解集為或.因?yàn)榉匠痰?，所以不等式的解集為，所以原不等式組的解集為；（2）由得，等價于，所以，，解得或.故原不等式的解集為或.2．解下列關(guān)于x的不等式：(1)；(2)（）.【答案】(1)(2)當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為【詳解】(1)由，得，即則且，解得：(2)當(dāng)時，原不等式，解的；當(dāng)時，原不等式，又所以解集為；當(dāng)時，因?yàn)樗越饧癁?綜上有，時，解集為；時，解集為；時，解集為.3．已知命題和命題，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】命題即命題即，所以，p是q的充分不必要條件故選：A4．已知函數(shù)(1)若不等式的解集為空集，求m的取值范圍(2)若，的解集為，的最大值【答案】(1)；(2)【詳解】(1)由題意，函數(shù)，不等式的解集為空集等價于恒成立，即，解得，即m的取值范圍為．(2)若，的解集為，所以有兩個不同實(shí)根，即是方程的兩個實(shí)根，故，，故同為負(fù)值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時等號成立，故的最大值為．5．已知關(guān)于的方程的兩個實(shí)根、，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【詳解】不妨令，其對稱軸為，且的圖像開口向上，因?yàn)榈膬蓚€實(shí)根、，滿足，所以，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.6．已知一元二次方程有一個根比1大，另一個根比1小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【詳解】令函數(shù)，則其圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸是，若二次函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則必有一個零點(diǎn)小于0，即小于1，要使另一個零點(diǎn)比1大，則需滿足，解得，即時，二次方程有一個根比1大，另一個根比1小.所以滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：．7．若不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【詳解】當(dāng)時，不等式為滿足題意；當(dāng)時，需滿足，解得綜上可得，a的取值范圍為，故答案為：8．若關(guān)于x的不等式的解集為R，求a的取值范圍.【答案】【詳解】關(guān)于的不等式的解集為.當(dāng)時，原不等式為，該不等式在上恒成立；當(dāng)時，則有，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.9．已知命題p：“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的最大值是___．【答案】【詳解】由題意，，恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即a的最大值是．故答案為：.10．若不等式對一切都成立，則a的最小值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【詳解】記，要使不等式對一切都成立，則：或或解得或或，即.故選：D11．當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】．【詳解】由題意不等式對恒成立，可設(shè)，，則是關(guān)于的一次函數(shù)，要使題意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集為，所以的取值范圍是．12．已知函數(shù)，若時，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【詳解】由題意，當(dāng)時，恒成立，等價于當(dāng)時，恒成立，進(jìn)一步等價于，等價于，設(shè)，，由勾函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，當(dāng)時，，，故答案為：．13．若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】.【詳解】對于任意的，不等式，即，因此，對于任意的，恒成立，當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，即當(dāng)時，取得最小值4，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．已知命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C．） D．【答案】D【詳解】由題意，命題“，”是真命題故，解得或.則實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：D.15．已知命題：“”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】命題p：“，”，即，設(shè)，對勾函數(shù)在時取得最小值為4，在時取得最大值為，故，故選：B．16．若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】存在，不等式成立，則，能成立，即對于，成立，令，，則，令，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，又，所以，所以.故選：C17．若，使成立，則實(shí)數(shù)的