構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的常見方法

,.構(gòu)造函數(shù)法證明不等式一、教學(xué)目標：1.知識與技能：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性和最值來證明不等式.謝謝閱讀2.過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生鉆研教材，歸納求導(dǎo)的四則運算法則的應(yīng)用，通過類比，化歸思感謝閱讀想轉(zhuǎn)換命題，抓住條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)形式，合理構(gòu)造函數(shù).謝謝閱讀3.情感與態(tài)度：通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力（歸納與類比）與推理能力感謝閱讀（證明），培養(yǎng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的決心和解題信心。二、教學(xué)重難點：解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)精品文檔放心下載的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)謝謝閱讀是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。難點：將命題的結(jié)論進行轉(zhuǎn)化與化歸，變成熟悉的題型。感謝閱讀三、教法學(xué)法：變式訓(xùn)練四、教學(xué)過程：（一）引入課題：1.復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的運算法則：2.問題探源：（教材第32頁B組題第1題）利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗證感謝閱讀(3)ex1x(x0)(4)lnxx1(x0)3.問題探究：1、直觀感知（幾何畫板演示）；（2）推理論證,.高考探究：1、(2013年北京高考）設(shè)L為曲線C：ylnxx在點(1，0)處的切線.精品文檔放心下載(I)求L的方程；(II)證明：除切點(1，0)之外，曲線C在直線L的下方.感謝閱讀變式練習(xí)1：若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)感謝閱讀,.變式練習(xí)2：證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(11)111都成立n1n（類似還有2012年湖北高考題第22題）變式練習(xí)3：已知m、n都是正整數(shù)，且1mn,證明：(1m)n(1n)m精品文檔放心下載思考題5．（全國卷）已知函數(shù)g(x)xlnx謝謝閱讀0ab,證明：g(a)g(b)g(ab)謝謝閱讀22,.五.小結(jié)：（1）知識點：（2）解題步驟：（3）數(shù)學(xué)思想方法高考真題訓(xùn)練：1.【2015年新課標Ⅰ文21】.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)fxe2xalnx.感謝閱讀2分析：利用函數(shù)最值和不等式單調(diào)性證明.,.2.【15北京理科】已知函數(shù)fxln1x求證：當x0，1時，fx2x3；1x，x3分析：移項構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求證。3.【2013年陜西高考21題】已知函數(shù)f(x)ex,xR.精品文檔放心下載設(shè)ab,證明：abf(b)f(a).f2ba,.4.【2015年新課標Ⅱ】設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.謝謝閱讀若對于任意x1,，x2∈[-1,1]，都有｜f(x1)-f(x2)｜≤e-1，求m的取值范圍．謝謝閱讀方法小結(jié)：利用絕對值的定義化歸，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性和最值證明不等式.謝謝閱讀,.5.【2014年新課標Ⅰ21】.設(shè)函數(shù)f(x0aexlnxbex1，曲線yf(x)在點（1，f(1)x處的切線為ye(x1)2.(Ⅰ)求a,b；（Ⅱ）證明：f(x)1.方法小結(jié)：不等式轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)minmax6.【2013年新課標Ⅱ】已知函數(shù)f(x)exln(xm)，當m≤2時，證明f(x)>0精品文檔放心下載方法小結(jié)：分類討論，充分利用第一問的結(jié)論作為條件解題，超越方程利用勘根定理近似計精品文檔放心下載算，利用極值證明單調(diào)性。,.高考函數(shù)不等式證明答案1.解：（I）fx的定義域為0,,fx2e2xax(x0).精品文檔放心下載a≤0時，fx0，fx沒有零點；謝謝閱讀a0時，因為e2x單調(diào)遞增，ax單調(diào)遞減，所以fx在0,單調(diào)遞增，又fa0，精品文檔放心下載b滿足0＜b＜a且b＜1時，f(b)0，故當a>0時fx存在唯一零點.謝謝閱讀4 4,.……6分（II）由（I），可設(shè)fx在0,的唯一零點為x，時，f＜0；00故fx在x0，x單調(diào)遞減，0xx，時，fx＞0.0在，取得最小值，最小值為fx.000由于2e2x0a0，所以fxa2axa1n22aa1n2.x02x0aa00故當a0時，22aa1na.fx……12分2.解：（Ⅰ）f(x)ln1x,x(1,1),f(x)2,f(0)2,f(0)0，1x1x2yfxy0；曲線在點0，f0處的切線方程為2x32(xx3)0（Ⅱ）當x0，1時，fx2x3，即不等式f(x)，對3x(0,1)成立，設(shè)F(x)ln1x2(xx3)ln(1x)ln(1x)2(xx3)，則1x33Fx)2x4x0，1F(x)0F(x)1x2(，當時，，故在（0，1）上為增函數(shù)，則F(x)F(0)0，因此對x(0,1)，f(x)2(xx3)成立；3x3（Ⅲ）使fxkx3成立，x0，1，等價于Fx)1xkxx3x0，1(ln1x(3)0，；22)kx42k，F(xiàn)(x)k(1x1x21x2,.當k[0,2]時，F(xiàn)(x)0，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，F(xiàn)(x)F(0)0，感謝閱讀符合題意；當k2時，令F(x)0,x4k2(0,1)0k，x(0,)x(,1)xx000F(x)-0+F(x)]極小值ZF(x)F(0)，顯然不成立，綜上所述可知：k的最大值為2.（I）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),f'(x)aex1nxaexbex1bex1.謝謝閱讀x x2 x4.解由題意可得f(1)2,f'(1)e.謝謝閱讀故a1,b2.22（II）由（I）知f(x)ex1nxex1,從而f(x)1等價于x1nxxexe.感謝閱讀所以當x(0,1e)時，g'(x)0;當x(1e,)時，g'(x)0.精品文檔放心下載故g(x)在（0,1e）單調(diào)遞減，在（1e,）單調(diào)遞增，從而g(x)在(0,)的最小值為g(1e)=-1e.精品文檔放心下載設(shè)函數(shù)h(x)xex2e,則h'(x)ex(1x)