2024屆廣東省深圳市高二上數(shù)學期末教學質量檢測試題含解析

2024屆廣東省深圳市高二上數(shù)學期末教學質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且它們的離心率之積為1，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.2．若在直線上，則直線的一個方向向量為（）A. B.C. D.3．2021年7月，某文學網站對該網站的數(shù)字媒體內容能否滿足讀者需要進行了調查，調查部門隨機抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計如下表所示：滿意程度學生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應抽取人；命題：樣本中上班族對數(shù)字媒體內容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.4．如圖在中，，，在內作射線與邊交于點，則使得的概率是（）A. B.C. D.5．已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過且與橢圓相交于不同的兩點，、不在軸上，那么△的周長（）A.是定值B.是定值C.不是定值，與直線的傾斜角大小有關D.不是定值，與取值大小有關6．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點，以線段為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.7．設,,,則,,大小關系為A. B.C. D.8．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數(shù)為（）A. B.C. D.不能確定9．已知平面直角坐標系內一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構成圖形的面積為（）A. B.C. D.10．現(xiàn)從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則（）A. B.C. D.11．考試停課復習期間，小王同學計劃將一天中的7節(jié)課全部用來復習4門不同的考試科目，每門科目復習1或2節(jié)課，則不同的復習安排方法有（）種A.360 B.630C.2520 D.1512012．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，分別為的中點，連接，則點到平面的距離為__________.14．若函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，則實數(shù)k=___________.15．設，復數(shù)，，若是純虛數(shù)，則的虛部為_________.16．設等差數(shù)列，前項和分別為，，若對任意自然數(shù)都有，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，且正四棱錐的體積為.（1）該正四棱錐的表面積的大??；（2）二面角的大小.(結果用反三角表示)18．（12分）已知過點的圓的圓心M在直線上，且y軸被該圓截得的弦長為4（1）求圓M的標準方程；（2）設點，若點P為x軸上一動點，求的最小值，并寫出取得最小值時點P的坐標19．（12分）如圖，在直棱柱中，已知，點分別的中點.（1）求異面直線與所成的角的大小；（2）求點到平面的距離；（3）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的大小是?若存在，請指出點的位置，若不存在，請說明理由.20．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值21．（12分）函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列滿足（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】計算雙曲線的焦點為，離心率，得到橢圓的焦點為，離心率，計算得到答案.【詳解】雙曲線的焦點為，離心率，故橢圓的焦點為，離心率，即.解得，故橢圓標準方程為：.故選：.【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，焦點，橢圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.2、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個向量，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個方向向量，又∵，∴是直線的一個方向向量故選：D3、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對數(shù)字媒體內容滿意程度的平均分，由方差公式計算方差可判斷，再由復合命題的真假判斷四個選項，即可得正確選項.【詳解】因為退休族應抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數(shù)字媒體內容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：4、C【解析】由題意可得，根據三角形中“大邊對大角，小邊對小角”的性質，將轉化為求的概率，又因為，，從而可得的概率【詳解】解：在中，，，所以，即，要使得，則，又因為，，則的概率是故選：C【點睛】本題考查幾何概型及其計算方法的知識，屬于基礎題5、B【解析】由直線過且與橢圓相交于不同的兩點，，且，為橢圓兩焦點，根據橢圓的定義即可得△的周長為，則答案可求【詳解】橢圓，橢圓的長軸長為，∴△的周長為故選：B6、A【解析】設雙曲線的左焦點為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點為的中點，也為的中點，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.7、C【解析】由,可得,,故選C.考點：指數(shù)函數(shù)性質8、B【解析】利用余弦定理結合橢圓的定義可求得、，即可得出結論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數(shù)為.故選：B.9、D【解析】先找臨界情況當PQ與圓C相切時，，進而可得滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內部），即求.【詳解】當PQ與圓C相切時，，這種情況為臨界情況，當P往外時無法找到點Q使，當P往里時，可以找到Q使，故滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點P構成圖形的面積為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是找出臨界情況時點所滿足的條件，進而即可得到動點滿足條件的圖形，問題即可解決.10、A【解析】先求出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的事件的概率，再求抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生事件的概率，然后代入條件概率公式即可【詳解】解：由已知得,，則，故選：A【點睛】此題考查條件概率問題，屬于基礎題11、C【解析】，先安排復習節(jié)的科目，然后安排其余科目，由此計算出不同的復習安排方法數(shù).【詳解】第步，門科目選門，安排節(jié)課，方法數(shù)有種，第步，安排其余科目，每門科目節(jié)課，方法數(shù)有種，所以不同的復習安排方法有種.故選：C12、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用轉化法，根據線面平行的性質，結合三棱錐的體積等積性進行求解即可.【詳解】設是的中點，連接，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因此點到平面的距離等于點到平面的距離，設為，因為平面，所以，，于是有，底面為矩形，所以有，，因為平面，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因為，所以，故答案為：14、2【解析】由題可求函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義即求.【詳解】∵，∴，，又函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，∴.故答案為：2.15、【解析】由復數(shù)除法的運算法則求出，又是純虛數(shù)，可求出，從而根據共軛復數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】解：因為復數(shù)，，所以，又是純虛數(shù)，所以，所以，所以所以的虛部為，故答案：.16、【解析】由等差數(shù)列的性質可得：．再利用已知即可得出【詳解】由等差數(shù)列的性質可得：對于任意的都有，則故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質，求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先求出球的半徑，即可得到四棱錐的棱長，再根據錐體的表面積公式計算可得；（2）取中點，聯(lián)結，即可得到，從而得到為二面角的平面角，再利用余弦定理計算可得.【小問1詳解】解：設球的半徑為，則解得，所以所有棱長均為，因此【小問2詳解】解：取中點，聯(lián)結，因為均為正三角形，因此，即為二面角的平面角.，因此二面角的大小為.18、（1）（2），【解析】（1）用待定系數(shù)法設出圓心，根據圓過點和弦長列出方程求解即可；（2）當三點共線時有最小值，求出直線MN的方程，令y=0即可.【小問1詳解】由題意可設圓心，因為y軸被圓M截得的弦長為4，所以，又，則，化簡得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標準方程為【小問2詳解】點關于x軸的對稱點為，則，當且僅當M，P，三點共線時等號成立，因為，則直線的方程為，即，令，得，則19、（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】（1）由題意，以點A為原點，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標系.，利用向量法求解異面直線成角即可.（2）先求出平面DEF的一個法向量，然后利用向量法求解點面距離.（3）設（），由可得關于的方程，從而得出答案.【小問1詳解】由題意，以點A為原點，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標系.則，，，，故，，從而，所以異面直線AE與DF所成角的大小為.小問2詳解】，設平面DEF的法向量為，則，即，取，得到平面DEF的一個法向量為.點A到平面DEF的距離為.【小問3詳解】假設存在滿足條件的點M，設（），則，從而.即，即，此方程無實數(shù)解，故不存在滿足條件的點M.20、（1）；（2）.【解析】（1）將題設條件化為，結合余弦定理即可知C的大小.（2）由（1）及正弦定理邊角關系可得，再應用輔助角公式、正弦函數(shù)的性質即可求最大值.【小問1詳解】由，得，即，由余弦定理得：，又，所以【小問2詳解】由（1）知：，則，設△ABC外接圓半徑為R，則，當時，取得最大值為21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構造函數(shù)，由題意可知恒成立，對實數(shù)分和兩種情況討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性，驗證是否成立，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，.（i）當時，，函數(shù)在上單調遞增；（ii）當時，令得.若，則；若，則.①當時，，函數(shù)在上單調遞增；②當時，，當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；綜上，可得，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；（2）設，，則.當時，單調遞增，則.所以，函數(shù)在上單調遞增，且.當時，，于是，函數(shù)在上單調遞增，恒成立，符合題意；當