新教材2023-2024學年高中數學第8章成對數據的統(tǒng)計分析8.2一元線性回歸模型及其應用8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數的最玄乘估計分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊

第八章8.2一元線性回歸模型及其應用8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數的最小二乘估計A級必備知識基礎練1.[探究點一·2023陜西漢中模擬]如圖所示,已知兩個線性相關的變量x,y的統(tǒng)計數據如下:x681012y6532其經驗回歸方程為y^=a^x+10.3,則aA.-0.7 B.0.7 C.-0.5 D.-22.[探究點二]紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一,一只紅鈴蟲的產卵數和溫度有關.現收集了7組觀測數據,用4種模型分別進行擬合.由此得到相應的經驗回歸方程并進行殘差分析,進一步得到如圖4幅殘差圖,根據殘差圖,擬合效果最好的模型是()A.模型一 B.模型二 C.模型三 D.模型四3.[探究點二]關于殘差圖的描述錯誤的是()A.殘差圖的橫坐標可以是樣本編號B.殘差圖的橫坐標也可以是解釋變量或響應變量C.殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄R2越小D.殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小4.[探究點三·2023山東濱州模擬]下列結論正確的是.

①對兩個變量x,y進行回歸分析,若所有樣本點都在直線y=-2x+1上,則r=1;②對兩個變量x,y進行回歸分析,以模型y=cekx去擬合一組數據時,為了求出經驗回歸方程,設z=lny,將其變換后得到經驗回歸方程z^=0.3x+4,則c,k的值分別是e4和0.③某人投籃一次命中的概率為13,某次練習他進行了20次投籃,每次投籃命中與否互相之間沒有影響,設本次練習他投籃命中的次數為隨機變量X,則當P(X=k)(k=0,1,2,3,…,20)取得最大值時,X=④已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則a1+2a2+…+7a7=-14.5.[探究點一]某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價,將該產品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數據:單價x/元88.28.48.68.89銷量y/件908483807568(1)已知y與x線性相關,求銷量y關于單價x的經驗回歸方程y^=b^x+a^,其中(2)預計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(1)中的關系,且該產品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產品的單價應定為多少元?(利潤=銷售收入-成本)6.[探究點二]在一段時間內,某網店一種商品的銷售價格x(單位:元)和日銷售量y(單位:件)之間的一組數據如下表:價格x/元2220181614日銷售量y/件3741435056求出y關于x的經驗回歸方程,并用R2說明擬合效果.參考數據:∑i=15xiyi=3992,∑參考公式:b^=∑i=1n(xB級關鍵能力提升練7.研究表明蟋蟀鳴叫的頻率x(每分鐘鳴叫的次數)與氣溫y(單位:℃)存在著較強的線性相關關系.某地觀測人員根據如表的觀測數據,建立了y關于x的經驗回歸方程y^=0.27x+k^,則下列說法不正確的是(x/(次數/分鐘)2030405060y/℃2527.52932.536A.k^的值是19.B.變量x,y正相關C.若x的值增加1,則y的值約增加0.27D.當蟋蟀以52次/分鐘的頻率鳴叫時,該地當時的氣溫預測值為33.5℃8.(多選題)下列說法正確的是()A.經驗回歸直線一定經過點(x,B.若兩個具有線性相關關系的變量的相關程度越強,則樣本相關系數r的值越接近于1C.在殘差圖中,殘差分布的水平帶狀區(qū)域越窄,說明模型的擬合精度越高D.在線性回歸模型中,決定系數R2越接近于1,說明回歸模型的擬合效果越好9.已知蝗蟲的產卵量y與溫度x的關系可以用模型y=c1ec2x擬合,設z=lnyx2023252730z22.4334.6由上表可得經驗回歸方程z^=0.2x+a^,則c1=(A.-2 B.e-2 C.3 D.e310.某品牌服裝專賣店為了解保暖襯衣的銷售量y(單位:件)與平均氣溫x(單位:℃)之間的關系,隨機統(tǒng)計了連續(xù)四旬的銷售量與當旬平均氣溫,其數據如下表:時間二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均氣溫x/℃381217旬銷售量y/件55m3324由表中數據算出經驗回歸方程y^=b^x+a^中的b^=-2,x(1)表中數據m=.

(2)氣象部門預測三月中旬的平均氣溫約為22℃,據此估計,該品牌的保暖襯衣在三月中旬的銷售量約為件.

11.某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了四次試驗,得到的數據如下:零件的個數x1245加工的時間y/小時2356已知零件的個數x與加工的時間y具有線性相關關系.(1)求出y關于x的經驗回歸方程;注:b^=(2)試預測加工10個零件需要多少時間.12.流感每年在世界各地均有傳播,在我國北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季兩個流行高峰.某幼兒園將去年春季該園患流感小朋友按照年齡與人數統(tǒng)計,得到如下數據:年齡x23456患病人數y2222171410(1)已知y與x線性相關,求y關于x的經驗回歸方程;(2)計算樣本相關系數r(計算結果精確到0.01),并回答是否可以認為該幼兒園去年春季患流感人數與年齡負相關很強.(若|r|∈[0.75,1],則x,y相關性很強;若|r|∈[0.3,0.75),則x,y相關性一般;若|r|∈[0,0.25],則x,y相關性較弱)參考數據:30≈5.477.參考公式:b^=∑i=1n13.某醫(yī)療科研團隊攻堅克難研發(fā)出一種新型防疫產品,該產品的成本由原料成本及非原料成本組成,每件產品的非原料成本y(單位:元)與生產該產品的數量x(單位:千件)有關,根據已經生產的統(tǒng)計數據,繪制了如圖所示的散點圖.觀察散點圖,兩個變量不具有線性相關關系,現考慮用函數y=a+bx對兩個變量的關系進行擬合.參考數據如下其中ui=1xiuu∑∑i=16∑∑i=16ui00.410.16811.49230620858.44173.850.39(1)求y關于x的非線性經驗回歸方程,并求y關于u的樣本相關系數(精確到0.01).(2)該產品采取訂單生產模式(根據訂單數量進行生產,即產品全部售出).根據市場調研數據,若該產品單價定為80元,則簽訂9千件訂單的概率為0.7,簽訂10千件訂單的概率為0.3;若單價定為70元,則簽訂10千件訂單的概率為0.3,簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產品的原料成本為30元,根據(1)的結果,要想獲得更高利潤,產品單價應選擇80元還是70元?請說明理由.參考公式:對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經驗回歸方程v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β^=∑i=1nC級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練14.[2023遼寧鞍山模擬]某IT公司在1月份至6月份的5G經濟收入y(單位:百萬元)關于月份x的數據如下表所示,并根據數據繪制了如圖所示的散點圖.月份x123456收入y/百萬元6.68.616.121.633.041.0(1)根據散點圖判斷,y=ax+b與y=cedx(a,b,c,d均為常數)哪一個更適宜作為5G經濟收入y關于月份x的經驗回歸方程類型;(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(1)中的結果及表中的數據,求出y關于x的經驗回歸方程,并預測該公司7月份的5G經濟收入;(結果保留小數點后兩位)(3)從前6個月的收入中抽取2個,記收入超過2000萬元的個數為X,求X的分布列和數學期望.參考數據:xyu∑i=16(xi-x∑i=16(xi-x)(yi-∑i=16(xi-x)(ui-e1.52e2.663.5021.152.8517.5125.356.734.5714.30其中,u=lny,ui=lnyi(i=1,2,3,4,5,6).參考公式:對于一組具有線性相關關系的數據(xi,vi)(i=1,2,3,…,n),其經驗回歸直線v^=β^x+

參考答案8.2一元線性回歸模型及其應用8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數的最小二乘估計1.A由表格中數據可得x=6+8+10+124=9,y=6+5+3+24=4,則a^=2.D當殘差比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域時,說明選用的模型比較合適,這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說明擬合效果越好,對比4個殘差圖,可知模型四的圖對應的帶狀區(qū)域的寬度最窄.3.C殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說明模型擬合精度越高,則殘差平方和越小,此時R2的值越大,故描述錯誤的是選項C.4.②④對于①,對兩個變量x,y進行回歸分析,若所有樣本點都在直線y=-2x+1上,則r=-1,故①錯誤;對于②,由z^=0.3x+4及z=lny,得y^=e0.3x+4=e4·e0.3x,故c=e4,k=0.3,故②對于③,依題意可知,X~B20,13,P(X=k)=C20k13k1-1320-k,假設P(X=k)最大則P即C整理得20∴21-k≥2∴P(X=k)(k=0,1,2,3,…,20)取得最大值時X=6或X=7,故③錯誤;對于④,由(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,兩邊對x求導,得7(1-2x)6·(-2)=a1+2a2x+3a3x2+…+7a7x6,令x=1,得-14=a1+2a2+…+7a7,故④正確.5.解(1)因為x=16×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,y=16×(90+84+83+80所以a^=y-b^x=80+20×8.5=250.(2)設工廠獲得的利潤為L(單位:元),依題意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20x-3342+當且僅當x=334=8.25時,L取得最大值故當單價定為8.25元時,工廠可獲得最大利潤.6.解作出散點圖(圖略),觀察散點圖可知這些點散布在一條直線的附近,故可知x與y線性相關.因為x=22+20+18+16+14y=37+41+43+50+565=45所以b^=∑ia^=45.4-(-2.35)×18=87.7所以經驗回歸方程為y^=-2.35x+87.7yi-y^i與yi-yyi-y10.3-2.4-0.11.2yi-y-8.4-4.4-2.44.610.6計算得∑i=15(yi-y^i)2=8.3,∑i=15(yi-y)2=229.2,所以R2因為0.964很接近于1,所以該模型的擬合效果比較好.7.D由題意,得x=15×(20+30+40+50+60)=40,y=15×(25+27.5+29+32則k^=y-0.27x=30-0.27×40=19.2,故由經驗回歸方程可知,變量x,y呈正相關關系,故B正確;若x的值增加1,則y的值約增加0.27,故C正確;當x=52時,y^=0.27×52+19.2=33.24,故D錯誤8.ACD對于A,經驗回歸直線一定經過點(x,y),故A對于B,由樣本相關系數的絕對值越趨近于1,相關程度越強可知,若兩個變量負線性相關,其線性相關程度越強,則樣本相關系數r的值越接近于-1,故B錯誤;對于C,因為在殘差圖中,殘差分布的水平帶狀區(qū)域越窄,說明模型的擬合精度越高,故C正確;對于D,因為在線性回歸模型中,決定系數R2越接近于1,說明線性回歸模型的擬合效果越好,故D正確.9.B由已知可得,x=15×(20+23+25+27+z=15×(2+2.4+3+3+4.則a^=3-0.2×25=-2z=lny=ln(c1ec2x)=c2x+ln則lnc1=-2,即c1=e-2.10.(1)40(2)14(1)由y=14(55+m+33+24)=38,解得(2)由a^=y-b^故y^=-2x+58當x=22時,y^=14故三月中旬的銷售量約為14件.11.解(1)由表中數據得∑i=14xiyi=58,x=3,y=4,∑i=14xi2=46,∴b^=∴y^=x+1(2)將x=10代入經驗回歸方程y^=x+1中,得y^∴預測加工10個零件需要11小時.12.解(1)由題意可得x=2+3+4+5+65=4,b^=∑i=15a^=y-b^x=17+3故y關于x的經驗回歸方程為y^=-3.2x+29.8(2)r=∑i=15(xi-x)(yi-y)∑i=15(xi-x)2∑因此,可以認為該幼兒園去年春季患流感人數與年齡負相關很強.13.解(1)令u=1x,先建立y關于u的經驗回歸方程因為y=3066=51,所以b所以a^=y-b^u=51-100×0.41=10.所以y關于x的非線性經驗回歸方程為y^=10+100y關于u的樣本相關系數為r=∑=48.340.(2)(方法一)(ⅰ)若產品單價為80元,記企業(yè)利潤為X(單位:元).當訂單為9千件時,每件產品的成本為10+1009+30=40+1009企業(yè)的利潤為80-40+1009×9000=260000(元).當訂單為10千件時,每件產品的成本為10+10010+30=50(元),企業(yè)的利潤為(80-50)×10000=300000(元)所以企業(yè)利潤X的分布列為X260000300000P0.70.3E(X)=260000×0.7+300000×0.3=272000.(ⅱ)若產品單價為70元,記企業(yè)利潤為Y(單位:元).當訂單為10千件時,每件產品的成本為10+10010+30=50(元),企業(yè)的利潤為(70-50)×10000=200000(元)當訂單為11千件時,每件產品的成本為10+10011+30=40+10011企業(yè)的利潤為70-40+10011×11000=230000(元).所以企業(yè)利潤Y的分布列為Y200000230000P0.30.7E(Y)=200000×0.3+230000×0.7=221000.所以E(X)>E(Y)