2024版新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)4.4.3不同函數(shù)增長的差異導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊

4.4.3不同函數(shù)增長的差異【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)了解常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型．(2)理解對數(shù)增長、直線上升、指數(shù)爆炸的含義．(3)能根據(jù)具體問題選擇合適的函數(shù)模型．題型1幾類函數(shù)模型增長差異的比較【問題探究】在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝2x，y＝2x，y＝log2x的圖象，觀察圖象，當(dāng)x趨于無窮大時，哪一個函數(shù)增長的速度最快？哪一個最慢？例1(1)當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應(yīng)該是()A．y＝100xB．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x(2)三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4則關(guān)于x分別呈對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)變化的變量依次為()A．y1，y2，y3B．y3，y2，y1C．y2，y1，y3D．y1，y3，y2題后師說比較函數(shù)增長情況的3種方法跟蹤訓(xùn)練1下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是()A.y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x題型2函數(shù)增長速度的比較例2函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的圖象，如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，比較f(8)，g(8)，f(2023)，g(2023)的大?。畬W(xué)霸筆記：由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝0.5x－1的圖象如圖所示．(1)指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；(2)借助圖象，比較f(x)和g(x)的大?。}型3函數(shù)模型的選擇例3某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5～8千美元的地區(qū)銷售該公司A飲料的情況調(diào)查時發(fā)現(xiàn)：該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減．(1)下列幾個模擬函數(shù)：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，單位：千美元，y表示年人均A飲料的銷售量，單位：L)．用哪個模擬函數(shù)來描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系更合適？說明理由；(2)若人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷售量為2L，人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷售量為5L，把(1)中你所選的模擬函數(shù)求出來，并求出各個地區(qū)年人均A飲料的銷售量最多是多少．題后師說不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)跟蹤訓(xùn)練3某學(xué)校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達(dá)到5萬元時，按生源利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？隨堂練習(xí)1.下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是()A.y＝exB．y＝lnxC．y＝3xD．y＝e－x2．某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表：x123…y125…下面的函數(shù)關(guān)系式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是()A．y＝log2(x＋1)B．y＝2x－1C．y＝2x－1D．y＝(x－1)2＋13．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時，對三個函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列選項中正確的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)4．某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，則投資500元，1000元，1500元時，應(yīng)分別選擇________方案．課堂小結(jié)1.三類函數(shù)y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)模型增長的差異．2．線性函數(shù)增長模型、指數(shù)型函數(shù)增長模型、對數(shù)型函數(shù)增長模型的選?。?．4.3不同函數(shù)增長的差異問題探究提示：從圖象看，指數(shù)函數(shù)y＝2x增長的速度最快，對數(shù)函數(shù)y＝log2x增長的速度最慢．例1解析：(1)根據(jù)函數(shù)特點可知，指數(shù)函數(shù)是幾何級數(shù)增長，增長速度最快．故選D.(2)從題設(shè)表格中的數(shù)據(jù)可以看出，三個變量y1，y2，y3都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，呈指數(shù)函數(shù)變化，變量y3的增長速度變慢，呈對數(shù)型函數(shù)的變化．故選B.答案：(1)D(2)B跟蹤訓(xùn)練1解析：函數(shù)的增長速度，指數(shù)函數(shù)y＝6x的增長速度越來越快，對數(shù)函數(shù)y＝log6x增長速度越來越慢，冪函數(shù)y＝x6的增長速度越來越快，一次函數(shù)y＝6x勻速增長．故選B.答案：B例2解析：(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，x≥0，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因為g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，所以f(1)>g(1)，f(2)<g(2)．f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<8<x2<2023，由圖象知，當(dāng)x1<x<x2時，f(x)<g(x)，所以f(8)<g(8)．當(dāng)x>x2時，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(8)<g(2023)<f(2023)．所以f(2023)>g(2023)>g(8)>f(8)．跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.5x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lnx.(2)當(dāng)x∈(0，x1)時，g(x)>f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時，g(x)<f(x)；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時，g(x)>f(x)；當(dāng)x＝x1或x2時，g(x)＝f(x)．綜上，當(dāng)x＝x1或x2時，g(x)＝f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時，g(x)<f(x)；當(dāng)x∈(0，x1)或(x2，＋∞)時，g(x)>f(x)．例3解析：(1)用①來模擬比較合適．因為該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減，而②③④表示的函數(shù)在區(qū)間[0.5，8]上均是單調(diào)函數(shù)，所以②③④都不合適，故用①來模擬比較合適．(2)因為人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷售量為2L，人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷售量為5L，所以把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx中，得2=a+b解得a=-14，b=94，所以函數(shù)的解析式為y＝－14x2＋因為y＝－14x2＋94x＝－14(x－92)所以當(dāng)x＝92時，年人均A飲料的銷售量最多，最多是8116跟蹤訓(xùn)練3解析：作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)．觀察圖象可知，在區(qū)間[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x[隨堂練習(xí)]1．解析：∵y＝e－x＝(1e)x又0<1e<1所以y＝e－x隨x的增大而減小，故D不正確；又y＝ex與y＝lnx它們都是增函數(shù)，因為y＝ex為指數(shù)函數(shù)，y＝lnx為對數(shù)函數(shù)，則隨x的增大而增大且速度最快的是y＝ex.故選A.答案：A2．解析：由表格中數(shù)據(jù)知，選項A：當(dāng)x＝2時，y＝log23≠2,選項B：當(dāng)x＝2時，y＝22－1＝3≠2，選項C：當(dāng)x＝2時，y＝2×2－1＝3≠2，選項D：都滿足．故選D.答案：D3．解析：由函數(shù)性質(zhì)可知，在(4，＋∞)區(qū)間，指數(shù)函數(shù)g(x)＝2x增長最快，對數(shù)函數(shù)h(x)＝log2x增長最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)，故選B.答案：B4．解析：根據(jù)題意，列出當(dāng)x＝500，1