2024屆湖北省鄂東南聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

2024屆湖北省鄂東南聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題中正確的是（）A.函數(shù)最小值為2.B.函數(shù)的最小值為2.C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的最大值為2．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，-些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物.曲線C：為四葉玫瑰線.①方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限；②曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過2；③曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于4π；④曲線C上有5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).則上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.43．已知是兩個(gè)數(shù)1，9的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.4．已知，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足，那么點(diǎn)P到x軸的距離為（）A. B.C. D.5．平行六面體的各棱長均相等，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若共面，則（）A. B.C. D.7．在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）A.102 B.C. D.1088．函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.9．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a為（）A. B.或C. D.或10．一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號碼為1，2，3小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標(biāo)號最大值是3的概率為（）A. B.C. D.11．已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.12．已知圓的圓心到直線的距離為，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)切C.外切 D.外離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某班有位同學(xué)，將他們從至編號，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取人參加文藝演出，抽出的編號從小到大依次排列，若排在第一位的編號是，那么第四位的編號是______14．如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.15．將參加冬季越野跑的名選手編號為：，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為的樣本，把編號分為組后，第一組的到這個(gè)編號中隨機(jī)抽得的號碼為，這名選手穿著三種顏色的衣服，從到穿紅色衣服，從到穿白色衣服，從到穿黃色衣服，則抽到穿白色衣服的選手人數(shù)為__________16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB是圓O：x2＋y2＝1的直徑，且點(diǎn)A在第一象限；圓O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)與圓O外離，線段AO1與圓O1交于點(diǎn)M，線段BM與圓O交于點(diǎn)N，且，則a的取值范圍為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°.（I）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.18．（12分）已知.（1）當(dāng)，時(shí)，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）用、表示，寫出推理過程19．（12分）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且斜率為的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，記、的斜率分別是、，以、為直徑的圓的面積分別為、當(dāng)、都存在且不為時(shí)，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由20．（12分）在數(shù)列中，,，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，求的表達(dá)式；（3）令，對于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個(gè)數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.21．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求22．（10分）已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)m，使得對任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，試說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)基本不等式知識對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對于A，時(shí)為負(fù)值，故A錯(cuò)誤對于B，，而無解，無法取等，故B錯(cuò)誤對于，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，故，D正確，C錯(cuò)誤故選：D2、B【解析】對于①，由判斷，對于②，利用基本不等式可判斷，對于③，以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線圍成的面積進(jìn)行比較即可，對于④，將和聯(lián)立，求解出兩曲線的切點(diǎn)，從而可判斷【詳解】對于①，由，得異號，方程(xy<0)關(guān)于原點(diǎn)及y=x對稱，所以方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限，所以①正確，對于②，因?yàn)椋?，所以，所以，所以由曲線的對稱性可知曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過2，所以②正確，對于③，由②可知曲線C上到原點(diǎn)的距離不超過2，而以為圓心，2為半徑的圓的面積為，所以曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積小于4π，所以③錯(cuò)誤，對于④，將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線C相切于點(diǎn)，，，，而點(diǎn)（1，1）不滿足曲線方程，所以曲線在第一象限不經(jīng)過任何整數(shù)點(diǎn)，由曲線的對稱性可知曲線在其它象限也不經(jīng)過任何整數(shù)點(diǎn)，所以曲線C上只有1個(gè)整點(diǎn)（0，0），所以④錯(cuò)誤，故選：B3、A【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，根據(jù)橢圓離心率公式，即可求出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，根據(jù)雙曲線離心率公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭莾蓚€(gè)數(shù)1，9的等比中項(xiàng)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，圓錐曲線，其離心率為；當(dāng)時(shí)，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.4、D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)焦距為，，點(diǎn)P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設(shè)的高為，則為點(diǎn)P到x軸的距離，則，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.5、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根據(jù)向量夾角公式求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)棱長為1，，，所以＝＝，，，即，故異面直線與所成角的余弦值為故選：B注意事項(xiàng)：1.將答案寫在答題卡上2.本卷共10小題，共80分.6、D【解析】根據(jù)四點(diǎn)共面的向量表示，可得結(jié)果.【詳解】由共面知，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中四點(diǎn)共面的向量表示，屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】將將看作一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】將看作一個(gè)二次函數(shù)，其對稱軸為，開口向下，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故選：D8、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B9、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.10、C【解析】求出兩次取球都沒有取到3的概率，再利用對立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，每次取到標(biāo)號為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨(dú)立的，在兩次取得小球中，標(biāo)號最大值是3的事件M，其對立事件是兩次都沒有取到標(biāo)號為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標(biāo)號最大值是3的概率為.故選：C11、A【解析】由直線斜率與方向向量的關(guān)系算出斜率，然后可得.【詳解】記直線的傾斜角為，由題知，又，所以，即.故選：A12、B【解析】求出兩圓的圓心與半徑，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定即可求解.【詳解】已知圓的圓心到直線的距離，即，解得或,因?yàn)?所以,圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心的坐標(biāo)為，半徑，圓心距，兩圓內(nèi)切，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、29【解析】根據(jù)給定信息利用系統(tǒng)抽樣的特征直接計(jì)算作答.【詳解】因系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，依題意，相鄰兩個(gè)編號相距，所以第四位的編號是.故答案為：2914、2【解析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，,再將轉(zhuǎn)化為，以及將轉(zhuǎn)化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，，則.故答案為：2.【點(diǎn)睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得解.15、【解析】，所以抽到穿白色衣服的選手號碼為，共16、【解析】根據(jù)判斷出四邊形為平行四邊形，由此求得圓的方程以及的長，進(jìn)而判斷出點(diǎn)在圓上，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，求得的取值范圍.【詳解】四邊形ONO1M為平行四邊形，即ON＝MO1＝r＝1，所以圓的方程為，且ON為△ABM的中位線AM＝2ON＝2AO1＝3，故點(diǎn)A在以O(shè)1為圓心，3為半徑的圓上，該圓的方程為：，故與x2＋y2＝1在第一象限有交點(diǎn)，即2＜a＜4，由，解得，故a的取值范圍為(，4).故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計(jì)算能力.第一問，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標(biāo)系解出正弦值.試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點(diǎn)M（M∈平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（說明：延長AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.過點(diǎn)A作AH⊥CE，交CE的延長線于點(diǎn)H，連接PH.易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH==，所以sinAPH==.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A為原點(diǎn)，以,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由得設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα==.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.考點(diǎn)：線線平行、線面平行、向量法.18、（1）（2），過程見解析【解析】（1）寫出函數(shù)的解析式，利用二項(xiàng)式定理可求得函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）利用錯(cuò)位相減法化簡函數(shù)的解析式，求出解析式中含項(xiàng)的系數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)公式化簡可得結(jié)果.【小問1詳解】解：當(dāng)，時(shí)，，的展開式通項(xiàng)為，此時(shí)，函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)之和為.【小問2詳解】解：因?yàn)?，①則，②①②得，所以，，而為中含項(xiàng)的系數(shù)，而函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)也可視為中含項(xiàng)的系數(shù)，故，且，故.19、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)由條件可得點(diǎn)軌跡滿足橢圓定義，設(shè)出橢圓方程，由，的值可得的值，從而求得軌跡方程；(2)設(shè)出直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求得為定值，也為定值，從而可得是定值【小問1詳解】由題意知，，根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，，曲線的方程為；【小問2詳解】由題意知直線的方程為且m≠0)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，，，由得，，，，，，，，，，是定值，為．20、（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可得出的表達(dá)式；（3）求得，分、、三種情況討論，利用奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)以及整數(shù)的性質(zhì)可求得、的值，綜合可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由可得，，則，，以此類推可知，對任意的，，則，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，故，可得.【小問2詳解】解：由（1）知，所以，所以，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)闈M足，所以.【小問3詳解】解：，、、這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，①若，則，所以，，又，所以，，則；②若，則，則，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，所以，②不成立；③若，同②可知③也不成立綜合①②③得，21、（1）（2）【解析】（1）直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調(diào)性，由時(shí)，，時(shí)，；然后去掉絕對值