2024屆吉林省長春市八中數學高二上期末經典模擬試題含解析

2024屆吉林省長春市八中數學高二上期末經典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知、為非零實數，若且，則下列不等式成立的是()A. B.C. D.2．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學用七巧板拼成了一個“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.3．如圖所示，在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，則向量可表示為（）A. B.C. D.4．的展開式中，常數項為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的離心率，點是拋物線上的一動點，到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和的最小值為，則該雙曲線的方程為A. B.C. D.6．已知點是雙曲線的左焦點，定點，是雙曲線右支上動點，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.107．某校開展研學活動時進行勞動技能比賽，通過初選，選出共6名同學進行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當然不是最差的”.試從這個回答中分析這6人的名次排列順序可能出現的結果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種8．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個時刻測得水面寬，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為（）A. B.C. D.9．若直線過點（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°10．已知函數，若，，則實數的取值范圍是A. B.C. D.11．已知點，若直線與線段沒有公共點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．直線x+y﹣1＝0被圓（x+1）2+y2＝3截得的弦長等于（）A. B.2C.2 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某古典概型的樣本空間，事件，則___________.14．已知橢圓C：的左右焦點分別為，，O為坐標原點，以下說法正確的是______①過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的周長為8②橢圓C上存在點P，使得③橢圓C的離心率為④P為橢圓上一點，Q為圓上一點，則線段PQ的最大長度為315．已知定義在R上的函數的導函數，且，則實數的取值范圍為__________.16．函數，則函數在處切線的斜率為_______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值18．（12分）從某居民區(qū)隨機抽取2021年的10個家庭，獲得第個家庭的月收入(單位：千元)與月儲蓄(單位：千元)的數據資料，計算得，，，（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關還是負相關；（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲蓄之間的變化情況，并預測當該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲蓄額．附：線性回歸方程系數公式中，，，其中，為樣本平均值19．（12分）已知O為坐標原點，雙曲線C：（，）的離心率為，點P在雙曲線C上，點，分別為雙曲線C的左右焦點，.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知點，，設直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.20．（12分）已知函數（1）求的單調區(qū)間；（2）若，求的最大值與最小值21．（12分）若數列的前n項和滿足，（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和22．（10分）已知圓過點且與圓外切于點，直線將圓分成弧長之比為的兩段圓?。?）求圓的標準方程；（2）直線的斜率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】作差法即可逐項判斷.【詳解】或，對于A：，∵，無法判斷正負，故A錯誤；對于B：，∵無法判斷正負，故B錯誤；對于C：，∵，，∴，，故C錯誤；對于D：，∴，故D正確.故選：D.2、C【解析】設正方形邊長為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計算概率【詳解】設正方形邊長為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長為，面積為，所以概率為故選：C3、D【解析】根據空間向量加法和減法的運算法則，以及向量的數乘運算即可求解.【詳解】解：因為在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，所以，故選：D.4、A【解析】寫出展開式通項，令的指數為零，求出參數的值，代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，可得，因此，展開式中常數項為.故選：A.5、B【解析】先根據離心率得，再根據拋物線定義得最小值為（為拋物線焦點），解得，即得結果.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以，設為拋物線焦點，則，拋物線準線方程為，因此到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和等于，因為，所以，即，即雙曲線的方程為，選B.【點睛】本題考查雙曲線方程、離心率以及拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬中檔題.6、C【解析】設雙曲線的右焦點為M，作出圖形，根據雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點共線時取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點，∴，，，，設雙曲線的右焦點為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當且僅當A、P、M三點共線時，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關的線段長度和、差的最值，都可以通過相應的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.7、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個元素在4個位置全排列，根據分步計數原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計數原理知有種情況故選：D.8、D【解析】代入計算即可.【詳解】設B點的坐標為，由拋物線方程得，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為2米.故選：D9、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A10、A【解析】函數，若，，可得，解得或，則實數的取值范圍是，故選A.11、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經過定點.因為，所以,所以要使直線與線段沒有公共點，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A12、B【解析】如圖,圓(x＋1)2＋y2＝3的圓心為M(?1,0)，圓半徑|AM|=，圓心M(?1,0)到直線x+y?1=0的距離：|，∴直線x+y?1=0被圓(x+1)2+y2=3截得的弦長：.故選B.點睛:本題考查圓的標準方程以及直線和圓的位置關系.判斷直線與圓的位置關系一般有兩種方法：1．代數法：將直線方程與圓方程聯立方程組，再將二元方程組轉化為一元二次方程，該方程解的情況即對應直線與圓的位置關系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關系，但是計算量較大.2．幾何法：圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關系．這種方法的特點是計算量較小．當直線與圓相交時,可利用垂徑定理得出圓心到直線的距離,弦長和半徑的勾股關系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.5【解析】根據定義直接計算得到答案.【詳解】.故答案為：.14、①②④【解析】根據橢圓的幾何性質結合的周長計算可判斷①；根據，可通過以為直徑作圓，是否與橢圓相交判斷②；求出橢圓的離心率可判斷③；計算橢圓上的點到圓心的距離的最大值，即可判斷④.【詳解】對于①，由題意知：的周長等于，故①正確；對于②，，故以為直徑作圓，與橢圓相交，交點即設為P，故橢圓C上存在點P，使得，故②正確；對于③，，故③錯誤；對于④，設P為橢圓上一點，坐標為，則，故，因為，所以的最大值為2，故線段PQ的最大長度為2+1=3，故④正確，故答案為：①②④.15、【解析】由題意可得在R上單調遞增，再由，利用函數的單調性轉化為關于的不等式求解【詳解】定義在R上的函數的導函數，在R上單調遞增，由，得，即實數的取值范圍為故答案為：16、【解析】根據導數的幾何意義求解即可.【詳解】解：因為，所以，所以，所以函數在處切線的斜率為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據向量數量積的坐標表示即可得解；（2）求出，再根據空間向量的模的坐標表示即可得解；（3）由，可得，再根據數量積的運算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因為，所以，即，解得.18、（1）＝0.3x－0.4（2）正相關（3）1.7千元【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【小問1詳解】由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.【小問2詳解】因為，所以變量y的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關.【小問3詳解】將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).19、（1）（2）證明見解析【解析】(1)根據題意和雙曲線的定義求出，結合離心率求出b，即可得出雙曲線的標準方程；(2)設，根據兩點的坐標即可求出、，化簡計算即可.【小問1詳解】由題知：由雙曲線的定義知：，又因為，所以，所以所以，雙曲線C的標準方程為小問2詳解】設，則因為，，所以，所以20、（1）單調遞增區(qū)間是和，單調遞減是；（2）函數的最大值是，函數的最小值是.【解析】（1）利用導數和函數單調性關系，求函數的單調區(qū)間；（2）利用函數的單調性，列表求函數的最值.【小問1詳解】，當，解得：或，所以函數的單調遞增區(qū)間是和，當，解得：，所以函數的單調遞減區(qū)間是，所以函數的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減是；【小問2詳解】由（1）可得下表4單調遞增單調遞減單調遞增所以函數的最大值是，函數的最小值是21、（1）（2）【解析】（1）根據遞推關系結合等比數列的定義可求解；（2）根據（1）化簡，利用裂項相消法求出數列的前n項和.小問1詳解】當時，，所以，即，當時，，得，則所以數列是首項為﹣1，公比為3的等比數列所以【小問2詳解】由（1）得：所以，所以22、（1）；（2）.【解析】（1）分析可