2024屆遼寧省鞍山市臺(tái)安縣高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆遼寧省鞍山市臺(tái)安縣高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，、、所對的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.3．已知圓與直線至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個(gè)是真命題 D.命題，只有一個(gè)是真命題5．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為、，其中，.如果這時(shí)氣球的高度，則河流的寬度BC為（）A. B.C. D.6．某校開展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種7．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．直線的傾斜角是A. B.C. D.9．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23，則該數(shù)列的第31項(xiàng)為（）A.336 B.467C.483 D.60110．若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.211．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.12．若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A. B.或C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列是首項(xiàng)為的遞增數(shù)列，若，，則滿足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為______14．沈陽市某高中有高一學(xué)生600人，高二學(xué)生500人，高三學(xué)生550人，現(xiàn)對學(xué)生關(guān)于消防安全知識(shí)了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個(gè)容量為n的樣本，其中高三學(xué)生有11人，則n的值等于________.15．在等比數(shù)列中，，，則公比________.16．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是；③過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)其中真命題的序號為______（寫出所有真命題的序號．）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直（1）求直線的一般式方程；（2）若圓的圓心為點(diǎn)，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程18．（12分）點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）點(diǎn)在（1）中軌跡上運(yùn)動(dòng)軸，為垂足，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)軌跡方程.19．（12分）圓錐曲線的方程是.（1）若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線，求的值.20．（12分）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前100項(xiàng)和21．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對大角，結(jié)合正弦定理，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.2、C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C3、C【解析】利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到直線的距離范圍，從而求出的取值范圍.【詳解】圓心到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故只需即可.故選：C4、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個(gè)為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個(gè)為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個(gè)為真命題，為假命題,說明二者至少有一個(gè)為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個(gè)是真命題，故選：D5、D【解析】由題意得，，，然后在和求出，從而可求出的值【詳解】如圖，由題意得，，，在中，，在中，，所以，故選：D6、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個(gè)元素在4個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有種情況故選：D.7、C【解析】先求出方程表示雙曲線時(shí)滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.8、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為所以其傾斜角為故選：D9、B【解析】先由遞推關(guān)系利用累加法求出通項(xiàng)公式，直接帶入即可求得.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2，3，5，8，12，17，23……滿足，，所以該數(shù)列的第31項(xiàng)為.故選：B10、A【解析】先求出漸近線方程，進(jìn)而將點(diǎn)代入直線方程得到a,b關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，而一條漸近線過點(diǎn)，則，.故選：A.11、B【解析】直接利用正態(tài)分布的應(yīng)用和密度曲線的對稱性的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關(guān)于直線對稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正態(tài)分布的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】“”是“”的充分不必要條件，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求出的取值范圍.【詳解】∵“”是“”的充分不必要條件∴或∴故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，根據(jù)充要條件求解參數(shù)的范圍時(shí)，可把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，由此得到不等式（組）后再求范圍.解題時(shí)要注意，在利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，答案不唯一【解析】由，，可得，進(jìn)而解得，然后寫出通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，由題可得，因?yàn)?，，所以有，解得，只要公差d滿足即可，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出即可，我們可以取，此時(shí).故答案為：，答案不唯一.14、33【解析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槌槿×艘粋€(gè)容量為n的樣本，其中高三學(xué)生有11人，所以有，故答案為：3315、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中,故,又,故,故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)用,需要注意分析項(xiàng)與公比的正負(fù),屬于基礎(chǔ)題.16、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫出拋物線焦點(diǎn)判斷命題②；分析點(diǎn)P滿足的關(guān)系判斷命題③；按取值討論計(jì)算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對于②，拋物線化為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，命題②正確；對于③，令定圓C的圓心為C，因，則點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，當(dāng)P與C不重合時(shí)，有，點(diǎn)P在以線段AC為直徑的圓上，當(dāng)P與C重合時(shí)，點(diǎn)P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點(diǎn)外)，則命題③不正確；對于④，曲線的焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點(diǎn)為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)，命題④正確，所以真命題的序號為②④.故答案為：②④【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：橢圓長短半軸長分別為a，b，半焦距為c滿足關(guān)系式：；雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長、半焦距分別為、、滿足關(guān)系式：，在同一問題中出現(xiàn)認(rèn)真區(qū)分，不要混淆.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意求出兩直線的交點(diǎn)，再求出所求直線的斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線的方程；（2）根據(jù)題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【小問1詳解】解：由題意知，解得，直線和的交點(diǎn)為；設(shè)直線的斜率為，與直線垂直，；直線的方程為，化為一般形式為；【小問2詳解】解：設(shè)圓的半徑為，則圓心為到直線的距離為，由垂徑定理得，解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)題意用表示出與，再代入，再化簡即可得出答案。（2）設(shè)，利用表示出點(diǎn)，再將點(diǎn)代入橢圓，化簡即可得出答案?！驹斀狻浚?）由題意知，所以化簡得：（2）設(shè)，因?yàn)?，則將代入橢圓得化簡得【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程，一般求某點(diǎn)的軌跡方程，只需要設(shè)該點(diǎn)為，利用所給條件建立的關(guān)系式，化簡即可。屬于基礎(chǔ)題。19、（1）且（2）【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）由條件可得，解出即可.【小問1詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上橢圓，則，解得且【小問2詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線，則，解得20、（1）（2）【解析】（1）由題意得出，然后與原式結(jié)合，兩式相減并化簡求出，最后根據(jù)等差數(shù)列的定義求得答案；（2）結(jié)合（1），分別討論，和三種情況，分別求出，進(jìn)而求出.【小問1詳解】因?yàn)椋?，兩式相減得，所以又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.21、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)法可求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：設(shè)