2022-2023學年北京朝陽區(qū)二外附中高二(上)期中數(shù)學試卷及答案

2022北京二外附中高二（上）期中數(shù)學本試卷共4頁，150分．考試時長120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.下列直線中，傾斜角為銳角的是（）y=2x+1x?y+1=0y=1A.B.C.D.x=2中，+=a19a5，則的值為2.在等差數(shù)列nA.5C.8B.6D.10y2=4x上的點P到直線x=?1的距離等于4P到焦點F的距離PF=（）3.若拋物線A.1B.2C.3D.44.已知直線l0x垂直，則直線l的方程是（）x+2y+1=0x+2y?1=02x+y+1=02x+y?1=0A.C.B.D.5.如圖，空間四邊形OABC中，a,b,c，點M是OA的中點，點N在BC上，且===CN=2NB，設=，則xy，z的值為（）112233121233121233112D.?，，233A.，，B.，，C.?，，x2y2+=1表示橢圓”是“3m5”的（6.“方程）5?mm+3A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分條件又不必要條件ABCD?ABCDAB1D的中點，則點E到平面的距離為17.在棱長為1的正方體中，點E為棱111111（）2A.C.2B.D.2212422y22x2y2x?=1，其中a0.若C與C的焦距之比為1:38.已知橢圓1:+=1，雙曲線C2:b，則12a2b2abC的漸近線方程為（）2A.2x5y0=B.D.5x2y=02xy=0C.x2y0=9.已知直線：?y+1?k=0和圓C2+y2?4x=0，則直線l與圓C：x的位置關系為（）A.相交B.相切C.相離D.不能確定x22y22?=ab0)的兩條漸近線分別為直線，ll，直線l經(jīng)過雙曲線C2的右焦點F10.已知雙曲線C:1ablll分別交于A，B兩點，若3，則雙曲線C=且垂直于，設直線l與，的離心率為（）112233326433A.B.C.D.2第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）x2y2橢圓+=1上一點P到右焦點F的距離為3，則P到左焦點的距離是______，頂點在原點的拋物線2516C的焦點也為F，則其標準方程為______．12.直線ymx2m1經(jīng)過一定點，則點的坐標為________，以點為圓心且過原點的圓的方程為=+?CCC________________.Sa}n的前項和，已知a=3a=11S=，則_______.713.設是等差數(shù)列，nn2614.已知雙曲線M的中心在原點，以坐標軸為對稱軸.從以下三個條件中任選兩個條件，并根據(jù)所選條件求雙曲線M的標準方程.①一個焦點坐標為(0)；②經(jīng)過點(3,0；③離心率為2.你選擇的兩個條件是___________，得到的雙曲線M的標準方程是___________.y=6x焦點作直線l，交拋物線于,B兩點.若線段AB中點M的橫坐標為2，則||等于215.過拋物線__________.(F2,0)和定直線x=2的距離的積等于的點的軌跡給出下列四個結論：4.16.曲線C是平面內(nèi)與定點①曲線C過坐標原點；②曲線C關于軸對稱；x③曲線C與y軸有3個交點；④若點M在曲線C上，則的最小值為2(2?).其中，所有正確結論的序號是______.三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）SnSn的前項和滿足=?+an2n，17.已知數(shù)列nn（1）求數(shù)列的通項公式；anSnn等差數(shù)列；（2）求證：數(shù)列（3）求數(shù)列的前n項和的最大值．a(chǎn)nSnAACC是邊長為4的正方形，AB3.再從條件①條件②?=?18.如圖，在三棱柱中，四邊形11條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并作答.⊥AACC（1）求證：AB平面；11（2）求直線BC與平面A所成角的正弦值.11條件①：BC=5；條件②：ABAA⊥；條件③：平面ABC⊥AACC平面.111(0)，()的距離的比值為的軌跡為曲線N1,0M19.在平面直角坐標系xOy中，設動點P到兩定點2C．（1）求曲線C的方程；（2）若直線l過點MN到直線l的距離為1，求直線l的方程，并判斷直線lC的位置關系．⊥，AC=BC=1，AA1=2，點D為AC的中點．20.如圖，在直三棱柱中，AB1//；1（1）求證：（2）求平面平面1D夾角的余弦值；與平面11D的位置關系，如果是相交，請（3）G是線段CG與平面1作出交點．321.已知橢圓C的兩個頂點分別為A(2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為．2（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點MN，過D作的垂線交于點E.求證：△BDEBDN的面積之比為4:5．參考答案第Ⅰ卷（選擇題，共分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.【答案】B【分析】由直線的斜率與傾斜角的關系可得.【詳解】設直線傾斜角為，y=2x+1，斜率k=tan=20，即傾斜角為鈍角；A選項，直線B選項，直線yx1，斜率=+k=tan=10，傾斜角為，是銳角；y=1，斜率k=tan=0，即傾斜角為0，不是銳角；C選項，直線C選項，直線x=2，斜率不存在，即傾斜角為，是直角不是銳角.故選：B.2.【答案】Aa+a=2aa5【詳解】解析：由角標性質(zhì)得，所以=51953.【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義即可得解.=4x的準線為x=?1，=4x上的點P到直線x=?1的距離等于4，y2【詳解】拋物線y2而拋物線PF=4所以點P到焦點F的距離.故選：D.4.【答案】D2x+y+m=0m【分析】由題意設直線l方程為，然后將點坐標代入求出，從而可求出直線方程（0）x0垂直，所以設直線l方程為2x+y+m=0，【詳解】因為直線l與直線因為直線l01+m=0，得m=?1，2x+y?1=0，所以直線l方程為故選：D5.【答案】Cx,y,z【分析】將表示為以,OB,為基底的向量，由此求得的值.()=OB+BN?OA=+BC?【詳解】依題意=?2321121()=+??=?++x=?,y=,z=.，所以32233233故選：C.【點睛】本小題主要考查空間中，用基底表示向量，考查空間向量的線性運算，屬于基礎題.6.【答案】Am【分析】本題結合橢圓的定義與充分必要條件，根據(jù)橢圓的定義列不等式組解出，特別要注意的就是橢圓的a，這道題即可解決.x2y2+=1表示橢圓，則滿足條件為：【詳解】由方程5?mm+35?m0m+303m5且m1，解得5?mm+3所以由3m5且m1，可以推出3m5，但反過來不成立.故選：A7.【答案】BV=VB?11【分析】由，利用等體積法求解.E?111D【詳解】設點E到平面的距離為h，1V=VB?11因為，E?111113111Dh=1D1D1，1即11322111122所以h==，2故選：B8.【答案】Ab【分析】首先表示出橢圓與雙曲線的焦距以及雙曲線的漸近線方程，依題意得到方程，即可得到，即可a得解；22y22x2y2x+=1的焦距為2a2?b2，雙曲線C2:?=1的焦距為2a2+b2，漸【詳解】解：橢圓1:a2b2ab2a2a22?b+b2213aa22?b+b2219ba2245b===近線為y=x，因為C與C的焦距之比為1:3，所以，所以，即，12ab25525=y=x2x5y=0，即所以，所以雙曲線的漸近線為；a5故選：A9.【答案】A【分析】求出直線過的定點P坐標，確定定點在圓內(nèi)，則可判斷．k(x??y+1=0P，【詳解】直線方程整理為，即直線過定點而12+12?41=?20，P在圓C內(nèi)，∴直線l與圓C相交．故選：A．【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與圓的位置關系．關鍵點有兩個：一是確定動直線所過定點坐標，二是確定點到圓的位置關系：圓C的一般方程為f(x,y)=x2+y++Ey+F=0，點P(x,y)，則002f(x,y)0點P在圓Cf(x,y)=0點P在圓C內(nèi)，外．上，0000f(x,y)0點P在圓C0010.【答案】C【分析】由已知可得FAb，a，過F作==⊥OB于G，易得FG=b，22b，從而=a+22b，=在OAB中，利用勾股定理2=2+AB2即可建立a,b,c之間的關系.【詳解】|cb|+bl:bx+ay=0l:bx?ay=0==b，F(xiàn)B=b，所以如圖1，，，由已知，12a22⊥OB于G，易證，OA=OF2?2=c2?b2=a，如圖2F作FG所以FG=b，故OG==a，BG=2?GF2=9b2?b=22b，從而2=a+22b，在OAB中，OB2=OA2+AB2，所以(a+22b)2=a2+16b2，化簡cb126得a=b，故雙曲線離心率為故選：C.e==1+()2=1+=.aa2a,b,c【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率的問題，關鍵是找到程或不等式，本題是一道中檔題.之間的關系，建立方第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）【答案】①.7②.y=12x2【分析】由橢圓的定義可得P到左焦點的距離，再由拋物線焦點坐標確定拋物線開口方向及方程系數(shù)，可得標準方程.x2y2a=b=2a=c3=，+=1知，【詳解】由橢圓2516則P到左、右兩焦點的距離和為10，已知P到右焦點F的距離為3，則P到左焦點的距離為?3=7.pF0)又右焦點，則頂點在原點的拋物線C開口向右，且，2則拋物線C的標準方程為y2=12x.故答案為：7；y2=12x.(?2,?.(x2)2+(y+2=5+12.【答案】①.【分析】通過分離參數(shù)，可求出直線所過定點；求出點C到原點的距離，即為所求圓的半徑，可求出圓的方程.=(+)?y+1=m(x+2)，y=mx+2m?1ymx21，即【詳解】由由直線的點斜式方程可知，(?2,?；得y+1=mx+2)是斜率為m((??)的直線，1，過定點故點C的坐標為x+2=0x=?2y=?1(?2,?，即C（或由解得的坐標為）y+1=020=(??)210+(??)2=5，點C到原點O的距離COr=CO=5即以點C為圓心且過原點的圓的半徑，(+)2+(+)y1=5.2故以點C為圓心且過原點的圓的方程為：x2(?2,?(x2)(y)；+2++2=故答案為：5.13.【答案】49(+)7a2a6714S=7==49.【詳解】22x2x2y2y23x23?y2=1或?=1或?=114.【答案】①.①②或①③或②③②.322a,c【分析】選①②，根據(jù)焦點坐標及頂點坐標直接求解，選①③，根據(jù)焦點坐標及離心率求出即可得a,c解，選②③，可由頂點坐標及離心率得出，即可求解.【詳解】選①②，由題意則c=2，a=3，b2=c2?a=1，2x2雙曲線的標準方程為?y2=1，3x2?y2=1，故答案為：①②；3cc=e==2選①③，由題意，，aa=2，b2=c2?a2=2，x2y2雙曲線的標準方程為?=1，22ca=3,e==2選②③，由題意知，ac=6，b2=c2?a=32，y23x23雙曲線的標準方程為?=1.x2x2y2y23x23?y2=1或①③；?=1或②③；?=1.故答案為：①②；32215.【答案】7【分析】p=3x+x，最后根據(jù)拋物線的焦點弦公式12根據(jù)拋物線的方程即可求出，再根據(jù)中點坐標公式即可求出即可求出||【詳解】解：p=3.，則，設()()，Ax,y,Bx,y2112線段AB中點M的橫坐標為2，x+x=22=4，12AB=x+x+p=4+3=7.12故答案為：7.16.【答案】①②④(x,y)x=0y=0，得知圖象過原點，即判斷①正確③【分析】先設動點坐標為，根據(jù)題意構建關系，令y?y用代替，等式不變，即判斷②正確；利用關系解出y2，再計算錯誤；關系式中=(x?2)2+y2求解函數(shù)最值，即判斷④正確.(x,y)(x?2)2+yx+2=42【詳解】設動點的坐標為，則．①當x=0時，y=0，∴曲線C過坐標原點，故①正確；(x?2)2+y2x+2=4中的y?y代替，該等式不變，②將用∴曲線C關于軸對稱，故②正確；x③令x=0，則y=0，故曲線C與y軸只有個交點，故③錯誤；1(x?2)2+yx+2=4，2④∵16(x+2)16(x+2)y=?(x?2)2?(x?2)022解得22x22，?∴，由2216(x+2)4x+2=(x?2)2+y2=(x?2)2+?(x?2)=2∴若點M在曲線C上，則24=2(2?，當x=22時等號成立，故④正確．2+22綜上所述，所有正確的結論為①②④.故答案為：①②④.【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵在于求出動點的軌跡方程，才能利用方程研究性質(zhì)，即突破難點.三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）a=14?2n17.1）n（2）證明見解析342S,an）根據(jù)之間的關系進行求解即可；n（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義進行證明即可；（3）根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性進行求解即可.【小問1當n=1時，S=a=；11S=n?n2=(?)?(?)2S，∴n1n1n1∵∴；n()；an=SnSn1142nnnN?=?當n=1時，a=14?2=121的通項公式為a滿足上式，故an142n．=?n【小問2Snnb=n=13?n，其中b=12，1設∴b=13?n+)；∴n1?n=12?n?13+n=?1(；n1Snn為首項12，公差1的等差數(shù)列．即數(shù)列【小問3a=14?2nn因為，所以該數(shù)列是遞減數(shù)列，a=14?2n0n7由由當，na=14?2n=0n=7n，a0nn7a0a=0；6時，；即，7(+)6122所以前n項和的最大值為S6S7===42.21218.12）.25AB⊥ACABAA，利用線面垂直的判定定理可得1⊥）根據(jù)勾股定理可得，再由AB⊥平面AACC1）根據(jù)勾股定理可得ABAC，再由面面垂直的性質(zhì)定理可得AB⊥⊥11AACC平面.11A?A（2）以A為原點建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，根據(jù)sin|BC,n|11【詳解】解：選擇①②：（1）因為AC=4，AB=3，AB⊥AC.所以BC=5，AB⊥AAAC∩AA1=A，又因為，1所以AB平面⊥AACC.111）因為AC=4，AB=3，AB⊥AC.所以BC=5，又因為平面ABC⊥平面AACC，，11平面平面AACC=AC11所以AB平面⊥AACC11AB⊥ACABAA1.，⊥（2）由（）知⊥.1AACC因為四邊形是正方形，所以11A?如圖，以A為原點建立空間直角坐標系(0,0)B0)，C(0,4)，則，，1(0,4,0)，1(0,4)，AB=?0)，AC=(0,4)，BC=(?4).111A=設平面的一個法向量為n(x,y,z)，113x?4y=4z=0.n即則令n11y=3x=4，z=0，所以n=(4,0).，則設直線BC與平面A所成角為，112sin|cosBC,n=則.|||n|251225所以直線BC與平面A所成角的正弦值為11.【點睛】思路點睛：解決二面角相關問題通常用向量法，具體步驟為：（1）建坐標系，建立坐標系的原則是盡可能的使得已知點在坐標軸上或在坐標平面內(nèi)；（2）根據(jù)題意寫出點的坐標以及向量的坐標，注意坐標不能出錯.（3）利用數(shù)量積驗證垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距離、線面角或二面角.(?)19.1）x22+y2=4（2）x22y+2=0，相交）利用兩點間距離公式進行求解即可；（2）根據(jù)點到直線距離公式，結合圓的性質(zhì)進行求解即可.【小問1PM設P(x,y)為所求曲線C上任意一點，由題意得=2．又(0)，()N1,0，MPN(+)所以x22+y2=(?)x12+y2，整理得(x?2)2+y=4．22(?)故曲線C的方程為x22+y24．=【小問2(?)顯然x22+4的圓心坐標為C(0)y2=，半徑為r2，=當直線l的斜率不存在時，不符合題意．y=kx+2)，(設直線l的方程為k+2k1因為點N到直線l的距離為1．所以=1，解得k=．2k+1221(+)x2，即x22y+2=0．y=所以直線l的方程為222+243，=所以圓心C到直線l的距離為2()12+224r因為，所以直線lC相交．320.1）證明見解析421（2）211D（3）直線與平面相交，作出交點見解析）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結論；（2）建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.1D（3）利用空間向量的數(shù)量積判斷直線直線CG與平面的位置關系，結合平面的位置關系以及線面位置關系即可作出交點.【小問1BC1BC于MDM，1證明：連接，交1BBC的中點；1在直三棱柱中，由平行四邊形，可知M為1//又D為AC的中點，所以DM為的中位線，故；11DMAB1//平面．1∵平面，平面，∴11【小問2，1⊥⊥平面ABC，，已知直三棱柱以C為原點以,CB,CC為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，112則()，()，()，()，()，C0,0A1,0,0B0B2C0,0,2D,0,0，11)1=(2)，=,1,0．AB=(?2BD所以，12m=1,0,0的一個法向量為)，x由題意軸平面⊥，取平面11設平面法向量為)，1Dn=(x,y,zx=4?y+2z=0n=2，1z=1，得到y(tǒng)則有，則，令x?y=0n2z=11D=(2,1)，n得到平面的一個法向量為1cosm所以．mn2