人教版數(shù)學選修1-1-復習提綱

數(shù)學選修1-1復習知識提綱（一）常用邏輯用語：1.命題：可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫做真命題；判斷為假的語句叫做假命題；2.四種命題：結(jié)論：互為逆否的兩個命題是等價的。因此，在判斷四種命題的真假時，只需判斷兩種命題的真假。因為原命題與逆否命題真假等價，逆命題與否命題真假等價。2.充分條件與必要條件：①若，但qp，則是的充分不必要條件（也可以說的充分條件不必要條件是）；從集合的角度來看，若pq，則是的充分條件不必要條件。=2\*GB3②若，但qp，則是的必要不充分條件（也可以說的必要不充分條件條是）；從集合的角度來看，若qp，則是的必要不充分條件。=3\*GB3③若，且qp，則是的充要條件（也可以說是的充要條件），記作；從集合的角度來看，若，則是的充分要條件。=4\*GB3④若，且qp，則是的既不充分也不必要條件；從集合的角度來看，若，且，則是的既不充分也不必要條件。注意：證明是的充要條件需分證明充分性（）和必要性（）兩步。3.簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞：且、或、非；復合命題三種形式：p且q，p或q，非p真假判斷：p、q同真，真，其余均為假；p、q同假，假，其余均為真；與p的真假相反4.全稱量詞與存在量詞：全稱命題p：,它的否定：特稱命題p：,它的否定：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。（二）圓錐曲線與方程：1．橢圓：1.橢圓方程的第一定義：2.橢圓的標準方程：=1\*romani.中心在原點，焦點在x軸上：.=2\*romanii.中心在原點，焦點在軸上：.一般方程：.頂點：或.對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.焦點：或.焦距：.準線：或.離心率：.3.焦半徑：=1\*romani.設(shè)為橢圓上的一點，為左、右焦點，則由橢圓方程的第二定義可以推出：，=2\*romanii.設(shè)為橢圓上的一點，為上、下焦點，則由橢圓方程的第二定義可以推出：，歸結(jié)起來為“左加右減”、“下加上減”.4.通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標：和共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.5.若P是橢圓：上的點.為焦點，若，則的面積為（用余弦定理與可得）.若是雙曲線，則面積為.2．雙曲線：1.雙曲線的第一定義：2.雙曲線標準方程：.一般方程：.=1\*romani.焦點在x軸上：頂點：.焦點：.準線方程.漸近線方程：或=2\*romanii.焦點在軸上：頂點：.焦點：.準線方程：.漸近線方程：或，軸為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.離心率.準線距（兩準線的距離）；通徑.參數(shù)關(guān)系.3.焦半徑公式：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）“長加短減”原則：構(gòu)成滿足（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）4.等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.5.共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.6.共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為,因此，如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設(shè)為.例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得.7.直線與雙曲線的位置關(guān)系：3．拋物線：設(shè)，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點準線范圍對稱軸x軸y軸頂點（0，0）離心率焦半徑注：①則焦點半徑；則焦點半徑為.=2\*GB3②通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.4．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到一個定點F的距離和它到一條定直線的距離之比是一個常數(shù)的點的軌跡是圓錐曲線，并且當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為雙曲線；當時，軌跡為拋物線.其中，點F是它的焦點，直線是它的準線，比值是它的離心率。（三）導數(shù)及其應(yīng)用：1.導數(shù)的定義：一般地，函數(shù)在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或，即=.注：=1\*GB3①是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負，但不為零.2.導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點處的切線的斜率是，切線方程為3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：（為常數(shù)）（）4.導數(shù)運算法則：注：必須是可導函數(shù).5.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)：在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.注：=1\*GB3①如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù).=2\*GB3②是f（x）遞增的充分條件不必要條件，如在上并不是都有，有一個點例外，即時，同樣是遞減的充分不必要條件.=3\*GB3③一般地，如果在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么在該區(qū)間上仍就是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.6.函數(shù)的極值與導數(shù)：一般地，求函數(shù)的極值的方法是：解方程，當時：=1\*GB3①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；=2\*GB3②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值.注意：=1\*GB3①：導數(shù)為0的點不一定是函數(shù)的極值點，但是若點是可導函數(shù)的極值點，則.此外，函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值?。ê瘮?shù)在某一點附近的點不同）.例如：=1\*GB3①函數(shù)，使，但不是極值點.=2\*GB3②函數(shù)，在點處不可導，但點是函數(shù)的極小值點.7.函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)：一般地，求函數(shù)在的最大值與最小值的步驟如下：=1\*GB2⑴求函數(shù)在內(nèi)的極值；=2\*GB2⑵將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較，其中最大的的一個是最大值，最小的一個是最小值。數(shù)學選修1-2復習知識提綱一、基礎(chǔ)知識梳理１．回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。求回歸直線方程的一般步驟：作出散點圖（由樣本點是否呈條狀分布來判斷兩個量是否具有線性相關(guān)關(guān)系），若存在線性相關(guān)關(guān)系→②求回歸系數(shù)→③寫出回歸直線方程，并利用回歸直線方程進行預測說明.

2.回歸分析：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法。建立回歸模型的基本步驟是：①確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量；②畫好確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（線性關(guān)系）.③由經(jīng)驗確定回歸方程的類型.④按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（最小二乘法）；⑤得出結(jié)論后在分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢驗數(shù)據(jù)是否有誤，后模型是否合適等.3.利用統(tǒng)計方法解決實際問題的基本步驟：（1）提出問題；（2）收集數(shù)據(jù)；（3）分析整理數(shù)據(jù)；（4）進行預測或決策。4.殘差變量的主要來源：（1）用線性回歸模型近似真實模型（真實模型是客觀存在的，通常我們并不知道真實模型到底是什么）所引起的誤差?？赡艽嬖诜蔷€性的函數(shù)能夠更好地描述與之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性函數(shù)來表述這種關(guān)系，結(jié)果就會產(chǎn)生誤差。這種由于模型近似所引起的誤差包含在中。（2）忽略了某些因素的影響。影響變量的因素不只變量一個，可能還包含其他許多因素（例如在描述身高和體重關(guān)系的模型中，體重不僅受身高的影響，還會受遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等其他因素的影響），但通常它們每一個因素的影響可能都是比較小的，它們的影響都體現(xiàn)在中。（3）觀測誤差。由于測量工具等原因，得到的的觀測值一般是有誤差的（比如一個人的體重是確定的數(shù)，不同的秤可能會得到不同的觀測值，它們與真實值之間存在誤差），這樣的誤差也包含在中。上面三項誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。二、例題選講例1：研究某灌溉渠道水的流速與水深之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如下：水深1.401.501.601.701.801.902.002.10流速1.701.791.881.952.032.102.162.21（1）求對的回歸直線方程；（2）預測水深為1.95時水的流速是多少？分析：本題考查如何求回歸直線的方程，可先把有關(guān)數(shù)據(jù)用散點圖表示出來，若這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，說明這兩個變量線性相關(guān)，從而可利用我們學過的最小二乘估計思想及計算公式求得線性回歸直線方程。解：（1）由于問題中要求根據(jù)水深預報水的流速，因此選取水深為解釋變量，流速為預報變量，作散點圖：由圖容易看出，與之間有近似的線性關(guān)系，或者說，可以用一個回歸直線方程

來反映這種關(guān)系。由計算器求得。對的回歸直線方程為。（2）由（1）中求出的回歸直線方程，把代入，易得。計算結(jié)果表示，當水深為時可以預測渠水的流速為。評注：建立回歸模型的一般步驟：（1）確定研究對象，明確兩個變量即解釋變量和預報變量；（2）畫出散點圖，觀察它們之間的關(guān)系；（3）由經(jīng)驗確定回歸方程類型（若呈線性關(guān)系，選用線性回歸方程）；（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差出現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。2.1合情推理與演繹推理知識要點梳理知識點一：推理的概念根據(jù)一個或幾個已知事實(或假設(shè))得出一個判斷，這種思維方式叫做推理．從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設(shè))叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論．知識點二：合情推理根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺等，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想、歸納、類比等推測出某些結(jié)果的推理過程。其中歸納推理和類比推理是最常見的合情推理。1.歸納推理（1）定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。（2）一般模式：部分整體，個體一般（3）一般步驟：①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；②從已知的相同的性質(zhì)中猜想出一個明確表述的一般性命題；③檢驗猜想.（4）歸納推理的結(jié)論可真可假歸納推理一般都是從觀察、實驗、分析特殊情況開始，提出有規(guī)律性的猜想；一般地，歸納的個別情況越多，就越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠.由于歸納推理的前提是部分的、個別的事實，因此歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以歸納推理所得的結(jié)論不一定是正確的.2.類比推理（1）定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.（2）一般模式：特殊特殊（3）類比的原則：可以從不同的角度選擇類比對象，但類比的原則是根據(jù)當前問題的需要，選擇恰當?shù)念惐葘ο?（4）一般步驟：①找出兩類對象之間的相似性或一致性；②用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，得出一個明確的命題（猜想）；③檢驗猜想.（5）類比推理的結(jié)論可真可假類比推理中的兩類對象是具有某些相似性的對象，同時又應(yīng)是兩類不同的對象；一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠.類比結(jié)論具有或然性，所以類比推理所得的結(jié)論不一定是正確的。知識點三：演繹推理（1）定義：從一般性的原理出發(fā)，按照嚴格的邏輯法則，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理，叫做演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．（2）一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情況；結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的結(jié)論.（3）用集合的觀點理解“三段論”若集合的所有元素都具有性質(zhì)，是的子集，那么中所有元素都具有性質(zhì)（4）演繹推理的結(jié)論一定正確演繹推理是一個必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正確，那么結(jié)論一定是正確的，它是完全可靠的推理。規(guī)律方法指導合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系（1）從推理模式看：①歸納推理是由特殊到一般的推理．②類比推理是由特殊到特殊的推理．③演繹推理是由一般到特殊的推理．（2）從推理的結(jié)論看：①合情推理所得的結(jié)論不一定正確，有待證明。②演繹推理所得的結(jié)論一定正確。（3）總體來說，從推理的形式和推理的正確性上講，二者有差異；從二者在認識事物的過程中所發(fā)揮的作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的。合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的；演繹推理可以驗證合情推理的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路.3.1數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入知識要點梳理知識點一：復數(shù)的基本概念1．虛數(shù)單位:（1）它的平方等于，即；（2）與－1的關(guān)系:就是－1的一個平方根，即方程的一個根，方程的另一個根是；（3）實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立；（4）的周期性：，，，（）.2.概念形如（）的數(shù)叫復數(shù)，記作：（）；其中：叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部.說明：這里容易忽視，但卻是列方程求復數(shù)的重要依據(jù).3．復數(shù)的分類（）4．復數(shù)集全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母表示；復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：5．復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛、0的關(guān)系：對于復數(shù)（），當且僅當時，復數(shù)是實數(shù)；當且僅當時，復數(shù)叫做虛數(shù)；當且僅當且時，復數(shù)叫做純虛數(shù)；當且僅當時，復數(shù)就是實數(shù)0.6．復數(shù)相等的充要條件兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等.即：如果，那么.特別地:.說明：（1）（2）一個復數(shù)一旦實部、虛部確定，那么這個復數(shù)就唯一確定；反之一樣.（3）復數(shù)相等的充要條件是將復數(shù)轉(zhuǎn)化為實數(shù)解決問題的基礎(chǔ).（