勾股定理及兩點間距離公式C學(xué)生版

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年級：科目：數(shù)學(xué)學(xué)時數(shù)：課題勾股定理及兩點距離公式授課日期及時段教學(xué)目的理解用面積割補法證明勾股定理的思路和勾股定理的推導(dǎo)辦法；初步掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理及其逆定理解決基本的有關(guān)證明的問題；掌握兩點間距離公式.教學(xué)內(nèi)容【知識梳理】直角三角形中，斜邊不不大于直角邊,勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.兩點的距離公式：如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點，，那么、兩點的距離為：【典型例題解說】題型一：【例1】已知在△中，∠=90°.（1）若，則.（2），則.（3），則.（4），則.【例2】直角三角形的兩邊長為3、4,則第三邊長為___________，面積為.【例3】直角三角形的兩邊長為5和12，求第三邊的長及斜邊上的高.【例4】在下列長度的各組線段中,能構(gòu)成直角三角形的是()A.5,6,7B.32,42,52C.5,11,12D.5,12,13【借題發(fā)揮】A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等邊三角形2．三角形三邊長分別為a－b、2ab、a＋b（a＞b＞0）,則這個三角形為（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不是直角三角形3．某直角三角形兩直角邊長的比為2：1，斜邊長10cm，則該直角三角形的面積為4.直角三角形中,一條直角邊比斜邊上的中線長1厘米,如果斜邊長是10厘米,則兩直角邊長是.題型二：【例5】已知：△中，.求高的長；求三角形的面積△?！纠?】有一種角為30°的等腰三角形,若腰長為4,則腰上的高是,面積是.【例7】在直角三角形中，已知一條直角邊的長為6，斜邊上的中線長為5，則另一條直角邊的長為【例8】三角形三個角的度數(shù)之比為1：2：3，它的最大邊長等于16cm，則最小邊長是_________cm．【借題發(fā)揮】已知在△中，∠=90，°.（1）若∠=30°，則,.（2）若∠=45°，則,.2．已知等邊△的邊長是6厘米.求高的長；求△的面積△.已知直角三角形的兩邊長分別是和，求它的面積.題型三：【例9】以下圖，字母B所代表的正方形的面積是；【例10】如圖，在一塊用邊長為的正方形的地磚鋪設(shè)的廣場上，一只飛來的鴿子落在點處，，鴿子吃完小朋友灑在、處的鳥食，最少需要走多遠(yuǎn)？【例11】欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，最少需多長的梯子？【例12】如圖，有一種高是1.5米、半徑是1米的圓柱形油桶，在上地面靠邊的地方有一小孔，從孔中插入一根鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分最短是0.5米，這根鐵棒有多長？【例13】有一種圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓柱的下底面點處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點相對的點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？（的值取3）【例14】中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，你能結(jié)合此圖證明勾股定理嗎？（四個直角三角形全等） CC【借題發(fā)揮】飛機(jī)在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一種男孩的頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機(jī)距離這個男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時飛行多少千米？2．如圖，每個小方格都是邊長為1的正方形，（1）求圖中格點四邊形ABCD的面積和周長。（2）求∠ADC的度數(shù)。3．如圖：設(shè)甲到島上去探寶，登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，碰到障礙后又向西走3千米，再折向北走6千米處往東一拐，僅1千米找到寶藏，問登陸點到探寶點的距離是多少？4．△ABC三邊a,b,c為邊向外作正方形，正三角形，以三邊為直徑作半圓，若S1+S2=S3成立，則是直角三角形嗎？ABABCabcS1S3S2ACabcS2S3BS15．你能用下面的圖形也來驗證一下勾股定理嗎？試一試！6．在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種有趣的問題，這個問題的意思是：有一種水池，水面是一種邊長為10尺的正方形，在水池中央有一根新生的蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端正好達(dá)成岸邊的水面.這個水池的深度和這個蘆葦?shù)拈L度各為多少？7．求四個水平放置的正方形的面積的和.（即求）題型四：兩點間距離公式【例14】求下列兩點間的距離：（1）和（2）和（3）和（4）和（5）和（6）和【例15】已知三角形三個頂點的坐標(biāo)，判斷三角形的形狀.（1）、、（2）、、（3）、、（4）、、（5）、、（6）、、【例16】在角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知、兩點的坐標(biāo)分別為、，線段的垂直平分線交軸于點，求點的坐標(biāo)【借題發(fā)揮】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知△是等邊三角形，且、兩點的坐標(biāo)分別為、.（1）求點的坐標(biāo).（2）如果△內(nèi)一點到三角形三邊的距離都相等，求點的坐標(biāo).【隨堂練習(xí)】填空題：1．在直角三角形中，兩條直角邊分別為5,12，則斜邊上的高為.2．若長方形的一條對角線與一邊的差為，另一條邊長，則這個長方形的面積等于平方厘米.3．若3是有關(guān)的方程的解，那么覺得邊的等腰三角形的面積為.4．如圖所示，在△中，是邊上的中線，且⊥于，,如果將△繞點旋轉(zhuǎn)180°，將交點轉(zhuǎn)到點的位置，那么.5．如圖，△為等邊三角形，邊長為，為中點，⊥，垂足為，∥交于，則△的周長是.選擇題：1．在△中，∠=90°，∠=30°，，則此三角形的周長為（）A.;B.;C.;D..2．已知△的三邊都是整數(shù)，兩條直角邊長度的比是3:4，則斜邊的長可能是（）A.9;B.10;C.12;D.14.3．已知，下列各點中在線段垂直平分線上的點有（）①②③④A.1個;B.2個;C.3個;D.4個.4．三角形三個內(nèi)角的度數(shù)比為，那么它的三條邊的長度之比為（）A.;B.;C.;D..5．已知直角三角形有一條直角邊長11厘米，另外兩條邊的長度都是自然數(shù)，那么這個三角形的周長為（）A.120厘米;B.132厘米;C.144厘米;D.156厘米.解答題：1．如圖，在△中，，∠=90°，，平分∠交于點，若.求：的長,2．在△中，∠=90°，中線的長為7，中線的長為4.求：的長3．已知和在軸上找一點，使△為直角三角形.4．四邊形中，∠=60°，∠=∠=90°，.（1）求、的長；（2）求四邊形的面積.【課堂總結(jié)】【課后作業(yè)】1．如圖所示，在平行四邊形中，⊥于，⊥于，∠=120°，，則平行四邊形的面積為平方厘米.2．在△中，，∠=60°，則的長為.3．如圖所示，在扇形中，，∠=120°，那么陰影部分的面積等于.4．已知弓形的高為，弦長為，則弓形所在圓的半徑為.5．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有三個點，則以這三個點為頂點的△是三角形.選擇題：1．下列列各組數(shù)為三邊長的三角形中，不能構(gòu)成三角形的是（）A.;B.;C.;D..2．在直角三角形中，若斜邊上的中線是奇數(shù)，一條直角邊是偶數(shù)，則另一條直角邊一定是（）A.偶數(shù);B.奇數(shù);C.自然數(shù);D.以上結(jié)論都不對.3．在下列命題中，真命題有（）①有一種角等于另外兩個角的差的三角熊是直角三角形；②有一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和的三角形是直角三角形；③三條邊長分別為的三角形是直角三角形；④三個外角的度數(shù)之比為的三角形是直角三角形.A.4個;B.3個;C.2個;D.1個.4．在△中，斜邊上的中線，直角邊，則直角邊的長等于（）A.30;B.32;C.33;D.34.5．若直角三角形三邊、、滿足整式則的形狀為（）A.等腰三角形;B.等邊三角形;C.等腰直角三角形;D.直角三角形.解答題：1．如圖，已知△中，∠=90°，點為的中點，⊥于.求證：.2．如圖，在△中，∠=90°，，以點為圓心，的長為半徑作弧，交斜邊于.求的長.3．如圖，某船向正東航行，在處望見某島在北偏東60°方向，邁進(jìn)6海里到點，此時又測得島在北偏東30°方向，已知在該島周邊6海里內(nèi)有暗礁，問若船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險，請闡明理由.4．給出一組式子：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262．…(1)你能發(fā)現(xiàn)上面式子的規(guī)律嗎?請你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個式子；(2)請你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．5．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知△是直角三角形，且∠=90°，點在軸上，、兩點的坐標(biāo)分別是、，求點的坐標(biāo).6．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知△是等腰三角形，、兩點的坐標(biāo)分別為（0,0）、（3,4），點在軸上，求點的坐標(biāo).二、綜合提高練習(xí)1.如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME～7）的會徽，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的其中