三角函數(shù)的有關(guān)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

第四章三角函數(shù)第1講三角函數(shù)的有關(guān)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式考綱展示命題探究eq\a\vs4\al(考點三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系和誘導(dǎo)公式)1三角函數(shù)的有關(guān)概念(1)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．(2)角度與弧度的互化①360°＝2πrad；②180°＝πrad；③1°＝eq\f(π,180)rad；④1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°.(3)弧長及扇形面積公式①弧長公式：l＝|α|r；②扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.其中l(wèi)為扇形弧長，α為圓心角，r為扇形半徑．(4)任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)α是一個任意角，α的終邊上任意一點P(與原點不重合)的坐標(biāo)為(x，y)，它到原點的距離是r＝eq\r(x2＋y2).三角函數(shù)定義定義域sinαeq\f(y,r)Rcosαeq\f(x,r)Rtanαeq\f(y,x)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))(5)三角函數(shù)在各象限的符號記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(6)三角函數(shù)線角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限圖形2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).3誘導(dǎo)公式及記憶規(guī)律(1)誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα——(2)誘導(dǎo)公式的記憶規(guī)律①誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限．②“奇”“偶”指的是誘導(dǎo)公式k·eq\f(π,2)＋α中的整數(shù)k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k為奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變．③“符號看象限”指的是在k·eq\f(π,2)＋α中，將α看成銳角時k·eq\f(π,2)＋α所在的象限．∴cosθ＝eq\f(－\r(3),\r(3＋m2))＝－eq\f(\r(6),4).(3)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40.又S＝eq\f(1,2)θr2＝eq\f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時，Smax＝100，此時2×10＋10θ＝40，θ＝2.∴當(dāng)r＝10，θ＝2時，扇形的面積最大．(4)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝－eq\f(π,2)，∴α－eq\f(2π,3)＝－eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))，＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(2,3).[答案](1)B(2)－eq\f(\r(6),4)(3)102(4)－eq\f(2,3)【解題法】同角關(guān)系式的應(yīng)用技巧和誘導(dǎo)公式使用原則步驟(1)同角關(guān)系式的應(yīng)用技巧①弦切互化法：主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦函數(shù)．②和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．③巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan2θ))).(2)使用誘導(dǎo)公式的原則和步驟①原則：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了．②步驟：利用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0～eq\f(π,2)之間角的三角函數(shù)，然后求值．1.若tanα＝2taneq\f(π,5)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sinαcos\f(π,5)＋cosαsin\f(π,5),sinαcos\f(π,5)－cosαsin\f(π,5))＝eq\f(\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3，故選C.2．設(shè)a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，則()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案C解析∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°＝eq\f(sin35°,cos35°)，∴eq\f(sin35°,cos35°)>sin35°>sin33°.∴c>b>a，選C.3．已知扇形的周長是4cm，則扇形面積最大時，扇形的中心角的弧度數(shù)是()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D．3答案A解析設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l，則2r＋l＝4，面積S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故當(dāng)r＝1時S最大，這時l＝4－2r＝2.從而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,1)＝2.4．已知角θ的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝________.答案－8解析若角α終邊上任意一點P(x，y)，|OP|＝r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).P(4，y)是角θ終邊上一點，由三角函數(shù)的定義知sinθ＝eq\f(y,\r(16＋y2))，又sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，∴eq\f(y,\r(16＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，且y<0，解得y＝－8.5.若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則eq\f(sin2α,sin2α＋4cos2α)的最大值為________．答案eq\f(1,2)解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴tanα>0，∴eq\f(sin2α,sin2α＋4cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋4cos2α)＝eq\f(2tanα,4＋tan2α)＝eq\f(2,tanα＋\f(4,tanα))≤eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)tanα＝2時取等號．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m與n的夾角為eq\f(π,3)，求x的值．解(1)∵m⊥n，∴m·n＝0.故eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m與n的夾角為eq\f(π,3)，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)cosx,1×1)＝eq\f(1,2)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2).又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12)，故x的值為eq\f(5π,12).已知角α的終邊在直線2x－y＝0上，求角α的正弦、余弦和正切值．[錯解][錯因分析]直接在直線上取特殊點的方法，導(dǎo)致漏解．[正解]在直線2x＋y＝0上取點(m,2m)(m≠0)則r＝eq\r(5)|m|，當(dāng)m>0時，r＝eq\r(5)m，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2m,\r(5)m)＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(m,\r(5)m)＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(2m,m)＝2.當(dāng)m<0時，r＝－eq\r(5)m，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2m,－\r(5)m)＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(m,－\r(5)m)＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(2m,m)＝2.[心得體會]………………時間：45分鐘基礎(chǔ)組1．[2016·冀州中學(xué)期中]已知角α的終邊過點P(－a，－3a)，a≠0，則sinα＝()A.eq\f(3\r(10),10)或eq\f(\r(10),10) B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(10),10)或－eq\f(\r(10),10) D.eq\f(3\r(10),10)或－eq\f(3\r(10),10)答案D解析當(dāng)a>0時，角α的終邊過點(－1，－3)，利用三角函數(shù)的定義可得sinα＝－eq\f(3\r(10),10)；當(dāng)a<0時，角α的終邊過點(1,3)，利用三角函數(shù)的定義可得sinα＝eq\f(3\r(10),10).故選D.2.[2016·衡水中學(xué)仿真]若sinα＋cosα＝eq\f(7,13)(0<α<π)，則tanα等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(12,5)C．－eq\f(12,5) D.eq\f(1,3)答案C解析由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，兩邊平方得1＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，∴2sinαcosα＝－eq\f(120,169)，又2sinαcosα<0,0<α<π.∴eq\f(π,2)<α<π.∴sinα－cosα>0.∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(289,169)，∴sinα－cosα＝eq\f(17,13).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(7,13)，,sinα－cosα＝\f(17,13)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(12,13)，,cosα＝－\f(5,13)，))∴tanα＝－eq\f(12,5).3．[2016·棗強中學(xué)預(yù)測]設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))))·180°＋45°，k∈Zeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1())，N＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,,))xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,))x＝eq\f(k,4)·180°＋45°，k∈Zeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))，那么()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?答案B解析M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x＝\f(2k,4)·))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())180°＋45°，k∈Z))，故當(dāng)集合N中的k為偶數(shù)時，M＝N，當(dāng)k為奇數(shù)時，在集合M中不存在，故M?N.4．[2016·冀州中學(xué)一輪檢測]已知角θ的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋cosπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝()A．－2 B．2C．0 D.eq\f(2,3)答案B解析由角θ的終邊在直線2x－y＝0上，可得tanθ＝2，原式＝eq\f(－cosθ－cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(－2,1－tanθ)＝2.5．[2016·武邑中學(xué)一輪檢測]已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，則tanα＝()A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．1答案A解析解法一：由sinα－cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(2)，α∈(0，π)，解得α＝eq\f(3π,4)，∴tanα＝taneq\f(3π,4)＝－1.解法二：由sinα－cosα＝eq\r(2)及sin2α＋cos2α＝1，得(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1<0，故tanα<0，且2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝－1，解得tanα＝－1(正值舍)．6．[2016·武邑中學(xué)月考]已知角x的終邊上一點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos\f(5π,6)))，則角x的最小正值為()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(5π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(2π,3)答案B解析∵sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，∴角x的終邊經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，tanx＝－eq\r(3)，∴x＝2kπ＋eq\f(5,3)π，k∈Z，∴角x的最小正值為eq\f(5π,3).7.[2016·衡水中學(xué)熱身]已知函數(shù)f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝2f(x)，則tan2x的值是()A．－eq\f(4,3) B.eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D.eq\f(3,4)答案C解析因為f(x)＝sinx－cosx，所以f′(x)＝cosx＋sinx，于是有cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，整理得sinx＝3cosx，所以tanx＝3，因此tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(2×3,1－32)＝－eq\f(3,4)，故選C.8．[2016·衡水二中期中]已知sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則tan(2π－α)的值為()A．－eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),2)答案B解析sin(π－α)＝sinα＝log8eq\f(1,4)＝－eq\f(2,3)，又因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),3)，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(2\r(5),5).9．[2016·武邑中學(xué)預(yù)測]在三角形ABC中，若sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，則tanA＝()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D．±eq\f(4,3)答案B解析解法一：因為sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，所以(sinA＋cosA)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2，所以1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25)，所以sinAcosA＝－eq\f(12,25).又A∈(0，π)，所以sinA>0，cosA<0.因為sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，sinAcosA＝－eq\f(12,25)，所以sinA，cosA是一元二次方程x2－eq\f(1,5)x－eq\f(12,25)＝0的兩個根，解方程得sinA＝eq\f(4,5)，cosA＝－eq\f(3,5)，所以tanA＝－eq\f(4,3).故選B.解法二：由解法一，得sinA>0，cosA<0，又sinA＋cosA＝eq\f(1,5)>0，所以|sinA|>|cosA|，所以eq\f(π,2)<A<eq\f(3π,4)，所以tanA<－1，故選B.10．[2016·棗強中學(xué)模擬]已知α為第二象限角，則cosαeq\r(1＋tan2α)＋sinαeq\r(1＋\f(1,tan2α))＝________.答案0解析原式＝cosαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＋sinαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,sin2α))＝cosαeq\f(1,|cosα|)＋sinαeq\f(1,|sinα|)，因為α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以cosαeq\f(1,|cosα|)＋sinαeq\f(1,|sinα|)＝－1＋1＝0，即原式等于0.11.[2016·武邑中學(xué)猜題]設(shè)f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα≠－\f(1,2)))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________.答案eq\r(3)解析∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).能力組12.[2016·冀州中學(xué)仿真]已知扇形的面積為eq\f(3π,16)，半徑為1，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A.eq\f(3π,16) B.eq\f(3π