2024屆新疆阿克蘇市實驗中學數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆新疆阿克蘇市實驗中學數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是拋物線：的焦點，直線與拋物線相交于，兩點，滿足，記線段的中點到拋物線的準線的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.2．下列命題正確的是（）A.經(jīng)過三點確定一個平面B.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面3．古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到了3世紀，希臘數(shù)學家帕普斯在他的著作《數(shù)學匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明.他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的右焦點為，以為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若(為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.5．已知橢圓上一點到左焦點的距離為，是的中點，則（）A.1 B.2C.3 D.46．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.7．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.28．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A.4 B.9C.23 D.649．已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A. B.C. D.10．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.11．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出S的結(jié)果是（）A.128 B.64C.16 D.3212．如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點是O，若，則___________.14．從正方體的8個頂點中選取4個作為項點，可得到四面體的概率為________15．已知直線：與直線：平行，則的值為___________.16．若，滿足不等式組，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為（1）求橢圓方程；（2）設(shè)過橢圓頂點，斜率為的直線交橢圓于另一點，交軸于點，且，，成等比數(shù)列，求的值18．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點（其中A在B的上方），過線段AB的中點M且與x軸平行的直線依次交直線OA、OB，l于點P、Q、N（1）試探索PM與NQ長度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）當P、Q是線段MN的三等分點時，求直線AB的斜率；（3）當P、Q不是線段MN的三等分點時，證明：以點Q為圓心、線段QO長為半徑的圓Q不可能包圍線段NP19．（12分）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和20．（12分）一個經(jīng)銷鮮花產(chǎn)品的微店，為保障售出的百合花品質(zhì)，每天從云南鮮花基地空運固定數(shù)量的百合花，如有剩余則免費分贈給第二天購花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應(yīng)商處進貨.今年四月前10天，微店百合花的售價為每支2元，云南空運來的百合花每支進價1.6元，本地供應(yīng)商處百合花每支進價1.8元，微店這10天的訂單中百合花的需求量（單位：支）依次為：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（Ⅰ）求今年四月前10天訂單中百合花需求量的平均數(shù)和眾數(shù)，并完成頻率分布直方圖；（Ⅱ）預(yù)計四月的后20天，訂單中百合花需求量的頻率分布與四月前10天相同，百合花進貨價格與售價均不變，請根據(jù)（Ⅰ）中頻率分布直方圖判斷（同一組中的需求量數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，位于各區(qū)間的頻率代替位于該區(qū)間的概率），微店每天從云南固定空運250支，還是255支百合花，四月后20天百合花銷售總利潤會更大？21．（12分）已知，，函數(shù)，直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，的面積為，求的周長22．（10分）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，，….（參考數(shù)據(jù)：，，.）（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推關(guān)系表示成的形式，其中k，r為常數(shù)；（3）求的值（精確到1）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，進而得，再結(jié)合余弦定理得，進而根據(jù)基本不等式求解得.【詳解】解：設(shè)，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，則，因為點為線段中點，所以根據(jù)梯形中位線定理得點到拋物線的準線的距離為，因為，所以在中，由余弦定理得，所以，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，余弦定理，基本不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，設(shè)，進而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.2、D【解析】由平面的基本性質(zhì)結(jié)合公理即可判斷.【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經(jīng)過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D3、C【解析】對方程進行化簡可得雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數(shù)，進而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.4、A【解析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由，可知為的三等分點，用兩種方式表示，可得關(guān)于的方程組，結(jié)合即可得到雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由到漸近線的距離為，所以，又，所以，因為，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.5、A【解析】由橢圓的定義得，進而根據(jù)中位線定理得.【詳解】解：由橢圓方程得，即，因為由橢圓的定義得，，所以，因為是的中點，是的中點，所以.故選：A6、C【解析】利用函數(shù)的奇偶性求出，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，利用點斜式即可求出結(jié)果【詳解】函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，則則，即，所以，所以函數(shù)，可得；所以曲線在點處的切線的斜率為，則曲線在點處的切線方程為，即故選：C7、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.8、C【解析】直接按程序框圖運行即可求出結(jié)果.【詳解】初始化數(shù)值，，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，1≥4不成立；第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，2≥4不成立；第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，3≥4不成立；第四次執(zhí)行循環(huán)體，，，4≥4成立；輸出故選：C9、D【解析】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.詳解：因為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.10、A【解析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率【詳解】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點在圓上，，即，故選A【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來11、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C12、D【解析】取AC的中點O，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)點到線距離的向量求法和投影的定義計算即可.【詳解】由題意知，，取AC的中點O，則，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，所以在上的投影的長度為，故點C到直線距離為：.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】結(jié)合空間向量運算求得.【詳解】，.所以.故答案為：14、【解析】計算出正方體的8個頂點中選取4個作為項點的取法和分從上底面取一個點下底面取三個點、從上底面取二個點下底面取二個點、從上底面取三個點下底面取一個點可得到四面體的取法，由古典概型概率計算公式可得答案.【詳解】正方體的8個頂點中選取4個作為項點，共有取法，可得到四面體的情況有從上底面取一個點下底面取三個點有種；從上底面取二個點下底面取二個點有種，其中當上底面和下底面取的四個點在同一平面時共有10種情況不符合，此種情況共有種；從上底面取三個點下底面取一個點有種；一個有種，所以可得到四面體的概率為.故答案為：.15、-1【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列式求解即可.【詳解】由題意可知，的斜率，的斜率，∵，∴解得.故當時，直線：與直線：平行.故答案為：-1.16、10【解析】作出不等式區(qū)域,如圖所示:目標最大值,即為平移直線的最大縱截距,當直線經(jīng)過點時最大為10.故答案為10.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為，離心率為結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于的方程組，求出從而求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求出點D、E的坐標，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，即可求解【詳解】（1）由已知，，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）得過點的直線為，由，得，所以，所以，依題意，因為，，成等比數(shù)列，所以，所以，即，當時，，無解，當時，，解得，所以，解得，所以，當，，成等比數(shù)列時，【點睛】方法點睛（1）求橢圓方程的常用方法：①待定系數(shù)法；②定義法；③相關(guān)點法（2）直線與圓錐曲線的綜合問題，常將直線方程代入圓錐曲線方程，從而得到關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出交點坐標），利用韋達定理得出坐標的關(guān)系,同時注意判別式大于零求出參數(shù)的范圍（或者得到關(guān)于參數(shù)的不等關(guān)系），然后將所求轉(zhuǎn)化到參數(shù)上來再求解．如本題及，聯(lián)立即可求解．注意圓錐曲線問題中，常參數(shù)多、字母多、運算繁瑣，應(yīng)注意設(shè)而不求的思想、整體思想的應(yīng)用．屬于中檔題.18、（1），證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】（1）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程及，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理和中點坐標公式，三點共線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件得出，運用韋達定理和弦長公式，可得出直線的斜率；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論及求根公式，求得點的坐標，結(jié)合的表達式，結(jié)合圖形可知,由的范圍和的取值即可證明.【小問1詳解】由題意可知，拋物線的焦點為,設(shè)直線的方程為，則，消去，得，，，所以直線的方程為，由因為三點共線，所以，，同理，，,所以，所以.【小問2詳解】因為P、Q是線段MN的三等分點，所以，，，又，，所以，所以，解得或（舍）所以直線AB的斜率為.【小問3詳解】由（1）知，，得，所以，，又,,,,當時，,由圖可知，,而只要，就有,所以當P、Q不是線段MN的三等分點時，以點Q為圓心、線段QO長為半徑的圓Q不可能包圍線段NP19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項、公差，由列出關(guān)于首項、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可知，利用裂項相消法可求數(shù)列的前n項和.小問1詳解】依題意：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則解得所以數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】由（1）可知因為，所以，所以.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）四月后20天總利潤更大【解析】（Ⅰ）根據(jù)眾數(shù)的定義直接可求出眾為255.利用平均數(shù)的公式可以求出平均數(shù)．根據(jù)給定的分組，通過計算完成頻率分布直方圖（Ⅱ）設(shè)訂單中百合花需求量為（支），由（Ⅰ）中頻率分布直方圖，可以求出可能取值、每個可能取值相應(yīng)頻率，每個可能取值相應(yīng)的天數(shù)．分別求出空運250支，255支百合花時，銷售總利潤的大小，進行比較，得出結(jié)論【詳解】解：（Ⅰ）四月前10天訂單中百合需求量眾數(shù)為255，平均數(shù)頻率分布直方圖補充如下：（Ⅱ）設(shè)訂單中百合花需求量為（支），由（Ⅰ）中頻率分布直方圖，可能取值為235，245，255，265，相應(yīng)頻率分別為0.1，0.3，0