北京首都師范大學第二附屬中學2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

北京首都師范大學第二附屬中學2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調遞增B.函數(shù)的遞減區(qū)間為C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極小值2．設等差數(shù)列，的前n項和分別是，若，則（）A. B.C. D.3．如下圖，面與面所成二面角的大小為，且A，B為其棱上兩點．直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面中，且都垂直于AB，已知，，，則（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.5．函數(shù)的導函數(shù)為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線E的漸近線為，則其離心率為（）A. B.C. D.或7．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知等比數(shù)列的前項和為，首項為，公比為，則（）A. B.C. D.9．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.10．某老師希望調查全校學生平均每天的自習時間.該教師調查了60位學生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習時間是3.5小時.這里的總體是（）A.楊高的全校學生；B.楊高的全校學生的平均每天自習時間；C.所調查的60名學生；D.所調查的60名學生的平均每天自習時間.11．數(shù)列，，，，…，的通項公式可能是（）A. B.C. D.12．下列求導不正確的是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．作邊長為6的正三角形的內切圓，半徑記為，在這個圓內作內接正三角形，然后再作新三角形的內切圓．如此下去，第n個正三角形的內切圓半徑記為，則______，現(xiàn)有1個半徑為的圓，2個半徑為的圓，……，個半徑為的圓，n個半徑為的圓，則所有這些圓的面積之和為______14．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，且，則_______15．若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷進行構造，又可以得到新的數(shù)列．現(xiàn)將數(shù)列1，2進行構造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構造，第次得到數(shù)列1，，，，…，，2；記則______，設數(shù)列的前n項和為，則______16．由曲線圍成的圖形的面積為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點分別為、，橢圓上的點到左焦點最近的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）若經過點的直線與橢圓C交于M，N兩點，當?shù)拿娣e取得最大值時，求直線的方程.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）若數(shù)列，，求前項和.19．（12分）已知向量，，且.（1）求滿足上述條件的點M(x,y)的軌跡C的方程；（2）設曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點P，Q，點A(0,1)，當|AP|=|AQ|時，求實數(shù)m的取值范圍.20．（12分）已知直線l經過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0交點，且與直線x+y﹣2＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為，求圓C的標準方程21．（12分）已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設bn＝－，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.22．（10分）已知數(shù)列的首項，前n項和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)函數(shù)單調性與導數(shù)之間的關系及極值的定義結合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)的圖象可得，當時，，故函數(shù)在和上遞減，當時，，故函數(shù)在和上遞增，所以函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.2、C【解析】結合等差數(shù)列前項和公式求得正確答案.【詳解】依題意等差數(shù)列，的前n項和分別是，由于，故可設，，當時，，，所以，所以.故選：C3、B【解析】根據(jù)題意，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，進一步判斷出該四邊形為矩形，然后確定出為二面角的平面角，進而通過余弦定理和勾股定理求得答案.【詳解】如圖，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，所以.因為，所以，又，所以是該二面角的一個平面角，即，由余弦定理.因為，，所以，易得四邊形ABDE為矩形，則，而，所以平面ACE，則，于是.故選：B.4、A【解析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個零點可知函數(shù)的單調性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個零點令,則且所以，在上為增函數(shù)，可得，當，在上單調遞減，可得，即要有兩個零點有兩個零點，實數(shù)的取值范圍是.故選：A【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解5、B【解析】利用復合函數(shù)求導法則即可求導.【詳解】，故選：B.6、D【解析】根據(jù)雙曲線標準方程與漸近線的關系即可求解.【詳解】當雙曲線焦點在x軸上時，漸近線為，故離心率為；當雙曲線焦點在y軸上時，漸近線為，故離心率為；故選：D.7、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.8、D【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】因為等比數(shù)列，，所以.故選：D9、D【解析】根據(jù)題意，結合，，利用不等式的性質可判斷，從而判斷，再利用不等式性質得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負數(shù)，可知故選：D10、B【解析】由總體的概念可得答案.【詳解】某老師希望調查全校學生平均每天的自習時間，該教師調查了60位學生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習時間是3.5小時，這里的總體是全校學生平均每天的自習時間.故選：B.11、D【解析】利用數(shù)列前幾項排除A、B、C，即可得解；【詳解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母為奇數(shù)列，分子為，故數(shù)列的通項公式可以為，故選：D12、C【解析】由導數(shù)的運算法則、復合函數(shù)的求導法則計算后可判斷【詳解】A：；B：；C：；D：故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①；②..【解析】設第n個三角形的邊長為，進而根據(jù)題意求出，然后根據(jù)等面積法求出，再求出；設n個半徑為的圓的面積為并求出，進而運用錯位相減法求得答案.【詳解】如示意圖1，設第n個三角形的邊長為，易得，則是以6為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.如示意圖2，易得：，，所以，所以.設n個半徑為的圓的面積為，則，記所有圓的面積之和為，則，所以，兩式相減得：，即.故答案為：；.14、【解析】代入，展開整理得，①化為，與①式相加得，轉化為關于的方程，求解即可得出結論.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡求值，屬于中檔題.15、①.81②.【解析】根據(jù)數(shù)列的構造寫出前面幾次得到的新數(shù)列，尋找規(guī)律，構造等比數(shù)列，求出通項公式，再進行求和.【詳解】第1次得到數(shù)列1，3，2，此時；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，此時；第3次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時；第4次得到數(shù)列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時，故81，且故，又，所以數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，故，所以故答案為：81，16、【解析】曲線圍成的圖形關于軸，軸對稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關于關于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可.當，時，曲線可化為：，在第一象限為弓形，其面積為，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意得，，進而解方程即可得答案；（2）根據(jù)題意設直線的方程，，，進而，再聯(lián)立方程，結合韋達定理求解即可.【小問1詳解】解：因為橢圓C：的離心率為，所以，因為橢圓上的點到左焦點最近的距離為，所以所以，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】解：根據(jù)題意，設直線的方程，，設，聯(lián)立方程得，所以，解得或.，所以的面積為令，則,當且僅當，即時，等號成立.所以當?shù)拿娣e取得最大值時，直線的方程為.18、（1）（2）（3）【解析】（1）由可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得；（3）利用奇偶分組法，結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得.【小問1詳解】解：當時，，可得，當時，由可得，上述兩個等式作差得，可得，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】解：，所以，，所以，，上述兩個等式作差得，因此，.【小問3詳解】解：由題意可得，，所以，.19、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）應用向量垂直的坐標表示得x2+3y2=3，即可寫出M的軌跡C的方程；（2）由直線與曲線C交于不同的兩點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，設直線y=kx+m(k≠0)，聯(lián)立方程整理所得方程有，且由根與系數(shù)關系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N為PQ的中點結合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量關系，結合即可求m的范圍.【詳解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即點M(x,y)的軌跡C的方程為+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=.設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，線段PQ的中點N(x0,y0)，則.∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，設kAN表示直線AN的斜率，又k≠0，∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1②，而3k2>0，有m>.將②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，∴m的取值范圍為.【點睛】思路點睛：1、由向量垂直，結合其坐標表示得到關于x，y的方程，寫出曲線C的標準方程即可.2、由直線與曲線C相交，聯(lián)立方程有，由|AP|=|AQ|得直線的垂直關系，即斜率之積為-1，進而可求參數(shù)的范圍.20、（1）（2）【解析】（1）先求得直線和直線的交點坐標，再用點斜式求得直線的方程.（2）設圓的標準方程為，根據(jù)已知條件列方程組，求得，由此求得圓的標準方程.【小問1詳解】.直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.【小問2詳解】設圓的標準方程為，則，所以圓的標準方程為.21、（1）證明見解析.（2）2－.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，得到，推出，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）先由（1）求出，即bn＝，再錯位相減法，即可求出數(shù)列的和.【小問1詳解】（1）證明：因為an＋1＝，所