北京東城區(qū)北京匯文中學2023-2024學年高二數學第一學期期末質量檢測試題含解析

北京東城區(qū)北京匯文中學2023-2024學年高二數學第一學期期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點，傾斜角為的直線l過點E，且與橢圓交于A，B兩點，則的周長為A.10 B.12C.16 D.202．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，左焦點、右頂點和下頂點分別為，坐標原點到直線的距離為，則的面積為（）A. B.4C. D.3．已知橢圓C：（）的長軸的長為4，焦距為2，則C的方程為（）A B.C. D.4．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準線交于點，若，則的斜率為（）A. B.C. D.5．若方程表示圓，則實數m的取值范圍為（）A B.C. D.6．設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.7．在空間四邊形中，，，，且，則（）A. B.C. D.8．設分別是橢圓的左、右焦點，P是C上的點，則的周長為（）A.13 B.16C.20 D.9．中國農歷的二十四節(jié)氣是中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結晶，二十四節(jié)氣歌是以春、夏、秋、冬開始的四句詩.在國際氣象界，二十四節(jié)氣被譽為“中國的第五大發(fā)明”.2016年11月30日，二十四節(jié)氣被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄.某小學三年級共有學生600名，隨機抽查100名學生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出一句的有45人，能說出兩句及以上的有38人，據此估計該校三年級的600名學生中，對二十四節(jié)氣歌一句也說不出的有（）A.17人 B.83人C.102人 D.115人10．在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線11．某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4個月的患?。ǜ忻埃┤藬蹬c當月平均氣溫，其數據如下表：月平均氣溫x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中數據算出線性回歸方程中的，氣象部門預測下個月的平均氣溫約為9℃，據此估計該社區(qū)下個月老年人與兒童患病人數約為（）A.38 B.40C.46 D.5812．設變量，滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.6C.10 D.13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知與所在平面垂直，且，，，點P、Q分別在線段BD、CD上，沿直線PQ將向上翻折，使D與A重合．則直線AP與平面ACQ所成角的正弦值為______14．在數列中，若，則該數列的通項公式__________15．將一枚質地均勻的骰子，先后拋擲次，則出現(xiàn)向上的點數之和為的概率是________.16．函數的圖象在處的切線方程為，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足（1）證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和18．（12分）在等差數列中，，前10項和（1）求列通項公式；（2）若數列是首項為1，公比為2的等比數列，求的前8項和19．（12分）在等差數列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.(1)求數列{an}的通項公式an；(2)求數列的前n項和Sn的最大值及相應的n值20．（12分）在中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.21．（12分）已知橢圓長軸長為4，A，B分別為左、右頂點，P為橢圓上不同于A，B的動點，且點在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的標準方程；（2）直線AP與直線（m為常數）交于點Q，①當時，設直線OQ的斜率為，直線BP的斜率為．求證：為定值；②過Q與PB垂直的直線l是否過定點？如果是，請求出定點坐標；如果不是，請說明理由22．（10分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與交于不同的兩點，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長，，所以：周長，由橢圓的第一定義，，所以，周長故選D【點睛】本題考查橢圓簡單性質的應用，橢圓的定義的應用，三角形的周長的求法，屬于基本知識的考查2、C【解析】設，根據題意，可知的方程為直線，根據原點到直線的距離建立方程，求出，進而求出，的值，以及到直線的距離，再根據面積公式，即可求出結果.【詳解】設，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點到直線的距離為，所以，即，；所以直線的方程為，所以到直線的距離為；又，所以的面積為.故選：C.3、D【解析】由題設可得求出橢圓參數，即可得方程.【詳解】由題設，知：，可得，則，∴C的方程為.故選：D.4、C【解析】設直線的方程為，其中，設點、、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出、，根據條件可求得的值，即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點為，設直線的方程為，其中，設點、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因為，則，因為，解得，因此，直線的斜率為.故選：C.5、D【解析】根據，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實數m的取值范圍為.故選：D6、C【解析】利用導函數的圖象，判斷導函數的符號，得到函數的單調性以及函數的極值點，然后判斷選項即可【詳解】解：由題意可知：和時，，函數是增函數，時，，函數是減函數；是函數的極大值點，是函數的極小值點；所以函數的圖象只能是故選：C7、A【解析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】..故選:A.8、B【解析】利用橢圓的定義及即可得到答案.【詳解】由橢圓的定義，，焦距，所以的周長為.故選：B9、C【解析】根據頻率計算出正確答案.【詳解】一句也說不出的學生頻率為，所以估計名學生中，一句也說不出的有人.故選：C10、A【解析】首先建立平面直角坐標系，然后結合數量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設，以AB中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，設，可得：，從而：，結合題意可得：，整理可得：，即點C的軌跡是以AB中點為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數量積的坐標運算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.11、B【解析】由表格數據求樣本中心，根據線性回歸方程過樣本中心點，將點代入方程求參數，寫出回歸方程，進而估計下個月老年人與兒童患病人數.【詳解】由表格得為，由回歸方程中的，∴，解得，即，當時，.故選：B.12、C【解析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，將變形為，可得需要截距最小，觀察圖象，可得過點時截距最小，求出點A坐標，代入目標式即可.【詳解】解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分：又，即，要取最大值，則在軸上截距要最小，觀察圖象可得過點時截距最小，由，得，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】取的中點，的中點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，根據求出，再由空間向量的數量積即可求解.【詳解】取的中點，的中點，如圖以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，，，由，即，解得，所以，故，設為平面ACQ的一個法向量，因為，，由，即，所以，設直線AP與平面ACQ所成角為，則.故答案為：14、【解析】由已知可得數列是以為首項，3為公比的等比數列，結合等比數列通項公式即可得解.【詳解】解：由在數列中，若，則數列是以為首項，為公比的等比數列，由等比數列通項公式可得，故答案為：.【點睛】本題考查了等比數列通項公式的求法，重點考查了運算能力，屬基礎題.15、【解析】將向上的點數記作，先計算出所有的基本事件數，并列舉出事件“出現(xiàn)向上的點數之和為”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】將骰子先后拋擲次，出現(xiàn)向上的點數記作，則基本事件數為，向上的點數之和為這一事件記為，則事件所包含的基本事件有：、、，共個基本事件，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算概率，解題時一般要列舉出相應的基本事件，遵循不重不漏的基本原則，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解析】根據導數的幾何意義可得，根據切點在切線上可得.【詳解】因為切線的斜率為，所以，又切點在切線上，所以，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）由得是公差為2的等差數列，再由可得答案.（2）,分為奇數、偶數，分組求和即可求解.【小問1詳解】由，得，故是公差為2的等差數列，故，由，故，于是.【小問2詳解】依題意，，當為偶數時，故，當為奇數時，，綜上，.18、（1）；（2）347.【解析】（1）設等差數列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項和為19、（1）；（2）當或11時，最大值為55.【解析】（1）根據等差數列的通項公式得方程組，解這個方程組得公差和首項，從而得數列的通項公式n.（2）等差數列的前項和是關于的二次式，將這個二次式配方即可得最大值.【詳解】（1）由題設，故（舍，此時）或.故，故.（2）由（1）可得，因為，對稱方程為，故當或時，取最大值，此時最大值為.20、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問2詳解】由余弦定理得，即，所以，當且僅當，取“=”，所以面積的最大值為21、（1）（2）①證明見解析；②直線過定點；【解析】（1）依題意得到方程組，解得，即可求出橢圓方程；（2）①由（1）可得，，設，，表示出直線的方程，即可求出點坐標，從而得到、，即可求出；②在直線方程中令，即可得到的坐標，再求出直線的斜率，即可得到直線的方程，從而求出定點坐標；【小問1詳解】解：依題意可得，即，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為【小問2詳解】解：①由（1）可得，，設，，則直線的方程為，令則，所以，，所以，又點在橢圓上，所以，即，所以，即為定值；②因為直線的方程為，令則，因為，所以，所