福建省廈門市第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

福建省廈門市第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.2．下列命題中正確的是（）A.函數(shù)最小值為2.B.函數(shù)的最小值為2.C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的最大值為3．過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.4．設(shè)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.C. D.95．若拋物線與直線：相交于兩點(diǎn)，則弦的長為（）A.6 B.8C. D.6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入t的取值范圍為，則輸出s的取值范圍為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.8．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.9．等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A.8 B.10C.12 D.1410．中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.11．已知命題,，則A.， B.，C.， D.，12．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.9C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次實(shí)驗(yàn)得到如下7組數(shù)據(jù)，通過判斷知道與具有線性相關(guān)性，其線性回歸方程為，則______.（參考公式：）12345676.06.26.36.46.46.76.814．已知一組樣本數(shù)據(jù)5、6、a、6、8的極差為5，若，則其方差為________.15．從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中，選出2位同學(xué)分別擔(dān)任正、副班長的選法數(shù)可以用表示為____________.16．如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐的棱AD，BC的中點(diǎn)，，，，則異面直線AB與EF所成的角為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，①求；②若不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.19．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值20．（12分）在如圖三角形數(shù)陣中第n行有n個(gè)數(shù)，表示第i行第j個(gè)數(shù)，例如，表示第4行第3個(gè)數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，從第三行起每一行的數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中).已知.（1）求m及；（2）記，求.21．（12分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，且過點(diǎn).（1）求雙曲線漸近線方程；（2）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.22．（10分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意結(jié)合圖形，直接利用，求出，然后即可解答.【詳解】解：因?yàn)榭臻g四邊形OABC如圖，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，所以.所以.故選：B.2、D【解析】根據(jù)基本不等式知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，時(shí)為負(fù)值，故A錯(cuò)誤對(duì)于B，，而無解，無法取等，故B錯(cuò)誤對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故，D正確，C錯(cuò)誤故選：D3、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A4、B【解析】由雙曲線的的定義可得，于是將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，由得出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的由焦點(diǎn)為，且點(diǎn)A在雙曲線的兩支之間.由雙曲線的定義可得,即所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào).故選：B5、B【解析】由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線上，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求解.【詳解】解：由題得.由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線上，設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程得,所以.所以.故選：B6、A【解析】由程序圖可得，，再分段求解函數(shù)的值域，即可求解【詳解】由程序圖可得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述，的取值范圍為，故選：A7、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像自左至右是先減后增，可知函數(shù)y＝f(x)圖像的切線的斜率自左至右先減小后增大，且，在處的切線的斜率為0，故BCD錯(cuò)誤，A正確.故選：A.8、B【解析】由題設(shè)可得，又，易知，，將問題轉(zhuǎn)化為平面點(diǎn)線距離關(guān)系：向量的終點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點(diǎn)時(shí)，使最小，又，∴當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)，最小為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知確定，，構(gòu)成等邊三角形，即可將問題轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到射線的距離最短問題.9、C【解析】假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).10、A【解析】由題得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A11、A【解析】根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關(guān)系，即可求解，得到答案【詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題,，則，，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有一個(gè)量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】根據(jù)，將式子化為，進(jìn)而化簡(jiǎn)，然后結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9##【解析】求得樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線，即可求得.詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得：故，解得.故答案為：.14、2【解析】根據(jù)極差的定義可求得a的值，再根據(jù)方差公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)的極差為5，，所以，解得.因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的方差為故答案為：.15、【解析】由題意知：從4為同學(xué)中選出2位進(jìn)行排列，即可寫出表示方式.【詳解】1、從4位同學(xué)選出2位同學(xué)，2、把所選出的2位同學(xué)任意安排為正、副班長，∴選法數(shù)為.故答案為：.16、【解析】取的中點(diǎn)，連結(jié)，由分別為的中點(diǎn)，可得(或其補(bǔ)角)為異面直線AB與EF所成的角，在求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連結(jié)由分別為的中點(diǎn)，則所以(或其補(bǔ)角)為異面直線AB與EF所成的角由分別是的中點(diǎn),則，又在中,，則所以,又，所以在直角中，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）①；②【解析】（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）①由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；②利用作差法證明的單調(diào)性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；【小問1詳解】證明：由，，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，所以，所以，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，所以【小問2詳解】解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以整理得②由①知，所以，即單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的正整數(shù)n恒成立，所以，即，解得或，即18、（1）；（2）存在，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)以及平面的一個(gè)法向量，計(jì)算即可求解；（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)符合題意，設(shè)可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【詳解】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，.不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量,則有，即，取.設(shè)直線與平面所成的角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值.設(shè)，則,從而，，.設(shè)平面的法向量,則有，即，取.設(shè)平面的法向量,則有，即，取.,解得：或（舍）,故存在點(diǎn)滿足條件，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【點(diǎn)睛】求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由題意知，因?yàn)辄c(diǎn)A、D分別為MB、MC中點(diǎn)，所以，又，所以，所以.因?yàn)?，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】因?yàn)?，，，所以兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，設(shè)直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.20、（1），；（2）【解析】（1）根據(jù)題意以m表示出，由即可求出，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再利用錯(cuò)位相減法即可求出.【詳解】（1）由已知得，，，，，即，又，，，；（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，又，，滿足，，，兩式相減得，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.21、（1）（2）【解析】（1）將已知點(diǎn)代入雙曲線方程，然后可得；（2）由雙曲線右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同可解.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以所以，得又因?yàn)?，所以所以雙曲線的漸近線方程【小問2詳解】由（1）得所以所以雙曲線的右焦點(diǎn)是所以拋物線的焦點(diǎn)是所以，所以所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程22、