2024屆新教材一輪復(fù)習(xí)北師大版 　等差數(shù)列及其前n項和 課件（36張）

第2節(jié)等差數(shù)列及其前n項和考綱展示1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.積累必備知識提升關(guān)鍵能力培育學(xué)科素養(yǎng)備選例題積累必備知識知識梳理1.等差數(shù)列的相關(guān)概念(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的

都等于

常數(shù),那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列.符號表示為

(n≥2,n∈N*,d為常數(shù)).差同一個an-an-1=d(2)等差中項:若a,A,b成等差數(shù)列,則A叫作a與b的等差中項,且A=

.2.等差數(shù)列的通項公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1,公差為d,則其通項公式為an=

.(2)通項的推廣:an=am+

d.a1+(n-1)d(n-m)3.等差數(shù)列的前n項和公式(1)已知等差數(shù)列{an}的首項a1和第n項an,則其前n項和公式Sn=

.(2)已知等差數(shù)列{an}的首項a1與公差d,則其前n項和公式Sn=

.4.等差數(shù)列{an}的性質(zhì)(1)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq(其中m,n,p,q∈N*),特別地,若p+q=2m,則ap+aq=

(p,q,m∈N*).(2)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列.(3)若下標(biāo)成等差數(shù)列,則相應(yīng)的項也成等差數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)成等差數(shù)列.(4)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S2n-1=(2n-1)an.2am5.等差數(shù)列的增減性與最值公差d>0時為遞

數(shù)列,且當(dāng)a1<0時,前n項和Sn有最

值;公差d<0時為遞

數(shù)列,且當(dāng)a1>0時,前n項和Sn有最

值.6.等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果設(shè)p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常數(shù).當(dāng)p≠0時,(n,an)在一次函數(shù)y=px+q的圖像上,即公差不為零的等差數(shù)列的圖像是直線y=px+q上的均勻排開的一群孤立的點.當(dāng)p=0時,an=q,等差數(shù)列為常數(shù)列,此時數(shù)列的圖像是平行于x軸的直線(或x軸)上的均勻排開的一群孤立的點.增小減大重要結(jié)論(1)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列,且公差為p.(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).(3)等差數(shù)列{an}中,若am=n,an=m,則am+n=0.(4)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm=Sn(m≠n),則Sm+n=0.(5)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm=n,Sn=m,則Sm+n=-(m+n).基礎(chǔ)自測1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(

)×(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(

)(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其前n項和公式為n的二次函數(shù).(

)(5)數(shù)列{an}滿足an+1-an=n,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(

)(6)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).(

)√√×××B2.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,若a6=2,且S5=30,則S8等于(

)A.31 B.32 C.33 D.343.在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,則a2+a8=

.

解析:由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,所以a5=90,所以a2+a8=2a5=180.答案:1805.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=16,a6=10,則公差d=

,Sn取到最大值時的n的值為

.

答案:-2

10或11考點一等差數(shù)列的基本運算提升關(guān)鍵能力題組過關(guān)1.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4=0,a5=5,則(

)2.(2021·四川遂寧高三三模)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a3=8,a2+a4=14,則它的前8項和S8等于(

)A.70 B.82 C.92 D.1053.(2021·浙江寧波高三模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a5≤4,S5≥40,則該數(shù)列的公差d可取的值是(

)A.3 B.1 C.-1 D.-3反思?xì)w納等差數(shù)列運算問題的通性通法(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.(3)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用,而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量,用它們表示已知量和未知量是常用方法.考點二等差數(shù)列的判定與證明(2)求數(shù)列{an}的通項公式.[典例遷移1]本例條件不變,判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明理由.反思?xì)w納等差數(shù)列的四個判定方法(1)定義法:證明對任意正整數(shù)n,都有an+1-an等于同一個常數(shù).(2)等差中項法:證明對任意正整數(shù)n,都有2an+1=an+an+2.(3)通項公式法:得出an=pn+q后,再根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(4)前n項和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.考點三等差數(shù)列的性質(zhì)角度一等差數(shù)列項的性質(zhì)[例2](2021·浙江臺州高二上期初)在等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,若a2+a6+a7=27,則S9的值為(

)A.36 B.45 C.72 D.81解析:因為a2+a6+a7=a4+a6+a5=2a5+a5=3a5=27,所以S9=9a5=81.故選D.反思?xì)w納[對點訓(xùn)練1]在等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,則a2+a14的值為(

)A.6 B.12 C.24 D.48解析:因為在等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,由等差數(shù)列的性質(zhì),a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,所以a2+a14=2a8=48.故選D.角度二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)[例3]一個正項等差數(shù)列前n項和為3,前3n項和為21,則前2n項和為(

)A.18 B.12 C.10 D.6解析:因為{an}是等差數(shù)列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列,即2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n),因為Sn=3,S3n=21,所以2(S2n-3)=3+21-S2n,解得S2n=10.故選C.反思?xì)w納[對點訓(xùn)練2]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于(

)A.63 B.45 C.36 D.27解析:由{an}是等差數(shù)列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45,即a7+a8+a9=45.故選B.[例4]在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值.考點四等差數(shù)列的前n項和及其最值反思?xì)w納求等差數(shù)列前n項和Sn的最值的常用方法(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式Sn=an2+bn(a≠0),通過配方或借助圖像求二次函數(shù)的最值.(2)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項,進(jìn)而求Sn的最值.A.14 B.15 C.16 D.17(2)在等差數(shù)列{an}中,a1=29,S10=S20,則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為(

)A.S15 B.S16C.S15或S16 D.S17培育學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)文化——等差數(shù)列在古代文化中的應(yīng)用高考在考查等差數(shù)列的定義及性質(zhì)時,以我國古代文化為背景,將美育教育融入數(shù)學(xué)之中,激發(fā)考生對中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的喜愛.[典例](2021·江蘇南通高三模擬)《張丘建算經(jīng)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)著作,現(xiàn)傳本有92問,比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算、各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等.書中記載如下問題:“今有女子善織,日增等尺,初日織五尺,三十日共織390尺,問日增幾何?”那么此女子每日織布增長(

)試題情境:生活實踐情境必備知