甘肅省臨洮縣第二中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

甘肅省臨洮縣第二中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，-些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物.曲線C：為四葉玫瑰線.①方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限；②曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過2；③曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于4π；④曲線C上有5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).則上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.42．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，則（）A. B.C. D.以上都不對3．如圖所示，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.4．小王與小張二人參加某射擊比賽預(yù)賽的五次測試成績?nèi)缦卤硭?，設(shè)小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和，方差分別為和，則（）第一次第二次第三次第四次第五次小王得分（環(huán)）910579小張得分（環(huán)）67557A. B.C. D.5．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形6．已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)的取值為（）A或3 B.C. D.1或7．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.8．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.9．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.510．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動點(diǎn)P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值是（）A. B.2C. D.11．在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.12．長方體中，，，，為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，且滿足，則四棱錐體積的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則_____________14．已知集合，，將中的所有元素按從大到小的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為___________.15．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.16．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，P是C上一點(diǎn)，若|PF|＝5，則|PM|＝__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）填寫函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)單調(diào)性性質(zhì)（2）通過（1）繪制出函數(shù)的圖像，并討論方程解的個(gè)數(shù)18．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值19．（12分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝－，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.20．（12分）已知等差數(shù)列的前和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）現(xiàn)由數(shù)列與按照下列方式構(gòu)造成新的數(shù)列①將數(shù)列中的項(xiàng)去掉數(shù)列中的項(xiàng)，按原來的順序構(gòu)成新數(shù)列；②數(shù)列與中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合與，將集合中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列;在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)做為已知條件，求數(shù)列的前30項(xiàng)和.21．（12分）已知函數(shù).(I)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值；(II)若,求的單調(diào)區(qū)間.22．（10分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】對于①，由判斷，對于②，利用基本不等式可判斷，對于③，以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線圍成的面積進(jìn)行比較即可，對于④，將和聯(lián)立，求解出兩曲線的切點(diǎn)，從而可判斷【詳解】對于①，由，得異號，方程(xy<0)關(guān)于原點(diǎn)及y=x對稱，所以方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限，所以①正確，對于②，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以由曲線的對稱性可知曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過2，所以②正確，對于③，由②可知曲線C上到原點(diǎn)的距離不超過2，而以為圓心，2為半徑的圓的面積為，所以曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積小于4π，所以③錯誤，對于④，將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線C相切于點(diǎn)，，，，而點(diǎn)（1，1）不滿足曲線方程，所以曲線在第一象限不經(jīng)過任何整數(shù)點(diǎn)，由曲線的對稱性可知曲線在其它象限也不經(jīng)過任何整數(shù)點(diǎn)，所以曲線C上只有1個(gè)整點(diǎn)（0，0），所以④錯誤，故選：B2、B【解析】根據(jù)極限的定義計(jì)算【詳解】由題意故選：B3、A【解析】分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，,設(shè)，推出；根據(jù)，進(jìn)而推導(dǎo)出，結(jié)合拋物線定義求出；最后由相似比推導(dǎo)出，即可求出拋物線的方程.【詳解】如圖分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，,設(shè)與交于點(diǎn).設(shè)，,，由拋物線定義得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以拋物線的方程為.故選：A4、C【解析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解：從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張，但是小王成績波動比較大，故設(shè)小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和，方差分別為和.可知故選：C5、B【解析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B6、B【解析】利用兩直線平行的等價(jià)條件求得實(shí)數(shù)m的值.【詳解】∵兩條直線x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故選B【點(diǎn)睛】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時(shí)，記住以下結(jié)論，可避免討論：已知，，則，7、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C.當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D，故選：B8、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A9、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，化簡得，，解得或（舍去），故選：B10、C【解析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程，探求點(diǎn)P與直線AB的最大距離即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡整理得：，因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，與點(diǎn)A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)P到直線(軸)的距離最大時(shí)，的面積最大，顯然，點(diǎn)P到軸的最大距離為，此時(shí)，，所以面積的最大值是故選：C11、D【解析】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，由線面垂直判定可知平面，則所求角即為，由長度關(guān)系求得即可.【詳解】在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接.，，，平面，平面，的正弦值即為所求角的正弦值，，，.故選：D.12、D【解析】取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，求出橢圓的方程，可知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與棱或的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離取最小值，由此可求得四棱錐體積的最小值.【詳解】取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，，則、，因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，，同理可得，所以，，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且長軸長為的橢圓的一部分，則，，，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)點(diǎn)為曲線與棱或棱的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離取最小值，將代入方程得，因此，四棱錐體積的最小值為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##31.5【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，又，所以，所以.故答案為：14、【解析】由題意設(shè)，，根據(jù)可得，從而，即可得出答案.【詳解】設(shè)，由，得，由，得中的元素滿足，即，可得所以，由,所以所以，要使得數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值，即求出數(shù)列中所以滿足的項(xiàng)的和即可.即，得，則所以數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為故答案為：147215、【解析】，，利用橢圓的定義、結(jié)合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結(jié)果【詳解】橢圓，可得，設(shè)，，可得，化簡可得：，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.16、【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)及拋物線方程可求坐標(biāo)，進(jìn)而得解.【詳解】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由題意可得，設(shè)，有拋物線的性質(zhì)可得：，解得x＝4，代入拋物線的方程可得，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)；（2）由函數(shù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，并將方程轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問1詳解】函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是函數(shù)的最大值，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域是，，得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是，定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)單調(diào)性性質(zhì)單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間【小問2詳解】函數(shù)的圖象如圖，，即，方程解的個(gè)數(shù)，即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，無交點(diǎn)，即方程無實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）取的中點(diǎn)M，連接，以B為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】解：取的中點(diǎn)E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問2詳解】解：取的中點(diǎn)M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，有，有，故平面與平面所成二面角的正弦值為19、（1）證明見解析.（2）2－.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，得到，推出，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）先由（1）求出，即bn＝，再錯位相減法，即可求出數(shù)列的和.【小問1詳解】（1）證明：因?yàn)閍n＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝－＝，又a1－≠0，所以數(shù)列為以－＝為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可得＝＋，所以bn＝，所以Sn＝＋＋＋…＋，①所以Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋…＋－＝－，解得Sn＝2－.20、（1），（2）答案見解析【解析】（1）由題意可直接得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；求出等差數(shù)列的公差，即可得到其通項(xiàng)公式；（2）若選①，則可確定由數(shù)列前33項(xiàng)的和減去，即可得答案；若選②，則可確定由數(shù)列前27項(xiàng)的和加上，即可得答案.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，所以.又因，所以，又，則，故等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，而若選①因?yàn)樵跀?shù)列前30項(xiàng)內(nèi)，不在在數(shù)列前30項(xiàng)內(nèi).，則數(shù)列前30項(xiàng)和為：=1632.若選②因?yàn)樵跀?shù)列前30項(xiàng)內(nèi)，不在在數(shù)列前30項(xiàng)內(nèi).，則數(shù)列前30項(xiàng)和為：=1203.21、（Ⅰ）（Ⅱ）在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減【