廣東省廣州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

廣東省廣州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．漸近線(xiàn)方程為的雙曲線(xiàn)的離心率是（）A.1 B.C. D.22．已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)P在橢圓上，如果線(xiàn)段的中點(diǎn)在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：33．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B.C. D.4．在空間中，“直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線(xiàn)與異面”的（）A.必要不充分條件 B.充要條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件5．某市統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布了2017年至2020年該市政府部門(mén)網(wǎng)站的每年的兩項(xiàng)訪(fǎng)問(wèn)量，數(shù)據(jù)如下：年度項(xiàng)目2017年2018年2019年2020年獨(dú)立用戶(hù)訪(fǎng)問(wèn)總量（單位：個(gè)）2512573924400060989網(wǎng)站總訪(fǎng)問(wèn)量（單位：次）23435370348194783219288下列表述中錯(cuò)誤的是（）A.2017年至2018年，兩項(xiàng)訪(fǎng)問(wèn)量都增長(zhǎng)幅度較大；B.2018年至2019年，兩項(xiàng)訪(fǎng)問(wèn)量都有所回落；C.2019年至2020年，兩項(xiàng)訪(fǎng)問(wèn)量都又有所增長(zhǎng)；D.從數(shù)據(jù)可以看出，該市政府部門(mén)網(wǎng)站的兩項(xiàng)訪(fǎng)問(wèn)量都呈逐年增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)6．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，，，，則異面直線(xiàn)CD與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．已知圓的方程為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則實(shí)數(shù)a的值為（）A B.C.2 D.9．設(shè)函數(shù)，則（）A.1 B.5C. D.010．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.11．已知，則“”是“直線(xiàn)與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．，則與分別為（）A.與 B.與C.與0 D.0與二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則______；若OM垂直AB于點(diǎn)M，且為定值，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_________.14．直線(xiàn)的傾斜角為_(kāi)_____15．設(shè)等差數(shù)列，前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意自然數(shù)都有，則的值為_(kāi)_____.16．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為（1）求橢圓方程；（2）設(shè)過(guò)橢圓頂點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列，求的值18．（12分）撫州市為了了解學(xué)生的體能情況，從全市所有高一學(xué)生中按80：1的比例隨機(jī)抽取200人進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，分為組畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)一，二兩組數(shù)據(jù)丟失，但知道第二組的頻率是第一組的3倍（1）若次數(shù)在以上含次為優(yōu)秀，試估計(jì)全市高一學(xué)生的優(yōu)秀率是多少？全市優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)約為多少？（2）求第一組、第二小組的頻率是多少？并補(bǔ)齊頻率分布直方圖；（3）估計(jì)該全市高一學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)？19．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）已知橢圓C：（）過(guò)點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)（）的直線(xiàn)l（不與x軸重合）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AC與x軸交于點(diǎn)Q，試問(wèn)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)方程；（2）若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，且，求證：過(guò)定點(diǎn).22．（10分）在①，；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.問(wèn)題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程可確定a,b的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)近線(xiàn)方程為，故雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，則a=b,故離心率為，則，故選：B.2、A【解析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上,求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，因?yàn)榫€(xiàn)段中點(diǎn)在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.3、B【解析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可求導(dǎo).【詳解】，故選：B.4、A【解析】由于在空間中，若直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與平行或異面，再根據(jù)充分、必要條件的概念判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】在空間中，若直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與平行或異面.故“直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線(xiàn)與異面”的必要不充分條件.故選：A.5、D【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤即可.【詳解】A：2017年至2018年，兩項(xiàng)訪(fǎng)問(wèn)量分別增長(zhǎng)、，顯然增長(zhǎng)幅度相較于后兩年是最大的，正確；B：2018年至2019年，兩項(xiàng)訪(fǎng)問(wèn)量相較于2017年至2018年都有回落，正確；C：2019年至2020年，兩項(xiàng)訪(fǎng)問(wèn)量分別增長(zhǎng)、，正確；D：由B分析知，該市政府部門(mén)網(wǎng)站的兩項(xiàng)訪(fǎng)問(wèn)量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，錯(cuò)誤.故選：D.6、A【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.運(yùn)用異面直線(xiàn)的空間向量求解方法，可求得答案.【詳解】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，，，則，，所以.又因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角的范圍為，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：A.7、C【解析】根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握方程表示圓的條件是解題關(guān)鍵.8、D【解析】由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程結(jié)合已知可得.【詳解】雙曲線(xiàn)方程為所以漸近線(xiàn)為，故，解得：.故選：D9、B【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.10、B【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以.故選：B11、A【解析】首先由兩直線(xiàn)平行的充要條件求出參數(shù)的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與平行，所以，解得或，所以“”是“直線(xiàn)與平行”的充分不必要條件.故選：A.12、C【解析】利用正弦函數(shù)和常數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.-24②.【解析】由拋物線(xiàn)的方程及數(shù)量積的運(yùn)算可求出，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出，由圓的定義求出圓心即可.【詳解】由，即解得或（舍去）.設(shè)直線(xiàn)AB的方程為.由，消去x并整理得,.又，，直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)N(6,0),OM垂直AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M在以O(shè)N為直徑圓上.|MQ|為定值，點(diǎn)Q為該圓的圓心，又即Q(3,0).故答案為：；14、【解析】把直線(xiàn)方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出【詳解】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為由直線(xiàn)化為，故，又，故，故答案為【點(diǎn)睛】一般地，如果直線(xiàn)方程的一般式為，那么直線(xiàn)的斜率為，且，其中為直線(xiàn)的傾斜角，注意它的范圍是15、【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：．再利用已知即可得出【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：對(duì)于任意的都有，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題16、【解析】，，利用橢圓的定義、結(jié)合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結(jié)果【詳解】橢圓，可得，設(shè)，，可得，化簡(jiǎn)可得：，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為，離心率為結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于的方程組，求出從而求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，代入橢圓方程，求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，即可求解【詳解】（1）由已知，，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為，由，得，所以，所以，依題意，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，解得，所以，當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛（1）求橢圓方程的常用方法：①待定系數(shù)法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法（2）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，常將直線(xiàn)方程代入圓錐曲線(xiàn)方程，從而得到關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)），利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)的關(guān)系,同時(shí)注意判別式大于零求出參數(shù)的范圍（或者得到關(guān)于參數(shù)的不等關(guān)系），然后將所求轉(zhuǎn)化到參數(shù)上來(lái)再求解．如本題及，聯(lián)立即可求解．注意圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中，常參數(shù)多、字母多、運(yùn)算繁瑣，應(yīng)注意設(shè)而不求的思想、整體思想的應(yīng)用．屬于中檔題.18、（1）8640；（2）第一組頻率為，第二組頻率為．頻率分布直方圖見(jiàn)解析；（3）中位數(shù)為，均值為121.9【解析】（1）求出優(yōu)秀的頻率，計(jì)算出抽取的人員中優(yōu)秀學(xué)生數(shù)后可得全體優(yōu)秀學(xué)生數(shù)；（2）由頻率和為1求得第一組、第二組頻率，然后可補(bǔ)齊頻率分布直方圖；（3）在頻率分布直方圖中計(jì)算出頻率對(duì)應(yīng)的值即為中位數(shù)，用各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值乘以頻率后相加得均值【詳解】（1）由頻率分布直方圖，分?jǐn)?shù)在120分以上的頻率為，因此優(yōu)秀學(xué)生有（人）；（2）設(shè)第一組頻率為，則第二組頻率為，所以，，第一組頻率為，第二組頻率為頻率分布直方圖如下：（3）前3組數(shù)據(jù)的頻率和為，中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為，則，均值為19、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，利用基本量代換列方程組求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的首項(xiàng)和公比，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法直接求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由已知得：，即，又，解得或（舍去），所以.，又，，，；【小問(wèn)2詳解】，.20、（1）（2）為定值【解析】（1）由題意可得解方程組求出，從而可得橢圓方程，（2）設(shè)直線(xiàn)AB：，，代入橢圓方程，消去，利用根與系數(shù)關(guān)系，再表示出直線(xiàn)AC的方程，從而可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而可表示出，然后化簡(jiǎn)可得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】由題意得解得故橢圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)AB：，，聯(lián)立消去y得，設(shè)，，得，，因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以，所以直線(xiàn)AC的斜率為，直線(xiàn)AC的方程，令，解得可得，所以，因?yàn)椋?，所以為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線(xiàn)AB的方程代入橢圓方程中化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知條件表示出直線(xiàn)AC的方程，從而可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）運(yùn)用代入法直接求解即可；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由已知可得：；【小問(wèn)2詳解】的斜率不為設(shè)，，∴OA→?因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，所以，即過(guò)定點(diǎn)