高數(shù)數(shù)學(xué)第二章1導(dǎo)數(shù)概念

導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)意義的解釋四、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)一物體自由下落的距離是時(shí)間的函數(shù)1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度一、引例如圖,取極限得:2.切線問題割線的極限位置——切線位置曲線在M

點(diǎn)處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí))切線MT的斜率割線MN

的斜率兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限

.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,

在點(diǎn)處可導(dǎo),

在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).二、導(dǎo)數(shù)的定義若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說函數(shù)就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟:例1解即例2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即或原式是否可按下述方法作:例4.

證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).

證:不存在,

例5.設(shè)存在,求極限解:

原式1.幾何意義切線方程為法線方程為三、導(dǎo)數(shù)意義的解釋2.物理意義非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線運(yùn)動(dòng):路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度.交流電路:電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.非均勻的物體:質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)為物體的線(面,體)密度.在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)定義2.

設(shè)函數(shù)有定義,存在,四、單側(cè)導(dǎo)數(shù)定理1.

函數(shù)在點(diǎn)且可導(dǎo)的充分必要條件是定理2證:

設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).即五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)的關(guān)系連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例0例如,★例如,例如,011/π－1/π例6解小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):改變量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;

物理意義：瞬時(shí)速度；4.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考與練習(xí)1.

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)2.

設(shè)存在,則3.

已知?jiǎng)t4.

若時(shí),恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且5.

設(shè),問a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).解:

因?yàn)?.

設(shè)存在