河北省邢臺(tái)市巨鹿縣二中2023年高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

河北省邢臺(tái)市巨鹿縣二中2023年高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是A. B.C. D.2．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點(diǎn)，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.3．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．點(diǎn)分別為橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓與兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.32 B.16C.8 D.46．某公司門前有一排9個(gè)車位的停車場(chǎng)，從左往右數(shù)第三個(gè)，第七個(gè)車位分別停著A車和B車，同時(shí)進(jìn)來C，D兩車．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車相鄰的概率是（）A. B.C. D.7．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.8．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全班學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間內(nèi)，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)的估計(jì)值為，則的值為（）A. B.C. D.9．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A. B.C. D.10．已知，，，則最小值是（）A.10 B.9C.8 D.711．等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A.72 B.90C.36 D.4512．一個(gè)幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內(nèi)放置一個(gè)高度為1的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體積最大值為（）A. B.C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E為線段中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上動(dòng)點(diǎn)，則（1）的最小值為______；（2）點(diǎn)F到直線DE距離的最小值為______.14．將某校全體高一年級(jí)學(xué)生期末數(shù)學(xué)成績(jī)分為6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)需要隨機(jī)抽取60名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，采用按成績(jī)分層隨機(jī)抽樣，則應(yīng)抽取成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為_______________.15．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實(shí)數(shù)m的值為________.16．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：上一點(diǎn)與焦點(diǎn)F的距離為（1）求和p的值；（2）直線l：與C相交于A，B兩點(diǎn)，求直線AM，BM的斜率之積18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在橢圓上，其中為橢圓E的離心率（1）求b的值；（2）A，B分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于M，N兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)T，求證：20．（12分）雙曲線的離心率為2，經(jīng)過C的焦點(diǎn)垂直于x軸的直線被C所截得的弦長(zhǎng)為12.（1）求C的方程；（2）設(shè)A，B是C上兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，求直線AB的方程.21．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點(diǎn)，（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，______，求m的值從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：圓上一點(diǎn)P到直線的最大距離為；條件③：22．（10分）為了解某校今年高一年級(jí)女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級(jí)女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項(xiàng)目測(cè)試，成績(jī)低于5米為不合格，成績(jī)?cè)?至7米（含5米不含7米）的為及格，成績(jī)?cè)?米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?米到11米之間(1)求實(shí)數(shù)的值及參加“擲鉛球”項(xiàng)目測(cè)試的人數(shù)；(2)若從此次測(cè)試成績(jī)最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項(xiàng)目的測(cè)試，求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】首先利用坐標(biāo)法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后對(duì)符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在使得，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】不妨設(shè).對(duì)于A選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)為，故在平面上，也即四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四點(diǎn)共面.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間四點(diǎn)共面的證明方法，考查空間向量的線性運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2、D【解析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設(shè)，可得，且中點(diǎn)為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D3、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【詳解】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A4、B【解析】根據(jù)a的值和離心率可求得b,從而求得漸近線方程.【詳解】由雙曲線的離心率為，知，則，即有，故，所以雙曲線C的漸近線方程為，即，故選：B.5、B【解析】由題意結(jié)合橢圓的定義可得，而的周長(zhǎng)等于，從而可得答案【詳解】解：由得，由題意得，所以的周長(zhǎng)等于，故選：B6、B【解析】先求出基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對(duì)立事件是和都不與和車相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車相鄰的概率【詳解】解：某公司門前有一排9個(gè)車位的停車場(chǎng)，從左往右數(shù)第三個(gè)，第七個(gè)車位分別停著車和車，同時(shí)進(jìn)來，兩車，在，不相鄰的條件下，基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對(duì)立事件是和都不與和車相鄰，和至少有一輛與和車相鄰的概率：故選：B7、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程，再由其過的點(diǎn)即可求解.【詳解】漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以有，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A8、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.9、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A.10、B【解析】利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成展開后，利用基本不等式求得的最小值【詳解】∵，，，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選：B11、B【解析】由題意結(jié)合成等比數(shù)列，有即可得，進(jìn)而得到、，即可求.【詳解】由題意知：，，又成等比數(shù)列，∴，解之得，∴，則，∴，故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由其中三項(xiàng)成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)性質(zhì)求項(xiàng)，進(jìn)而得到等差數(shù)列的基本量1、由成等比，即；2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.12、B【解析】根據(jù)題意得到幾何體為半徑為1的球，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑時(shí)，長(zhǎng)方體體積最大，設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，得到等量關(guān)系，利用基本不等式求解體積最大值.【詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長(zhǎng)方體為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體時(shí)，體積最大，此時(shí)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑，設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)為，寬為，則由題意得：，解得：，而長(zhǎng)方體體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.；②..【解析】建立空間直角坐標(biāo)系.空一：利用空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合平面兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；空二：根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有.空一：，代數(shù)式表示橫軸上一點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，如下圖所示：設(shè)關(guān)于橫軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)線段與橫軸的交點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，有最小值，最小值為；空二：設(shè)，為垂足，則有，，，因?yàn)?，所以，因此，化?jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，有最小值，即最小值為，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.14、48【解析】根據(jù)頻率分布直方圖，求出成績(jī)不少于分的頻率，然后根據(jù)頻數(shù)頻率總數(shù)，即可求出結(jié)果【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，成績(jī)不低于（分）的頻率為，由于需要隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，利用樣本估計(jì)總體的思想，則應(yīng)抽取成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為人故答案為：15、1【解析】由兩條直線垂直可知，進(jìn)而解得答案即可.【詳解】因?yàn)閮蓷l直線垂直，所以.故答案為：1.16、##【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線、的方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，即點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)，所以，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立，可得點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，因此，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）結(jié)合拋物線的定義以及點(diǎn)坐標(biāo)求得以及.（2）求得的坐標(biāo)，由此求得直線AM，BM的斜率之積.【小問1詳解】依題意拋物線C：上一點(diǎn)與焦點(diǎn)F的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得.【小問2詳解】由（1）得拋物線方程為，，不妨設(shè)A在B下方，所以.18、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，得到；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，驗(yàn)證時(shí)滿足條件，故.【小問2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.19、（1）1（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓E上建立方程，結(jié)合，然后解出方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，表示出直線與，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別表示出直線和的斜率并作差，通過韋達(dá)定理證明直線和的斜率相等即可.【小問1詳解】由點(diǎn)在橢圓E上，得：又，即解得：【小問2詳解】依題意，得，且直線l與x軸不會(huì)平行設(shè)直線l的方程為，，由方程組消去x可得：則有：，且直線的方程為，直線的方程為由方程組可得：設(shè)直線的斜率分別是，則有：可得：又可得：故【點(diǎn)睛】（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系（2）涉及到直線方程時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得的方程.（2）結(jié)合點(diǎn)差法求得直線的斜率，從而求得直線的方程.【小問1詳解】因?yàn)镃的離心率為2，所以，可得.將代入可得，由題設(shè).解得，，，所以C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，則，.因此，即.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，，從而，于是直線AB的方程是.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)圓心在過點(diǎn)，的線段的中垂線上，同時(shí)圓心圓心在直線上，可求出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑，最后求出其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）選①利用用垂徑定理可求得答案，選②根據(jù)圓上一點(diǎn)P到直線的最大距離為可求得答案，選③先利用向量的數(shù)量積可求得，解法就和選①時(shí)相同.【小問1詳解】由題意可知，圓心在點(diǎn)的中垂線上，該中垂線的方程為，于是，由，解得圓心，圓C的半徑所以，圓C的方程為；【小問2詳解】①，因?yàn)?，，所以圓心C到直線l的距離，則，解得，②，圓上一點(diǎn)P到直線的最大距離為，可知圓心C到直線l的距離則，解得，③，因?yàn)?，所以，得，又，所以圓心C到直線l的距離，則，解得22、（1）0.05，40；（2）【解析】（1）因?yàn)橛深l率分布直方圖可得共五組的頻率和為1所以可得一個(gè)關(guān)于的等式，即可求出的值.再根據(jù)已知有4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?米到11米之間，可以求出本次參加“擲鉛球”項(xiàng)目測(cè)試的人數(shù).本小題要根據(jù)所給的圖表及直