《衍生金融工具》(第二版)習(xí)題及答案第8章

第八章1.一個(gè)基于無(wú)紅利股票的一年期的歐式看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為25歐元，期權(quán)的即期交易價(jià)格為3.19歐元。股票的即期價(jià)格為23歐元，它的年波動(dòng)率為30%。年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為5%。那么基于相同股票的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是多少？以連續(xù)復(fù)利計(jì)算。解：根據(jù)看跌看漲平價(jià)，c=p+S-Xe-r(T-t)=3.19+23-25e-0.05*1=2.409美元2.一個(gè)無(wú)紅利支付股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格為$4。股票價(jià)格為$31，執(zhí)行價(jià)格為$30，3個(gè)月后到期。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。請(qǐng)推出相同股票、相同執(zhí)行價(jià)格、相同到期日的美式看跌期權(quán)的價(jià)格上下限。解：由公式S-X<S-Xe-r(T-t)，可得：31－30<4－P<31－30e-0.25*0.08即1.00<4.00－P<1.59，該美式看跌期權(quán)的價(jià)格上下限為：2.41<P<3.003.你現(xiàn)在要對(duì)一個(gè)兩年期執(zhí)行價(jià)格為45美元的歐式看漲期權(quán)定價(jià)。已知初始股票價(jià)格為50美元，連續(xù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為3%。為了確定該期權(quán)的價(jià)格范圍，你考慮計(jì)算價(jià)格的上下限。那么該期權(quán)價(jià)格的上界與下界的差是多少？解：價(jià)格的上界是S=50，下界c>S-Xe-r(T-t)=50-45e-0.03*2=7.62美元那么上下界的差為50-7.62=42.38美元4.列舉影響期權(quán)價(jià)格的6個(gè)因素，并簡(jiǎn)述其影響的機(jī)理。解：影響期權(quán)價(jià)格的6個(gè)因素有：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率、期限以及持有期間收益。5.請(qǐng)解釋為什么對(duì)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間平價(jià)關(guān)系的討論用于美式期權(quán)不可能得到相同的結(jié)論。解：當(dāng)不可提前執(zhí)行時(shí)，我們可認(rèn)為若兩資產(chǎn)價(jià)值在T期相同，則在前幾期也應(yīng)相同。當(dāng)可提前執(zhí)行，以上論述則不成立。假設(shè)：P+S>C+Xe-rT，這并不存在套利機(jī)會(huì)。因?yàn)槿绻覀冑I(mǎi)看漲期權(quán)，賣(mài)空看跌期權(quán)并賣(mài)空股票，我們并不能確定其結(jié)果，因?yàn)槲覀儾⒉淮_定看跌期權(quán)是否會(huì)被執(zhí)行。6.一個(gè)期限為4個(gè)月的無(wú)紅利支付股票的歐式看漲期權(quán)現(xiàn)價(jià)為$5。股票價(jià)格為$64，執(zhí)行價(jià)格為$60，一個(gè)月后發(fā)紅利$0.80。對(duì)所有期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為12%。對(duì)套利者而言存在什么樣的機(jī)會(huì)？解：執(zhí)行價(jià)格現(xiàn)值為60e-0.3333*0.12=$57.65,紅利現(xiàn)值為0.8e-0.08333*0.12=$0.7。因?yàn)?<64?57.65?0.79，所以，應(yīng)買(mǎi)看漲期權(quán)的同時(shí)賣(mài)空股票，則無(wú)論如何，均將獲利。1）如果股價(jià)降到低于$60，套利者將在期權(quán)損失$5，但從空頭股票上至少可獲得64?57.65?0.79=$5.56（現(xiàn)值）利潤(rùn)。2）如果到期日股價(jià)高于$60，套利者可獲5.56－5.00＝$0.56(現(xiàn)值)利潤(rùn)。7.請(qǐng)直觀的解釋為什么當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升且波動(dòng)率減少時(shí)，提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)變得很有吸引力。解：當(dāng)執(zhí)行價(jià)格的利息（時(shí)間價(jià)值）大于保險(xiǎn)價(jià)值損失時(shí)，提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)更具吸引力。1）當(dāng)利率上升，執(zhí)行價(jià)格的利息（時(shí)間價(jià)值）增加，這會(huì)使提前執(zhí)行更具吸引力。2）當(dāng)波動(dòng)率減少，保險(xiǎn)價(jià)值下降，也使提前執(zhí)行更具吸引力。8.執(zhí)行價(jià)格為$30，6個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為$2，標(biāo)的股票的價(jià)格為$29，2個(gè)月后和5個(gè)月后分紅利$0.5。期限結(jié)構(gòu)為水平，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%。執(zhí)行價(jià)格為$30，6個(gè)月后到期的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為多少？解：由看漲－看跌期權(quán)平價(jià)公式：C+Xe-r(T-t)+D=P+S,則有：P=C+Xe-r(T-t)+D?Sp=2+30e-0.5*0.1+0.5e-0.1667*0.1+0.5e-0.4167*0.1?29=2.51所以6個(gè)月后到期的歐式看跌期權(quán)價(jià)格為$2.519.在習(xí)題8中，如果歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為$3，請(qǐng)說(shuō)明存在什么樣的套利機(jī)會(huì)？解：若上題中，歐式看跌期權(quán)為$3，套利者可買(mǎi)入看漲期權(quán)、賣(mài)空看跌期權(quán)、賣(mài)空股票進(jìn)行套利。無(wú)論在何種情形中，均可將利潤(rùn)鎖定在3.00－2.51＝$0.49的現(xiàn)值水平。10.執(zhí)行價(jià)格為$20，3個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)，售價(jià)都為$3。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，股票現(xiàn)價(jià)為$19，預(yù)計(jì)1個(gè)月后發(fā)紅利$1。請(qǐng)說(shuō)明對(duì)投資者而言，存在什么樣的套利機(jī)會(huì)。解：因?yàn)镻+S=3+19=22，而C+Xe-r(T-t)+D=3+20*e-0.10*0.25+1*e-0.10*0.0833=23.50所以，P+S>C+Xe-r(T-t)+D。因而存在套利機(jī)會(huì)，可通過(guò)買(mǎi)看跌期權(quán)，賣(mài)空股票及看漲期權(quán)來(lái)進(jìn)行套利。11.“提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)是在貨幣的時(shí)間價(jià)值與看跌期權(quán)的保險(xiǎn)價(jià)值之間的權(quán)衡?！闭?qǐng)解釋這句話。解：美式期權(quán)能為其標(biāo)的股票提供保險(xiǎn)，它可使股票以執(zhí)行價(jià)格X出售。如果期權(quán)提早執(zhí)行，則保險(xiǎn)消失，但期權(quán)多頭立即獲得股票價(jià)格，并可獲得提早執(zhí)行日至到期日間資金X的時(shí)間價(jià)值。12.請(qǐng)給出兩個(gè)原因說(shuō)明為什么早執(zhí)行無(wú)紅利支付股票的美式看漲期權(quán)不是最好的。第一條原因應(yīng)包括貨幣時(shí)間價(jià)值。第二條原因在利率為零時(shí)也成立。解：1）推遲執(zhí)行可推遲支付期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，期權(quán)持有者可賺取執(zhí)行價(jià)格更長(zhǎng)時(shí)間的時(shí)間價(jià)值；2）推遲執(zhí)行可提供保值價(jià)值，避免執(zhí)行日時(shí)股價(jià)低于執(zhí)行價(jià)格。假設(shè)期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者有現(xiàn)金X，且利率為0。提早執(zhí)行會(huì)使期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者頭寸在到期日為S,而推遲執(zhí)行買(mǎi)方頭寸在到期日則為max（X,S）13.討論題股票期權(quán)是指給一個(gè)員工以一定的行權(quán)價(jià)格(一般是一個(gè)很低的價(jià)格),在一段時(shí)間里買(mǎi)入公司普通股的權(quán)利。公司在剛起步的時(shí)候,付不起很高的工資,而且要員工放棄原有穩(wěn)定的工作,這個(gè)時(shí)候期權(quán)就對(duì)員工有很大的激勵(lì)作用。除了可以“吸引”員工加入之外,期權(quán)還可以起到“留住”員工的作用。一個(gè)員工如果拿了工資或者獎(jiǎng)金,然后離開(kāi)公司,對(duì)公司肯定有損害,但對(duì)員工自己沒(méi)有損害。員工如果拿了期權(quán),情況就不一樣了:首先,期權(quán)需要幾年(一般是3~5年)才會(huì)被授予,早走就少拿。如果是5年綁定期,他工作了2年就走,只能拿五分之二。其次,一般的期權(quán)協(xié)議規(guī)定,辭職的員工在離職后90天內(nèi)必須行使期權(quán),過(guò)期作廢,這樣即使是一分錢(qián)、一角錢(qián)的美元期權(quán),如果是幾萬(wàn)股,員工也可能要拿出上萬(wàn)元人民幣才能拿到這些普通股。在公司上市前,這些普通股是不流通的,只是一張白紙而已,所以對(duì)很多員工來(lái)講,買(mǎi)不買(mǎi)是一個(gè)困難的決定。第三,一個(gè)重要的員工走了,對(duì)公司造成損失,同樣他作為股東也要承受這些損失,這也會(huì)成為促使一個(gè)員工留在公司的原因之一,或者至少不太可能離開(kāi)公司到競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手那里去,做出對(duì)公司有害的事情。在實(shí)際中,創(chuàng)業(yè)者經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題:第一，最常見(jiàn)的問(wèn)題是“給多少”。第二大問(wèn)題是期權(quán)授予期限的問(wèn)題，是3年、4年還是5年?第三大問(wèn)題是期權(quán)授給多少人。第四大問(wèn)題是行權(quán)價(jià)格該定多少。股票期權(quán)是小公司能夠吸引人才并且留住人才的最大法寶,而人是公司成功最重要的因素。答：《上市公司股權(quán)激勵(lì)辦法（試行）》對(duì)數(shù)量規(guī)定：上市公司全部有效的股權(quán)激勵(lì)計(jì)劃所涉及的標(biāo)的股票總數(shù)累計(jì)不得超過(guò)公司股本總額的10%。非經(jīng)股東大會(huì)特別決議批準(zhǔn)，任何一名激勵(lì)對(duì)象通過(guò)全部有效的股權(quán)激勵(lì)計(jì)劃獲授的本公司股票累計(jì)不得超過(guò)公司股本總額的1%。有效期包含等待期和行權(quán)期。等待期是指自期權(quán)頒發(fā)后，職工需要在公司任職滿一定時(shí)間之后，期權(quán)的承諾才開(kāi)始生效，等待期通常從1年到3年不等。行權(quán)的期限，指的是自期權(quán)生效后，職工能夠在必定的時(shí)刻內(nèi)真實(shí)行使期權(quán)。普華永道的研究發(fā)現(xiàn)，從全球到我國(guó)，期權(quán)的有效期都呈現(xiàn)出縮短的趨勢(shì)。以往大多企業(yè)將有效期設(shè)定在10年甚至更多，如今設(shè)定在5年到7年的實(shí)踐會(huì)更多一些。一個(gè)重要原因是，影響期權(quán)估值的一個(gè)重要因素是行權(quán)期，有效期越長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)等待期后，那么行權(quán)期就越長(zhǎng)，期權(quán)的估值相應(yīng)越大，也意味著公司的財(cái)務(wù)成本越高。所以公司開(kāi)始恰當(dāng)縮短有效期，在保持鼓勵(lì)作用的前提下合理計(jì)劃公司的財(cái)務(wù)成本。激勵(lì)對(duì)象一般為在公司領(lǐng)取報(bào)酬的董事（不含獨(dú)立董事）、高級(jí)管理人員、中層管理人員、核心技術(shù)、業(yè)務(wù)人員等，也有公司僅將董事、高級(jí)管理人員列為激勵(lì)對(duì)象。有些公司預(yù)留部分限制性股票、股票期權(quán)給將來(lái)引進(jìn)的關(guān)鍵崗位人員。員工在行使期權(quán)的時(shí)按某一既定價(jià)格購(gòu)買(mǎi)股票。行權(quán)價(jià)格定得越低也就意味著期權(quán)的價(jià)值越高，公司將會(huì)承擔(dān)越高的財(cái)務(wù)成本，這樣對(duì)公司的報(bào)表影響也越大。同時(shí)，在行權(quán)價(jià)格上也需要遵從上市法規(guī)中的相關(guān)要求。影響期權(quán)估值的要素有很多，包含公司現(xiàn)在股票報(bào)價(jià)情況，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的情況，行權(quán)期的長(zhǎng)短等，許多要素都會(huì)影響到期權(quán)定價(jià)。關(guān)于期權(quán)定價(jià)，現(xiàn)在國(guó)內(nèi)許多公司都在用Black-Scholes模型。《上市公司股權(quán)激勵(lì)辦法（試行）》規(guī)定，上市公司授予的行權(quán)價(jià)格不應(yīng)低于下列價(jià)格較高者：股權(quán)激勵(lì)計(jì)劃草案摘要公布前一個(gè)交易日的公司標(biāo)的股票收盤(pán)價(jià)，股權(quán)激勵(lì)計(jì)劃草案摘要公布前30個(gè)交易日內(nèi)公司標(biāo)的股票的平均收盤(pán)價(jià)。14.試證明有收益的資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的價(jià)格之間關(guān)系：S-D-K≤C-P≤S-D-Ke-r(T-t)。證明：首先驗(yàn)證無(wú)收益歐式看漲期權(quán)與歐式看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系。構(gòu)造如下兩個(gè)資產(chǎn)組合:組合A:一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金;組合B:一份有效期和協(xié)議價(jià)格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)。期權(quán)到期時(shí)，兩組合的價(jià)值都為。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此在t時(shí)刻兩組合必須具有相等的價(jià)值：這就是無(wú)收益歐式看漲期權(quán)與歐式看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系。對(duì)于美式期權(quán)，由于，由(1)式可得對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，由于c=C，因此即為了推導(dǎo)出更嚴(yán)密的C與P的關(guān)系，考慮以下兩個(gè)資產(chǎn)組合：組合C：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為K的現(xiàn)金組合D：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)如果美式期權(quán)沒(méi)有被提前執(zhí)行，T時(shí)刻組合D的價(jià)值為組合C的價(jià)值為，組合C的價(jià)值大于組合D。若在τ時(shí)刻美式期權(quán)被提前執(zhí)行，則在τ時(shí)刻組合D的價(jià)值為K，組合C的價(jià)值大于等于，因此組合C的價(jià)值也大于組合D。也就是說(shuō)，無(wú)論美式期權(quán)是否被提前執(zhí)行，組合C的價(jià)值都大于組合D，因此在t時(shí)刻，組合C的價(jià)值也應(yīng)大于組合D，即：由于c=C，則綜上可得，對(duì)于有收益的美式看漲期權(quán)與美式看跌期權(quán)之間的價(jià)格關(guān)系，我們只需將組合C中的現(xiàn)金改為D+K，即可得：15.股票價(jià)格為52美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，一個(gè)基于這個(gè)股