§20.1一元二次方程

§20.1一元二次方程谷至民安徽省馬鞍山市第十三中學(xué)一、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：了解一元二次方程的一般形式，熟練地將相關(guān)方程寫成一元二次方程的一般形式，準(zhǔn)確確定一般形式中的過程與方法：經(jīng)歷一元二次方程的發(fā)現(xiàn)與歸納過程，運(yùn)用類比和化歸的思想方法學(xué)習(xí)和探索新知。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的形成，理解“特殊與一般”的辯證關(guān)系，進(jìn)而提升思維品質(zhì)。二、教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：一元二次方程的歸納和一般形式的確定。難點(diǎn)：準(zhǔn)確確定一元二次方程一般形式下的三、教材分析：一元二次方程是初中階段的第二種“基礎(chǔ)方程”，是在一元一次方程基礎(chǔ)上的進(jìn)一步延伸。一元二次方程不但是重要的求值工具，而且其解法中的開平方法、配方法、因式分解法及根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法極其重要。要熟練掌握一元二次方程的解法，必須對一元二次方程的一般形式有準(zhǔn)確的認(rèn)識，因此準(zhǔn)確理解一元二次方程概念，準(zhǔn)確確認(rèn)一般形式中的是學(xué)好一元二次方程的重要前提。四、教學(xué)設(shè)計(jì)：教學(xué)流程：活動(dòng)一一元二次方程定義鞏固練習(xí)活動(dòng)二一般形式應(yīng)用舉例課堂練習(xí)課堂小結(jié)作業(yè)教學(xué)過程：(一)一元二次方程定義活動(dòng)一：⑴誰知道“無公害蔬菜”是怎么回事？猜想一下這個(gè)詞產(chǎn)生的背景……（?。芇40“問題1”某地為增加農(nóng)民收入，需要調(diào)整農(nóng)作物種植結(jié)構(gòu)，計(jì)劃2007年無公害蔬菜的產(chǎn)量比2005年翻一番。要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，問：這兩年間無公害蔬菜產(chǎn)量的總增長率是多少？……（ⅱ）2006和2007年無公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率應(yīng)是多少？這兩個(gè)問題中的增長率有區(qū)別么？嘗試列方程加以說明，并嘗試化簡，你所列的兩個(gè)方程是同一種方程么？學(xué)生：思考，交流，列式，回答（分組思考，學(xué)生上黑板板演）。師生：辨析，引導(dǎo)無公害蔬菜與綠色食品；翻一番；單位1與輔助字母……結(jié)論：⑴涉及百分比（增減率）問題關(guān)鍵弄清“單位1”是誰。⑵年平均增長率與總增長率是有區(qū)別的！由于單位1的變化不能簡單的將第一問的總增長率二等分。⑶方程分別為：與。即：與前為一元一次方程，后為一元二次方程（對比引發(fā)歸納定義——盡量由學(xué)生完成）。定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程——quadraticequaionwithoneunknow.設(shè)計(jì)說明：（?。o公害蔬菜的問題關(guān)聯(lián)了“問題1”，同時(shí)拓展了數(shù)學(xué)課的外延，加強(qiáng)了學(xué)生對綠色和無公害的重要性的認(rèn)知。目的是貼近社會熱點(diǎn)和生活，從而引起學(xué)生興趣，吸引學(xué)生的注意力，避開數(shù)學(xué)課“由數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”的乏味怪圈，還數(shù)學(xué)的本質(zhì)與血肉——數(shù)學(xué)是源于生活而又服務(wù)于生活的。（ⅱ）加問這一問題是為了突破學(xué)生對增減率的慣性認(rèn)知，為遞增（減）率的學(xué)習(xí)提供鋪墊，引起學(xué)生認(rèn)知沖突（不少學(xué)生看到第二問的“平均”會去用第一問的增長率去二等分），引發(fā)學(xué)生反省——“思考再思考”來發(fā)現(xiàn)總增（減）率與遞增（減）率的區(qū)別；同時(shí)也是有意構(gòu)造出一個(gè)一元一次方程，為一元二次方程的概念的對比歸納埋下伏筆。鞏固練習(xí)：P41練習(xí)1.判斷下列方程中，哪些是一元二次方程？（投影、口答、追問理由）⑴⑶⑷⑹結(jié)論：三關(guān)鍵——一元、二次、整式方程！(二)一元二次方程的一般形式活動(dòng)二：快速搶答P41練習(xí)1.⑵是幾元幾次方程？談?wù)勀愕睦碛伞á＃W(xué)生：思考，交流，搶答。師生：辨析，引導(dǎo)先整理再判斷?。ɑ旧峡梢杂蓪W(xué)生爭論得出）。結(jié)論：看問題應(yīng)看實(shí)質(zhì)，不要被表面現(xiàn)象所迷惑（引出“一般形式”的話題）。一般形式：形如的方程叫一元二次方程的一般形式或標(biāo)準(zhǔn)形式。其中叫二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；叫一次項(xiàng)，是一次項(xiàng)系數(shù)；叫常數(shù)項(xiàng)。說明：⑴代數(shù)中的規(guī)范表達(dá)采用了前面我們學(xué)過的多項(xiàng)式的降冪排列形式，使人一目了然，應(yīng)養(yǎng)成習(xí)慣。誰能快速說出一元三次方程的一般形式……（ⅳ）⑵為什么要（學(xué)生可以完成）。設(shè)計(jì)說明：（ⅲ）此練習(xí)的抽入是為引起向一般形式的過渡和思考。（ⅳ）適時(shí)適度鞏固拓展，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。(三)應(yīng)用舉例P41“例”把方程化成一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。學(xué)生：對比板演。師生：辨析，點(diǎn)評。結(jié)論：⑴一般形式：二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是8。⑵注意：項(xiàng)及系數(shù)是帶符號的，如一次項(xiàng)是！一次項(xiàng)系數(shù)是而非5??！(四)課堂練習(xí)——分題投影1.牛刀小試：p42練習(xí)2.指出下列方程中的……（ⅴ）⑴⑵⑶⑷2.生活中的一元二次方程——列出方程后，將方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式（不求解）。⑴P40“問題2”在一塊寬20m、長32m的矩形空地上，修筑寬相等的三條小路（兩縱一橫，縱向與橫向垂直），把矩形空地分成6塊建成小花壇。要使花壇總面積為570，問小路的寬應(yīng)為多少？……（ⅵ）⑵P42練習(xí)3.將48張桌子排成若干行，且每行的桌子數(shù)目相同，已知每一行的桌子數(shù)比總行數(shù)多2，求這些桌子排了多少行？3.打開思維：⑴P41練習(xí)1.第五小題：是一元二次方程么？說說你的看法……(ⅶ)⑵P42練習(xí)4.下面哪些數(shù)是方程的根？你有什么發(fā)現(xiàn)?……（ⅷ）0,1,2,3.設(shè)計(jì)說明：（ⅴ）此處拿掉文字說明，改為直接確定是為了加深學(xué)生對字母系數(shù)的關(guān)注，為后面的解法等知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，同時(shí)這幾道題的講解應(yīng)突出各系數(shù)的符號性及方程兩邊可同時(shí)乘使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)為要點(diǎn)。（ⅵ）“問題2”原來的作用是想與“問題1”一起來歸納一元二次方程定義，但經(jīng)過對“問題1”的處理，學(xué)生已經(jīng)能通過“問題1”兩個(gè)方程的對比認(rèn)知一元二次方程的定義；其次從認(rèn)知心理學(xué)的角度來說，學(xué)生的注意力在開課后8——10分鐘達(dá)到峰值，所以將“問題2”后置于練習(xí)，與“練習(xí)3”一并。在“問題2”的練習(xí)時(shí)應(yīng)讓學(xué)生大膽思考回答，力爭從多角度加以解讀，特別是從圖形的平移的角度應(yīng)作為重點(diǎn)加以突破。(ⅶ)此題單獨(dú)抽出是基于它的多種解讀途徑：一是突出對二次項(xiàng)系數(shù)的理解；二是對多字母在沒有確定誰是未知數(shù)時(shí)的思考的嚴(yán)密性的鍛煉（也可以是未知數(shù)！）。（ⅷ）后面一問的添加是為了強(qiáng)化本題的承上啟下（由概念過渡到下節(jié)的解法）的作用。（五）課堂小結(jié)投影：⑴今天我們見到了哪種新方程？它的一般形式是怎樣的？為什么？其他種類的一元整式方程的一般形式會寫了么？⑵如何確定？哪兒容易出錯(cuò)？⑶總增（減）率和遞增（減）率的區(qū)別關(guān)鍵是什么？⑷學(xué)習(xí)中應(yīng)注意類比與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用！（六）作業(yè)：P42習(xí)題20.11、2、3.有興趣了解一元二次方程的解法的同學(xué)可以適當(dāng)預(yù)習(xí)20.2。五、板書設(shè)計(jì):左側(cè)：標(biāo)題、定義、要點(diǎn)、注意事項(xiàng)中、右側(cè)：例題、練習(xí)、解答六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明：1、關(guān)注課堂引入，化有痕為無痕，直接關(guān)注學(xué)生生活體驗(yàn)和熱點(diǎn)，力爭信手拈來，短小精悍。2、關(guān)注學(xué)生認(rèn)知前區(qū)，注意滲透類比，自然促成認(rèn)知矛盾，激發(fā)探索興趣，提供探索平臺，促成結(jié)果發(fā)現(xiàn)，體驗(yàn)成功，養(yǎng)成習(xí)慣，增強(qiáng)信心。3、關(guān)注練習(xí)的對應(yīng)性和典型性。4、關(guān)注適度延展，承接認(rèn)知后區(qū)。5、注意積極評價(jià)，分