同濟大學材料力學第九章應(yīng)力狀態(tài)理論的基礎(chǔ)3學時課件

材料力學講授:顧志榮第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底同濟大學航空航天與力學學院

顧志榮材料力學2021秋季版〔3學時〕第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底根本內(nèi)容與學習要求理解應(yīng)力狀態(tài)的概念，掌握平面應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力分析的解析法及圖解法；了解三向應(yīng)力狀態(tài)的概念；掌握主應(yīng)力、主平面和最大剪應(yīng)力的計算。掌握廣義虎克定律；了解體積應(yīng)變、三向應(yīng)力狀態(tài)下變形比能(也稱變形能密度)、體積改變比能〔也稱體積改變能密度〕和形狀改變比能〔也稱崎變能密度〕的概念。第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底知識要點與重點難點應(yīng)力狀態(tài)的概念，從具體受力構(gòu)件中截取單元體并標明單元體上的應(yīng)力情況；平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上應(yīng)力計算公式推導中關(guān)于正負符號的約定、斜截面上的應(yīng)力計算，應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力與主方向的計算與確定，最大剪應(yīng)力計算；廣義虎克定律及其應(yīng)用；體積應(yīng)變、三向應(yīng)力狀態(tài)下變形比能、體積改變比能和形狀改變比能的概念。第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法三平面應(yīng)力狀態(tài)分析—圖解法四三向應(yīng)力狀態(tài)五廣義虎克定律六三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述1問題的提出2應(yīng)力的三個重要概念3一點應(yīng)力狀態(tài)的描述一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

討論根本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力F拉(壓):一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

扭轉(zhuǎn):討論根本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

討論根本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

對于橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力的一些點如何建立強度條件?這些點強度條件的危險應(yīng)力如何確定?一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

FPl/2l/2S平面5544332211

S平面123S平面

5544332211一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

4PlFMz=一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

為什么鋼筋混凝土梁在加載試驗過程中,除了在跨中底部會發(fā)生豎向裂縫外,其他部位還會發(fā)生斜向裂紋?這些問題都要通過應(yīng)力狀態(tài)的分析來解決.2.應(yīng)力狀態(tài)的三個重要概念(1)應(yīng)力的面的概念(2)應(yīng)力的點的概念(3)應(yīng)力狀態(tài)的概念第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述軸向拉壓同一橫截面上各點應(yīng)力相等：FF同一點在斜截面上時：第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述此例說明：即使同一點在不同方位截面上，它的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果說明：同一面上不同點的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點的概念。第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述應(yīng)力指明哪一個面上

哪一點？哪一點哪個方向面？第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述

過一點不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)分析就是研究一點處沿各個不同方位的截面上的應(yīng)力及其變化規(guī)律。第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述單元體3.一點應(yīng)力狀態(tài)的描述第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述圖示為一矩形截面鑄鐵梁，受兩個橫向力作用。從梁外表的A、B、C三點處取出的單元體上，用箭頭表示出各個面上的應(yīng)力。

課堂練習第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述FPl/2l/2S’平面5544332211

S’平面第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述課堂練習繪圖示梁S’平面上各點的應(yīng)力單元體123S’平面

5544332211一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

FPlaS第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述課堂練習繪圖示構(gòu)件固端S截面上、下、左、右切線點處的應(yīng)力單元體xzy4321S平面第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述SFPyxzMzFQyMx4321143第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述課堂練習l課堂練習承受內(nèi)壓、扭轉(zhuǎn)的薄壁圓筒,試從加強肋之間取應(yīng)力單元體第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述ｐＤ

ｐπD２４)

Dp(xsｐ第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述ｐｐ×Ｄ×ｌ第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述l第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述ltsms第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述ｐ二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

1.斜截面上的應(yīng)力受力構(gòu)件中的應(yīng)力單元體求垂直于xy面的任意斜截面ef上的應(yīng)力公式推導使用的符號規(guī)定：α角

由x正向逆時針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之為負。正應(yīng)力拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負切應(yīng)力

使單元體或其局部順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

αα公式推導(1)面上的應(yīng)力：第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

用斜截面截取，此截面上的應(yīng)力為公式推導(2)面上的應(yīng)力：即單元體兩個相互垂直面上的正應(yīng)力之和是一個常數(shù)。即又一次證明了剪應(yīng)力的互等定理。公式推導(3)面上的應(yīng)力之間的關(guān)系：第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

2.在何處?該處令,那么:即:面上有第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

在何處?令得:任意(為方便)令:可發(fā)現(xiàn):①正應(yīng)力極值有兩個方面②相差第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

將代入式,得顯然,在面上3、=?在何處？該處σ=？

令 面上的正應(yīng)力:即:方位:大小:將代式,得:4、主平面、主應(yīng)力、主應(yīng)力的排列主平面：單元體中只有正應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力的平面稱為主平面。主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力稱為該點的主應(yīng)力。主應(yīng)力的排列：用代數(shù)值確定，排列為、、三向〔空間〕應(yīng)力狀態(tài)第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述5、應(yīng)力狀態(tài)的分類：平面〔二向〕應(yīng)力狀態(tài)第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述xyxy單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)

第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)特例特例第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述

一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題

〔1〕斜面上的應(yīng)力解、(1)

斜面上的應(yīng)力〔2〕主應(yīng)力主平面的方位：哪個主應(yīng)力對應(yīng)于哪一個主方向，可以采用以下方法：主應(yīng)力的方向：主應(yīng)力的方向：++

圖示應(yīng)力單元體，試求斜面ab和bc上的應(yīng)力。在二向應(yīng)力狀態(tài)下，任意兩個垂直面上，其σ的和為一常數(shù)。例題

分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發(fā)生屈服的主要原因。低碳鋼拉伸時，其上任意一點都是單向應(yīng)力狀態(tài)。低碳鋼試樣拉伸至屈服時外表沿450出現(xiàn)滑移線，是由最大切應(yīng)力引起的。例題

分析圓軸扭轉(zhuǎn)時最大切應(yīng)力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因。鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)試驗時，正是沿著最大拉應(yīng)力作用面〔即450螺旋面〕斷開的。因此，可以認為這種脆性破壞是由最大拉應(yīng)力引起的。例題三平面應(yīng)力狀態(tài)分析—圖解法第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底1、應(yīng)力圓方程(1)(2)對(1)(2)式兩邊平方，將兩式相加，并利用消去和，得(3)RR比照解析幾何的曲線方程是一個圓心在(a.0),半徑為R的圓，則是個應(yīng)力圓的方程2.應(yīng)力圓是個信息源(從力學觀點分析〕〔1〕假設(shè)一個應(yīng)力單元體兩個互相垂直面上的應(yīng)力就一定可以作一個圓，圓周上的各點就是該單元體任意斜截面上的應(yīng)力?！?〕平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面上的應(yīng)力相互制約在圓周上變化。

在σ-τ坐標系中，標定與微元A、D面上應(yīng)力對應(yīng)的點a和d

連ad交s

軸于c點，c即為圓心，cd為應(yīng)力圓半徑。ADa(sx,tx)d(sy,ty)cR3.應(yīng)力圓的畫法

點面對應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點的坐標值對應(yīng)著微元某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力4、幾種對應(yīng)關(guān)系caA轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；二倍角對應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。caDn

dxA2

b(sy,ty)Oca(sx,tx)BABAsxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBE〔1〕對根本變形的應(yīng)力分析單向拉伸5、應(yīng)力圓的應(yīng)用單向拉伸x'y'BEsxsxt45oBEs45o

45o方向面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力，但正應(yīng)力不是最大值，切應(yīng)力卻最大?？梢姡簊-45ot-45ottotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45os45o＝tBE純剪切〔1〕對根本變形的應(yīng)力分析5、應(yīng)力圓的應(yīng)用BEttBE純剪切s45o＝t5.應(yīng)力圓的應(yīng)用〔2〕平面應(yīng)力狀態(tài)下求任意截面上的應(yīng)力點面相對應(yīng)，首先找基準。轉(zhuǎn)向要相同，夾角兩倍整。txsxsytytsoc2

0adAD主平面：τ

=0,與應(yīng)力圓上和橫軸交點對應(yīng)的面5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向txsxsytyAD主應(yīng)力確實定tsoc2αoad5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向

主應(yīng)力排序：tsoc2qpadtsotso5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向txysxsytyxADtsoc2oads1s2s1s1

os2s2(sx,txy)主方向確實定

負號表示從主應(yīng)力的正方向到x軸的正方向為順時轉(zhuǎn)向g5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向?qū)?yīng)應(yīng)力圓上的最高點的面上切應(yīng)力最大，稱為“面內(nèi)最大切應(yīng)力〞。tmax5、應(yīng)力圓的應(yīng)用〔4〕面內(nèi)最大剪應(yīng)力tsoc2

oad

例題試用應(yīng)力圓法計算圖示單元體e--f截面上的應(yīng)力。圖中應(yīng)力的單位為MPa。

例題一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。AD用應(yīng)力圓解法

otscdfe解：主應(yīng)力單元體：三向應(yīng)力狀態(tài)1.三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓3.一點處的最大應(yīng)力第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底空間應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)s1s2s3四三向應(yīng)力狀態(tài)/1.三向應(yīng)力狀態(tài)的概念szsxsytxty至少有一個主應(yīng)力及其主方向sytxtysxsz三向應(yīng)力狀態(tài)特例的一般情形四三向應(yīng)力狀態(tài)/1.三向應(yīng)力狀態(tài)的概念tss3s2IIs1s2s3(1)求平行于σ1的方向面的應(yīng)力σα、τα,其上之應(yīng)力與σ1無關(guān).于是由σ2、σ3作出應(yīng)力圓I四三向應(yīng)力狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓

IIs1

s3IIIs2tsOs2s3s1(2)求平行于σ2的方向面的應(yīng)力σα、τα,其上之應(yīng)力與σ2無關(guān).于是由σ1、σ3作出應(yīng)力圓Ⅱ四三向應(yīng)力狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓

IIItsOs3IIIs2s1IIIs2s1s3(3)求平行于σ3的方向面的應(yīng)力σα、τα,其上之應(yīng)力與σ3無關(guān).于是由σ1、σ2作出應(yīng)力圓Ⅲ四三向應(yīng)力狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓

s1s2s3(4)一點處任意斜截面上的應(yīng)力σn、τn,其上之應(yīng)力與σ1、σ2、σ3都有關(guān).四三向應(yīng)力狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓

在σ-τ平面內(nèi),代表任意斜截面的應(yīng)力的點或位于應(yīng)力圓上,或位于三個應(yīng)力圓所構(gòu)成的區(qū)域內(nèi).IIIs3IIIs2s1Ots四三向應(yīng)力狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)力

一點處最大正應(yīng)力與最小正應(yīng)力由σ1和σ3

所作成的最大應(yīng)力圓可見:IIIIIIs1s2s3tsOtszyxs2s1s3四三向應(yīng)力狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)力

(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力與一點處最大剪應(yīng)力ⅠOtss3s2

zyxs2s3四三向應(yīng)力狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)力

(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力與一點處最大剪應(yīng)力Ⅱzyxs1s3s1Otss3s2Ⅰ

四三向應(yīng)力狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)力

(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力與一點處最大剪應(yīng)力Ⅲzyxs2s1s1Ⅱs1Otss3s2Ⅰ

四三向應(yīng)力狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)力

(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力與一點處最大剪應(yīng)力Otxysx

在三組特殊方向面中都有各自的面內(nèi)最大切應(yīng)力,即：四三向應(yīng)力狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)力

五廣義虎克定律1.橫向變形與泊松比2.三向主應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律3.三向一般應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律4.彈性常數(shù)E、G、μ之間的關(guān)系第九章應(yīng)力狀態(tài)理論根底

各向同性材料的廣義胡克定律1、橫向變形與泊松比〔各向同性材料〕--泊松比yx2、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法++231231231231231231231分析：(1)即(2)當時，即為二向應(yīng)力狀態(tài)：(3)當時，即為單向應(yīng)力狀態(tài)；即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向。

若單元體上作用的不是主應(yīng)力，而是一般的應(yīng)力時，則單元體不僅有線變形，而且有角變形。其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

yxz3.三向一般應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律4、三個彈性常數(shù)

E、G、μ之間的關(guān)系邊長為20mm的鋼立方體置于鋼模中，在頂面上受力F=14kN作用。，μ=0.3，假設(shè)鋼模的變形以及立方體與鋼模之間的摩擦可以忽略不計。試求立方體各個面上的正應(yīng)力。例題某點的應(yīng)力狀態(tài)如下圖,當σx,σy,σz不變,τx增大時,關(guān)于εx值的說法正確的選項是____.A.不變B.增大C.減小D.無法判定εx僅與正應(yīng)力有關(guān)，而與切應(yīng)力無關(guān)。所以當切應(yīng)力增大時，線應(yīng)變不變。例題一受扭圓軸,直徑d=20mm,圓軸的材料為,E=200GPa,ν=0.3.現(xiàn)測得圓軸外表上與軸線成450方向的應(yīng)變?yōu)棣?5.2×10-4,試求圓軸所承受的扭矩.例題已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。為了測定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45°方向測出線應(yīng)變?，F(xiàn)測得軸向應(yīng)變，45°方向的應(yīng)變?yōu)椤Ｈ糨S的直徑D=100mm,彈性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。試求F和m的值。