廣東省信宜市2024屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

廣東省信宜市2024屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨圓與雙曲線相同的焦點(diǎn)，則橢圓和雙曲線的離心，分別為（）A. B.C. D.2．雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，則等于（）A.1 B.C.1或 D.23．已知函數(shù)，則（）A.1 B.2C.3 D.54．已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.6．某商場開通三種平臺(tái)銷售商品，五一期間這三種平臺(tái)的數(shù)據(jù)如圖1所示．該商場為了解消費(fèi)者對各平臺(tái)銷售方式的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2所示．下列說法正確的是（）A.樣本中對平臺(tái)一滿意的消費(fèi)者人數(shù)約700B.總體中對平臺(tái)二滿意的消費(fèi)者人數(shù)為18C.樣本中對平臺(tái)一和平臺(tái)二滿意的消費(fèi)者總?cè)藬?shù)為60D.若樣本中對平臺(tái)三滿意消費(fèi)者人數(shù)為120，則7．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.98．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A. B.C. D.9．已知點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.10．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過隨機(jī)抽樣，獲得了200名男生的100米體能測試成績（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定成績低于13秒為優(yōu)，成績高于14.8秒為不達(dá)標(biāo).由直方圖推斷，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測試成績的眾數(shù)為13.75秒C.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測試成績?yōu)閮?yōu)的人數(shù)為54D.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測試成績?yōu)椴贿_(dá)標(biāo)的人數(shù)為1811．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B.C. D.112．設(shè).若，則＝（）A. B.C. D.e二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)軍營所在平面區(qū)域?yàn)閧(x,y)|x2+y2≤},河岸線所在直線方程為x+2y-4=0.假定將軍從點(diǎn)P(,)處出發(fā),只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,當(dāng)將軍選擇最短路程時(shí),飲馬點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為______.最短總路程為______14．已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，且，，則__________15．已知曲線，則以下結(jié)論正確的是______.①曲線C關(guān)于點(diǎn)對稱；②曲線C關(guān)于y軸對稱；③曲線C被x軸所截得的弦長為2；④曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離都不超過2.16．曲線在點(diǎn)處的切線的方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，且.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，若，求n的最小值.18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)F，C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5（1）求C的方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，求直線l的方程19．（12分）已知命題實(shí)數(shù)滿足成立，命題方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，若命題為真，命題或?yàn)檎?，求?shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求b的值.21．（12分）已知圓C：的半徑為1（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長22．（10分）已知橢圓的離心率為，短軸長為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，推導(dǎo)出，可得出，進(jìn)而可求得、的值.【詳解】設(shè)公共焦點(diǎn)為，則，則，即，故，即，，故選：B2、A【解析】根據(jù)雙曲線方程形式確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)半焦距關(guān)系列式求參數(shù).【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓焦點(diǎn)在軸上，依題意得解得.故選：A3、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，以及運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】，，所以，所以故選：C4、C【解析】由題設(shè)分析知的軌跡為(不與重合)，要求的取值范圍，只需求出到圓上點(diǎn)的距離范圍即可.【詳解】由題設(shè)，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點(diǎn)的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選：C5、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D6、C【解析】根據(jù)扇形圖和頻率分布直方圖判斷.【詳解】對于A：樣本中對平臺(tái)一滿意的人數(shù)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B：總體中對平臺(tái)二滿意的人數(shù)約為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C：樣本中對平臺(tái)一和平臺(tái)二滿意的總?cè)藬?shù)為：，故選項(xiàng)C正確：對于D：對平臺(tái)三的滿意率為，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C7、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為8.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查垂直直線的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.8、C【解析】設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出的重心并代入歐拉線方程，驗(yàn)證并排除部分選項(xiàng)，余下選項(xiàng)再由外心、垂心驗(yàn)證判斷作答.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的重心坐標(biāo)為，依題意，，整理得：，對于A，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除A；對于D，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除D；對于B，當(dāng)時(shí)，，對于C，當(dāng)時(shí)，，直線AB的斜率，線段AB中點(diǎn)，線段AB中垂線方程：，即，由解得：，于是得的外心，若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，該點(diǎn)與點(diǎn)M確定直線斜率為，顯然，即點(diǎn)M不在線段BC的中垂線上，不滿足題意，排除B；若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，線段BC中垂線方程為：，即，由解得，即點(diǎn)為的外心，并且在直線上，邊AB上的高所在直線：，即，邊BC上的高所在直線：，即，由解得：，則的垂心，此時(shí)有，即的垂心在直線上，選項(xiàng)C滿足題意.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的三頂點(diǎn)，則的重心為.9、C【解析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，所以,因此，故選：C10、D【解析】根據(jù)頻率之和為求得，結(jié)合眾數(shù)、頻率等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項(xiàng)正確.眾數(shù)為，B選項(xiàng)正確.成績低于秒的頻率為，人數(shù)為，所以C選項(xiàng)正確.成績高于的頻率為，人數(shù)為人，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D11、D【解析】利用基本不等式可求的最小值.【詳解】可化為，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為1，故選：D.12、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】求出P(,)關(guān)于直線x+2y4=0對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)，再求出線段OP'與直線x+2y-4=0的交點(diǎn)A,再利用圓的幾何性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)P(,)關(guān)于直線x+2y4=0的對稱點(diǎn)為P'(m,n),則解得因?yàn)閺狞c(diǎn)P到軍營總路程最短,所以A為線段OP'與直線x+2y4=0的交點(diǎn),聯(lián)立得y=(42y),解得y=.所以“將軍飲馬”的最短總路程為=，故答案為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查對稱問題以及圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.解析幾何中點(diǎn)對稱問題，主要有以下三種題型：（1）點(diǎn)關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，利用，且點(diǎn)在對稱軸上，列方程組求解即可；（2）直線關(guān)于直線對稱，利用已知直線與對稱軸的交點(diǎn)以及直線上特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)（利用（1）求解），兩點(diǎn)式求對稱直線方程；（3）曲線關(guān)于直線對稱，結(jié)合方法（1）利用逆代法求解.14、【解析】由題意可得，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，設(shè)長方體的長寬高為，由題意可得：，據(jù)此可得：，則球的表面積：，結(jié)合解得：.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.15、②④【解析】將x換成,將y換成,若方程不變則關(guān)于原點(diǎn)對稱；將x換成，曲線的方程不變則關(guān)于y軸對稱；令通過解方程即可求得被x軸所截得的弦長；利用基本不等式即可判斷出曲線C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否不超過2，根據(jù)曲線C關(guān)于y軸對稱，即可判斷出曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否都不超過2.【詳解】對于①，將x換成,將y換成,方程改變，則曲線C關(guān)于點(diǎn)不對稱，故①錯(cuò)誤；對于②，將x換成，曲線的方程不變，則曲線C關(guān)于y軸對稱，故②正確；對于③，令得，，解得，即曲線C與x軸的交點(diǎn)為和，則曲線C被x軸所截得的弦長為，故③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，則，即曲線C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2，此曲線關(guān)于y軸對稱，即曲線C上y軸左側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離也不超過2，故④正確；故答案為：②④.16、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率后可得切線方程【詳解】，∴切線斜率為，切線方程為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組求解即可；（2）由裂項(xiàng)相消求和法得出，再由不等式的性質(zhì)得出n的最小值.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有解得，所以an=2n.【小問2詳解】由（1）得，則，所以因?yàn)?，即，解得n>99，所以n的最小值為100.18、（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線的定義，結(jié)合已知有求p，寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，由中點(diǎn)公式有，進(jìn)而求k值，寫出直線方程.【詳解】（1）由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線方程，得：，，若，則，而線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，∴，即，得，∴直線l的方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用拋物線定義求參數(shù)，寫出拋物線方程；（2）由直線與拋物線相交，以及相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo)值，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式求直線斜率，并寫出直線方程.19、或【解析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求出命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，依題意為假，為真，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因?yàn)?，，，，所以，所以，所以為真時(shí)，因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，所以，即為真時(shí)，所以為假時(shí)參數(shù)的取值范圍為或，因?yàn)槊}為真，命題或?yàn)檎?，所以為假，為真，?0、（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理，將邊化角轉(zhuǎn)化，即可求得；（2）利用余弦定理，結(jié)合（1）中所求，即可求得.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所?【小問2詳解】在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得，所以21、（1）；（2）直線l與圓C相交，.【解析】（1）利用配方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合圓的弦長公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：因?yàn)閳AC的半徑為1，所以，得【小問2詳解】由（1）知圓C的圓心