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文檔簡介
河南省蘭考縣三中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點,點是原點,若;則的面積為()A. B.C. D.2.已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是,則點到另一個焦點的距離為()A.2 B.3C.4 D.53.在等差數(shù)列{an}中,a1=1,,則a7=()A.13 B.14C.15 D.164.命題“對任何實數(shù),都有”的否定形式是()A.,使得B.,使得C.,使得D.,使得5.已知空間向量,且與垂直,則等于()A.-2 B.-1C.1 D.26.箱子中有5件產(chǎn)品,其中有2件次品,從中隨機抽取2件產(chǎn)品,設(shè)事件=“至少有一件次品”,則的對立事件為()A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒有次品 D.至少一件次品7.如圖,在正方體中,點,分別是面對角線與的中點,若,,,則()A. B.C. D.8.已知空間向量,,若,則實數(shù)的值是()A. B.0C.1 D.29.方程表示的圖形是A.兩個半圓 B.兩個圓C.圓 D.半圓10.已知動點在直線上,過點作圓的切線,切點為,則線段的長度的最小值為()A. B.4C. D.11.函數(shù)y=的最大值為Ae-1 B.eC.e2 D.12.“”是“直線與直線垂直”的A.充分必要條件 B.充分非必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在四面體中,BA,BC,BD兩兩垂直,,,則二面角的大小為______14.已知,,若x,a,b,y成等比數(shù)列,x,c,d,y成等差數(shù)列,則的最小值為_____________.15.已知數(shù)列滿足,,則_________.16.如圖,某河流上有一座拋物線形的拱橋,已知橋的跨度米,高度米(即橋拱頂?shù)交诘闹本€的距離).由于河流上游降雨,導(dǎo)致河水從橋的基座處開始上漲了1米,則此時橋洞中水面的寬度為______米三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,平面,,,為的中點.(1)證明:平面;(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.18.(12分)2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者,該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動,老師們立即開展了線上教學(xué).某中學(xué)為了解教學(xué)效果,于11月30日復(fù)課第一天安排了測試,數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級學(xué)生這次測試的數(shù)學(xué)成績與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長之間的相關(guān)關(guān)系,對在校高二學(xué)生隨機抽取45名進行調(diào)查,了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時,并得到如下的統(tǒng)計圖:(1)根據(jù)統(tǒng)計圖填寫下面列聯(lián)表,是否有95%的把握認為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長有關(guān)”;數(shù)學(xué)成績不超過120分數(shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時總計45(2)從被抽查的,且這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中,按分層抽樣的方法抽取5名,再從這5名同學(xué)中隨機抽取2名,求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的概率附:,其中.參考數(shù)據(jù):0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,求函數(shù)的值域.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性.21.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD,點F為棱PD的中點,二面角的余弦值為.(1)求PD的長;(2)求異面直線BF與PA所成角的余弦值;(3)求直線AF與平面BCF所成角的正弦值.22.(10分)已知函數(shù),記f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x).若曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為﹣3,且x=2時y=f(x)有極值,(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】拋物線焦點為,準(zhǔn)線方程為,由得或所以,故答案為C考點:1、拋物線的定義;2、直線與拋物線的位置關(guān)系2、C【解析】根據(jù)橢圓的定義,結(jié)合題意,即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個焦點分別為,故可得,又到橢圓一個焦點的距離是,故點到另一個焦點的距離為.故選:.3、A【解析】利用等差數(shù)列的基本量,即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,,解得:,則.故選:A4、B【解析】可將原命題變成全稱命題形式,而全稱命題的否定為特稱命題,即可選出答案.【詳解】命題“對任何實數(shù),都有”,可寫成:,使得,此命題為全稱命題,故其否定形式為:,使得.故選:B.5、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運算即可解決.【詳解】∵∴∴,解得,故選:B.6、C【解析】利用對立事件的定義,分析即得解【詳解】箱子中有5件產(chǎn)品,其中有2件次品,從中隨機抽取2件產(chǎn)品,可能出現(xiàn):“兩件次品”,“一件次品,一件正品”,“兩件正品”三種情況根據(jù)對立事件的定義,事件=“至少有一件次品”其對立事件為:“兩件正品”,即”沒有次品“故選:C7、D【解析】由空間向量運算法則得,利用向量的線性運算求出結(jié)果.【詳解】因為點,分別是面對角線與的中點,,,,所以故選:D.8、C【解析】根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為,所以,因此有.故選:C9、D【解析】其中,再兩邊同時平方,由此確定圖形【詳解】根據(jù)題意,,再兩邊同時平方,由此確定圖形為半圓.故選:D【點睛】幾何圖像中要注意與方程式是一一對應(yīng),故方程的中未知數(shù)的的取值范圍對應(yīng)到圖形中的坐標(biāo)的取值范圍10、A【解析】求出的最小值,由切線長公式可結(jié)論【詳解】解:由,得最小時,最小,而,所以故選:A.11、A【解析】,所以函數(shù)在上遞增,在上遞減,所以函數(shù)的最大值為時,y==故選A點睛:研究函數(shù)最值主要根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,找到最值,分式求導(dǎo)公式要記熟12、B【解析】先由兩直線垂直求出的值,再由充分條件與必要條件的概念,即可得出結(jié)果.【詳解】因為直線與直線垂直,則,即,解得或;因此由“”能推出“直線與直線垂直”,反之不能推出,所以“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.故選B【點睛】本題主要考查命題充分不必要條件的判定,熟記充分條件與必要條件的概念,以及兩直線垂直的判定條件即可,屬于常考題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】取的中點為,連接,由面面角的定義得出二面角的平面角為,再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出二面角的大小.【詳解】取的中點為,連接,因為,所以二面角的平面角為,因為,,所以為等腰直角三角形,即二面角的大小為.故答案為:14、4【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)把用表示,然后由基本不等式得最小值【詳解】由題意,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立故答案為:415、【解析】由已知可知即數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,進而可求得數(shù)列的通項公式,即可求.【詳解】由題意知:,即,而,∴數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,有,∴,則.故答案為:【點睛】關(guān)鍵點點睛:由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項,進而得到的通項公式寫出項.16、【解析】以橋的頂點為坐標(biāo)原點,水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則根據(jù)點在拋物線上,可得拋物線的方程,設(shè)水面與橋的交點坐標(biāo)為,求出,進而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點為坐標(biāo)原點,水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則拋物線的方程為,因為點在拋物線上,所以,即故拋物線的方程為,設(shè)河水上漲1米后,水面與橋的交點坐標(biāo)為,則,得,所以此時橋洞中水面的寬度為米故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】(1)根據(jù)勾股定理先證明,然后證明,進而通過線面垂直的判定定理證明問題;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,進而求出兩個平面的法向量,然后通過空間向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】∵,,∴,∴,∵平面,平面,∴,∵,,,∴平面.【小問2詳解】以點為坐標(biāo)原點,向量,的方向分別為,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,設(shè)平面的法向量為,由,,有取,可得平面的一個法向量為.設(shè)平面的一個法向量為,由,,有取,可得平面的一個法向量為,所以,故平面與平面的夾角的正弦值為.18、(1)表格見解析,有(2)【解析】(1)根據(jù)統(tǒng)計圖計算填表即可;(2)根據(jù)古典概型計算公式計算即可.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計圖可得:每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人,每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時數(shù)學(xué)成績超過120分的有人,每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人,每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時數(shù)學(xué)成績超過120分的有人,可得列聯(lián)表如下:數(shù)學(xué)成績不超過120分數(shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時151025每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時51520總計202545根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),所以有95%的把握認為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長有關(guān)”【小問2詳解】由列聯(lián)表可得,被抽查學(xué)生中這次數(shù)學(xué)成績超過120分的有25人,其中每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時的有10人,每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的有15人,人數(shù)比為2∶3,按分層抽樣每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時的抽2人,記為:1,2;每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的抽3人,記為:a,b,c.所有可能結(jié)果如下:,共計10種.設(shè)事件A為“兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時長超過一小時”包含這7種可能結(jié)果所以19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間(?∞,?1)和(4,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間(?1,4)(2)【解析】(1)求出,令,由導(dǎo)數(shù)的正負即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;(2)求出函數(shù)在區(qū)間中的單調(diào)性,求出極大值和極小值以及區(qū)間端點的函數(shù)值,比較大小即可得到答案【小問1詳解】由函數(shù)得,令,解得x<?1或x>4,;令,解得?1<x<4,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?1)和(4,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,4);【小問2詳解】由(1)可知,當(dāng)x∈[?3,?1)時,,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(?1,4)時,,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(4,6]時,,f(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=?1時,函數(shù)f(x)取得極大值f(?1)=,當(dāng)x=4時,函數(shù)f(x)取得極小值f(4)=,又,所以當(dāng)x∈[?3,6]時,函數(shù)f(x)的值域為20、(1)(2)詳見解析.【解析】(1)由,求導(dǎo),得到,寫出切線方程;(2)求導(dǎo),再分,,討論求解.【小問1詳解】解:因為,所以,則,所以,所以曲線在點處的切線方程是,即;【小問2詳解】因為,所以,當(dāng)時,成立,則在上遞減;當(dāng)時,令,得,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上遞減,在上遞增;綜上:當(dāng)時,在上遞減;當(dāng)時,在上遞減,在上遞增;21、(1)(2)(3)【解析】(1)以為軸,為軸,軸與垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,寫出各點坐標(biāo),設(shè),,由空間向量法求二面角,從而求得,得長;(2)由空間向量法求異面直線所成的角;(3)由空間向量法求線面角【小問1詳解】以為軸,為軸,軸與垂直,由于菱形中,軸是的中垂線,建立如圖坐標(biāo)系,則,,,設(shè),,,,設(shè)平面一個法向量為,則,令,則,,即,平面的一個法向量是,因為二面角余弦值為.所以,(負值舍去)所以;【小問2詳解】由(1),,,,所以異面直線BF與PA所成角的余弦值為【小問3詳解】由(1)平面的一個法向量為,又,,所以直線AF與平面BCF所成角的正弦值為22、(Ⅰ)f(x)=x3﹣3x2+1;(Ⅱ)最大值為1,最小值為﹣3【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)可得f′(x)的解析式,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可得k=f′(1)=-3,又在x=2處有極值,所以f′(2)=0,即可求得a,b的值,即可得答案;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f′(x)的解析式,令f′(x)=0,解得x=0或x=2,討論f(x)在﹣1<x<0,0<x<1上的單調(diào)性,即可
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