空間直線和平面總結(jié)

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［知識串講］

空間直線和平面：（一）知識結(jié)構(gòu)

（二）平行與垂直關(guān)系的論證

1、線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：面面平行性質(zhì)?//?????a,??????a?b?//baa//b??ba??,b??????a//?a??,b??Ab?aa?b?Aa//?,b//????????公理4(a//b,b//ca//c)線線∥線面平行判定線面平行性質(zhì)線面∥??//?面面平行判定1面面平行性質(zhì)面面∥面面平行性質(zhì)1?//???//????a????????b?a//??a//b?//??a???????//??a//?

2.線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

??a?b?O??l?a,l?b?a,b???l????????a???a??面面⊥三垂線定理、逆定理線線⊥PA??,AO為PO在?內(nèi)射影a??則a?OA?a?POa?PO?a?AOl??線面垂直判定1線面垂直定義線面⊥???面面垂直判定面面垂直性質(zhì)，推論2??a????l?a??????b??a??a??,a?b???????????????a???a??面面垂直定義????l，且二面角??l???成直二面角??????

3.平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

a//b?a??a???a???b??a??????//?線線∥線面垂直判定2線面垂直性質(zhì)2a???b???線面⊥面面平行判定2面面平行性質(zhì)3面面∥??a//b?//??a???a???

4.應(yīng)用以上“轉(zhuǎn)化〞的基本思路——“由求證想判定，由已知想性質(zhì)。〞5.唯一性結(jié)論：

（三）空間中的角與距離1.三類角的定義：

（1）異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°（??0?時，b∥?或b??）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°

2.三類角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角“一找、二作、三算〞

即：（1）找出或作出有關(guān)的角；

（2）證明其符合定義；（3）指出所求作的角；（4）計算大小。

3.空間距離：將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離——構(gòu)造三角形，解三角形，求該線段的長。4.點(diǎn)到面的距離，線線間距離、線面間距離、面面間距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離。

常用方法：三垂線法、垂面法、體積法、向量法等。

例.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么AM與CM所成角的余弦值為（）

A.32B.102C.35D.25

分析：如圖，取AB中點(diǎn)E，CC1中點(diǎn)F連結(jié)B1E、B1F、EF則B1E//AM，B1F//NC∴∠EB1F為AM與CN所成的角

又棱長為1

?B1E?556，B1F?，EF?222

B1E2?B1F2?EF22?cos?EB1F??2BE?BF511

∴選D

例3.已知直線l?平面?，直線m?平面?，有下面四個命題：

①??/??l?m③l//m????A.①與②

B.③與④

②????l//m④l?m??//?

C.②與④

D.①與③

其中正確的兩個命題是（）

對于①分析：

l???l???????l?m?//??m????①正確

l????對于②a????/l//m，如圖m????

∴②錯

對于③

l???m??????????l//m?m????③正確

l????對于④l?m??/?//?，如圖m????∴①③正確，選D

∴④錯

例4.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。（1）證明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。證：（1）連AC，AC交BD于O，連EO∵底面ABCD是正方形∴點(diǎn)O是AC中點(diǎn)又E為PC中點(diǎn)∴EO//PA

又EO?面EDB，且PA?面EDB∴PA//面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD∴BC⊥PD

又BC?DC且PD?DC?D∴BC⊥面PDC

∴BC⊥DE

又E為等直角三角形中點(diǎn)?DE?PC且PC?BC?C∴DE⊥面PBC

∴DE⊥PB又已知EF?PB且EF?DE?E∴PB⊥面DEF

例5.正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求證：A1C⊥BC1。

證明：設(shè)E、E1分別是BC、B1C1的中點(diǎn)，連AE，A1E1，B1E，E1C則AE?面B1BCC1，A1E1?面B1BCC1及EB1//E1C

AE?面B1BCC1?EB?BC1???1?E1C?BC1?AB1?BC1?EB1//E1C???A1C?BC1?AE?面BBCC1111?

注：三垂線定理是證明兩直線異面垂直的常用手段。

例6.以下正方體中，l是一條體對角線，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，如何證明l⊥面MNP。

（1）D1PC1MA1B1NlDCAB（2）D1C1A1B1lN（3）D1C1A1P1BNlDCMAB

MDCPAB

分析：①l在側(cè)面的射影顯然與MP、MN垂直?MP?l，MN?l?l?面MNP

②顯然l分別與MN在底面上射影垂直及與MP垂直?l?面MNP

③如圖，取棱A1A、DC、B1C1的中點(diǎn)，分別記為E、F、G，顯