基于正態(tài)分布的相鄰交叉口交通流建模與仿真

基于正態(tài)分布的相鄰交叉口交通流建模與仿真

與公路，尤其是高速公路的連續(xù)交通流不同，城市交通交通流屬于間歇性交通流。由于信號交叉口在紅色信號期間的壓縮和切割，離開交叉口的車流被分成幾個(gè)團(tuán)隊(duì)，并以組的形式分發(fā)給不同的車輛。同時(shí)，不同的車輛行駛條件和特點(diǎn)使每輛車的行駛速度不同，通常前面的車輛更快，后面的車輛更慢。隨著車輛向下游移動的過程，車隊(duì)越多，“分散現(xiàn)象”的現(xiàn)象越來越大。這種現(xiàn)象對相鄰交叉口的信號控制系統(tǒng)非常重要，但色散現(xiàn)象也非常復(fù)雜。現(xiàn)有車隊(duì)離散模型主要分為Robertson流量模型和Pacey密度模型.Pacey針對車隊(duì)離散問題提出了車速分布的正態(tài)分布模型.Grace等提出了基于Pacey正態(tài)分布模型的描述車隊(duì)密度變化的離散模型.Robertson依據(jù)Hillier等所收集的數(shù)據(jù),提出了一種使用離散迭代技術(shù)的經(jīng)驗(yàn)車隊(duì)離散模型.該模型已廣泛應(yīng)用在TRANSYT、SCOOT、SATURN和TRAFLO等交通仿真模型及控制系統(tǒng)中.Seddon通過改寫Robertson模型,發(fā)現(xiàn)此模型是基于流量服從幾何分布這一假設(shè)的.文獻(xiàn)利用上海城市道路上的實(shí)測數(shù)據(jù)對Grace的車輛密度模型進(jìn)行了研究,提出了交通啟動波時(shí)間損失矯正,并分析了模型在信號協(xié)調(diào)控制中的車隊(duì)截尾問題.全永燊等通過調(diào)查北京市典型道路的車流運(yùn)動過程,研究了我國城市道路交通流的離散規(guī)律及其影響因素,并通過交通模擬提出了適合我國交通特點(diǎn)的Robertson車隊(duì)離散模型的離散系數(shù).王殿海等采用多點(diǎn)攝像法對長春市的2個(gè)路段交通流進(jìn)行了實(shí)地調(diào)查,對車輛行駛速度及行駛時(shí)間分布進(jìn)行了擬合,分析了各離散模型的適用范圍,提出了一種描述車輛行駛時(shí)間的、基于無變換正態(tài)分布的車隊(duì)離散模型,發(fā)現(xiàn)該模型比Pacey模型更符合實(shí)測數(shù)據(jù).我國大城市主道路公交車流量普遍較大,公交車行駛的交通流環(huán)境主要分混合交通流、公交專用道和快速公交系統(tǒng)(BRT).目前,有關(guān)公交車隊(duì)的離散規(guī)律未見報(bào)道.因此,有必要研究適合我國國情的公交車隊(duì)離散模型,特別是混合車流中公交車流量較大情況下的公交車隊(duì)離散模型,為信號協(xié)調(diào)控制及公交優(yōu)先控制提供理論基礎(chǔ).文中以城市路段和公交車、小汽車混合運(yùn)行交通流為研究對象,根據(jù)公交車輛的運(yùn)行特性,引入公交?？空狙诱`參數(shù),通過交通試驗(yàn)的設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理分析,利用截?cái)嗾龖B(tài)分布模型研究了公交車隊(duì)的離散規(guī)律,給出了該模型在相鄰交叉口間有一個(gè)?？空镜男盘枱魠f(xié)調(diào)控制中的應(yīng)用,以驗(yàn)證該模型的有效性.1公共汽車公司的解體模型1.1[vm,vf]的正態(tài)分布取值我國大城市公交車與小汽車混合行駛現(xiàn)象較為明顯,公交車的機(jī)動性和運(yùn)行速度均遠(yuǎn)不如小汽車.同時(shí),公交車的運(yùn)行速度受乘客上下車及時(shí)刻表到達(dá)準(zhǔn)時(shí)性要求的影響.從圖1可以看出,公交車隊(duì)具有明顯的車速分布區(qū)間,因此,Pacey模型中車速服從負(fù)無窮大到正無窮大的正態(tài)分布的假設(shè)明顯不適用于公交車隊(duì).文中將公交車速的正態(tài)分布的取值區(qū)間修正為[vm,vf],其中vm和vf分別為最小速度和自由流速度,則其相應(yīng)的概率密度函數(shù)修正為f′(v)={c1√2σe-0.5(v-μσ)2,vm≤v≤vf0?其他(1)式中,μ和σ分別為速度均值和速度標(biāo)準(zhǔn)差,參數(shù)c保證f′(v)在區(qū)間[vm,vf]的累積概率為1.在區(qū)間[vm,vf]上,因?yàn)镕′(v)=c[F(v)-F(vm)],所以有c-1=F(vm≤v≤vf)=?(vf/σ-μ/σ)-?(vm/σ-μ/σ),可依照正態(tài)分布計(jì)算得到c.f′(v)的截?cái)嗾龖B(tài)分布函數(shù)F′(v)可按如下3種情況進(jìn)行計(jì)算:1)當(dāng)v<vm時(shí),F′(v)=∫v-∞f′(u)du=0;2)當(dāng)vm≤v≤vf時(shí),F′(v)=∫v-∞f′(u)du=∫vvmf′(u)du=c∫v-∞1√2σe-0.5(u-μσ)2du-∫vm-∞1√2σe-0.5(u-μσ)2du=c[F(v)-F(vm)];3)當(dāng)v>vf時(shí),F′(v)=∫vvmf′(u)du=∫vfvmf′(u)du=c[F(vf)-F(vm)]=1.1.2u3000?？空灸Ｐ图僭O(shè)上游交叉口的綠燈開始時(shí)刻和停車線斷面位置分別為t=0和x=0,則排隊(duì)車輛在t=0時(shí)刻分布于停車線后斷面x的密度函數(shù)k(x,0)為k(x,0)=0,x>0或x<-akj,-a≤x≤0式中,a為車隊(duì)的排隊(duì)長度,kj為該交叉口在排隊(duì)范圍內(nèi)的擁擠密度.不失一般性,文中取在相鄰交叉口間有一個(gè)停靠站的路段(如有若干?？空?分析方法相同)為研究對象,上游交叉口排隊(duì)公交車輛在綠燈開始時(shí)刻(t=0)從它們各自的停車位置(x-vt∈[-a,0])出發(fā),按照截?cái)嗾龖B(tài)分布規(guī)律以不同的速度v勻速行駛一段時(shí)間t,車隊(duì)頭部駛過和車隊(duì)尾部未駛過下游斷面x(可為實(shí)際或虛擬交叉口)的車輛數(shù)分別為A(x,t)和B(x,t),可知:A(x,t)=∫tvfxk(y,t)dy(3)B(x,t)=kja-A(x,t)=∫xtvm-ak(y,t)dy(4)式中,k(y,t)為車隊(duì)在t時(shí)刻分布在下游路段斷面x=y處的車輛密度函數(shù),k(x,t)=∫vfvmf′(v)k(x-vt,0)dv={0,x>tvf或x<tvm-akj∫x/t+a/tvmf′(v)dv,tvm-a≤x<tvmkj∫x/t+a/tx/tf′(v)dv,tvm≤x≤tvf-akj∫vfx/tf′(v)dv,tvf-a<x≤tvf(5)對于相鄰交叉口間有?？空镜穆范?公交車?？勘厝粫硌诱`,包括進(jìn)站前減速、乘客上車、出站加速,而信號控制關(guān)心的是?？空鞠掠蔚墓卉囮?duì)的到達(dá)規(guī)律,為此,文中引入公交車?？空狙诱`,將密度函數(shù)修正為k(x,t)={∫vfvmf′(v)k(x-vt,0)dv,x<ΔL∫vfvmf′(v)k(x-v(t-Δt),0)dv,x≥ΔL(6)式中,Δt為公交車平均?？空狙诱`時(shí)間,ΔL為上游交叉口到停靠站的距離.令u=(v-μ)/σ和離散率α=σ/μ,則∫v2v1f′(v)dv=c∫(v2-μ)/σ(v1-μ)/σ1√2[XC<圓周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]e-0.5u2du=c∫(tv2/μ-t)/(αt)(tv1/μ-t)/(αt)1√2[XC<圓周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]e-0.5u2du=c2[F(z)]z2(x2)z1(x1)(7)式中:z2(x2)=(x2/μ-t)/(√2αt)=(tv2/μ-t)/(√2αt);z1(x1)=(x1/μ-t)/(√2αt)=(tv1/μ-t)/(√2αt);v1和v2為常數(shù);F(z)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),F(z)=2∫√2z012[XC<圓周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]e-0.5u2du=2[XC<圓周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]∫0ze-u2du.令zm1=(tvm/μ-t)/(2αt),zm2=(tvm/μ+a/μ-t)/(2αt),zf1=(tvf/μ-a/μ-t)/(2αt),zf2=(tvf/μ-t)/(2αt),zx1=(x/μ-t)/(2αt),zx2=(x/μ+a/μ-t)/(2αt),根據(jù)式(6)和(7),推導(dǎo)出k(x,t)的計(jì)算公式為k(x,t)={0,x>tvf或x<tvm-ackj2[F(z)]zm1zx2,tvm-a≤x<tvmckj2[F(z)]zx1zx2,tvm≤x≤tvf-ackj2[F(z)]zx1zf2,tvf-a<x≤tvf(8)令G(z)=∫F(z)dz=zF(z)+(1/)exp(-z2),根據(jù)式(8)可計(jì)算車隊(duì)在路段[x1,x2]上分布的車輛數(shù):∫x1x2k(y,t)dy=ckj2∫x1x2[F(z2(y))-F(z1(y))]dy=2ckjμαt2∫z2(x1)z2(x2)F(y)dy-∫z1(x1)z1(x2)F(y)dy=2ckjμαt2[G(z)]z2(x2)z2(x1)-[G(z)]z1(x2)z1(x1)(9)根據(jù)式(8)和(9),A(x,t)和B(x,t)可分如下5種情況進(jìn)行計(jì)算:1)當(dāng)x>tvf時(shí),A(x,t)=0,B(x,t)=∫tvmtvm-ak(y,t)dy+∫tvf-atvmk(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1+ckj2aF(zf2)-ckj2aF(zm1);2)當(dāng)tvf-a<x≤tvf時(shí),A(x,t)=∫xtvfk(y,t)dy=ckj2(tvf-x)F(zf2)-2ckjμαt2[G(z)]zx1zf2,B(x,t)=∫tvm-atvmk(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫xtvf-ak(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zx1zf1-ckj2aF(zm1)+ckj2(x-tvf+a)F(zf2);3)當(dāng)tvm≤x≤tvf-a時(shí),A(x,t)=∫tvf-axk(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zf2zx2-[G(z)]zf1zx1-[G(z)]zf2zf1+ckj2aF(zf2),B(x,t)=∫tvm-atvmk(y,t)dy+∫xtvmk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zx2zm2-[G(z)]zx1zm1-ckj2aF(zm1);4)當(dāng)tvm-a≤x<tvm時(shí),A(x,t)=∫tvmxk(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zx2+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1-ckj2(tvm-x)F(zm1)+ckj2aF(zf2),B(x,t)=∫xtvm-ak(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm1zx2-ckj2(x-tvm+a)F(zm1);5)當(dāng)x<tvm-a時(shí),A(x,t)=∫tvmtvm-ak(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1+ckj2aF(zf2)-ckj2aF(zm1),B(x,t)=0.在t時(shí)刻通過下游位置x的流量模式函數(shù)為q(x,t)=A(x,t)/t=-B(x,t)/t,可根據(jù)式(8)和(9)進(jìn)行計(jì)算:1)當(dāng)x>tvf時(shí),q(x,t)=0;2)當(dāng)tvf-a<x≤tvf時(shí),q(x,t)=(∫xtvfk(y,t)dy)t=ckjvf2F(zf2)-2ckjμα2[G(z)]zx1zf2-cxkjt-12F(zx1);3)當(dāng)tvm≤x≤tvf-a時(shí),q(x,t)=(∫xtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy)t=2ckjμα2[G(z)]zf2zx2-[G(z)]zf1zx1-[G(z)]zf2zf1+ckjt-12[(x+a)F(zx2)-xF(zx1)];4)當(dāng)tvm-a≤x<tvm時(shí),q(x,t)=(∫xtvmk(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy)t=2ckjμα2[G(z)]zm2zx2+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1+c(x+a)kjt-12F(zx2)-ckjvm2F(zm1);5)當(dāng)x<tvm-a時(shí),q(x,t)=0.若x取值為上下游交叉口(可為虛擬交叉口)的停車線位置,則可以定量分析上游交叉口的整個(gè)公交車隊(duì)在綠燈開始后的離散規(guī)律,以及它是如何影響下游交叉口綠燈開啟時(shí)間的設(shè)置的,據(jù)此還可以計(jì)算公交車隊(duì)在交叉口的延誤、停車次數(shù)及排隊(duì)長度等重要交通流參數(shù),為信號協(xié)調(diào)及公交優(yōu)先控制提供依據(jù).2初始信息獲取為了獲取模型參數(shù),筆者在廣州市五山路選擇了雙向四車道(單向二車道)公交車和社會車輛混合運(yùn)行路段開展交通試驗(yàn)調(diào)查,所調(diào)查路段有14條公交線路,高峰期公交車流量占總流量的20%.通過拍攝車輛牌照獲取車輛在路段中的平均行程時(shí)間,經(jīng)轉(zhuǎn)換后可得到平均行程速度.獲取的該路段的初始信息如表1和圖1(a)所示.將該路段分為上段和下段,在上段的中游有一個(gè)公交?？空?所獲取的上段公交車行程時(shí)間包括站點(diǎn)?？空緯r(shí)間和車輛減速加速時(shí)間;L為路段長度;N為樣本數(shù)量.為了得到公交車的平均延誤時(shí)間及上段的公交車行駛速度,根據(jù)上段與下段道路條件的相似性,利用下段的平均行駛速度來估計(jì)上段的平均行駛速度,并用下段的車速范圍衡量上段的合理車速范圍,從而得到上段每輛公交車的行駛速度,再經(jīng)數(shù)據(jù)擬合得到上段的公交車數(shù)據(jù)如下:最小速度為26.6km/h、自由流速度為49.7km/h、速度均值為38.9km/h、速度標(biāo)準(zhǔn)差為6.21km/h、停站延誤25s,所得公交車速分布如圖1(b)所示.3公交車公司的分散特征分析3.1tvm-a/tvf密度分布函數(shù)k(x,t)是車隊(duì)離散規(guī)律分析的基礎(chǔ),分析k(x,t)的變化規(guī)律對信號協(xié)調(diào)及公交優(yōu)先控制應(yīng)用中下游交叉口的綠燈時(shí)間設(shè)置具有價(jià)值.一般情況下,如果設(shè)下游交叉口的綠燈時(shí)間為t0=xd/μ,即上游車隊(duì)車輛以平均速度行駛至下游交叉口時(shí)下游交叉口綠燈時(shí)間開始,則當(dāng)xd=ΔL時(shí),文中模型的公交車隊(duì)于時(shí)間點(diǎn)t=ΔL/vf-10、ΔL/vf、ΔL/μ及(ΔL+a)/vm+Δt在下游斷面x上的密度分布如圖2所示.從圖2可知:①在上游綠燈開始初期,即t∈[0,ΔL/vf)時(shí),車隊(duì)分布在路段[tvm-a,tvf]上,其頭部的車輛還未抵達(dá)下游交叉口斷面x=xd,tvf<xd,k(xd,t)=0;當(dāng)車隊(duì)行駛一段時(shí)間,即t∈[ΔL/vf,(ΔL+a)/vm+Δt)時(shí),開始有車輛通過下游交叉口斷面x=xd,tvm-a≤xd≤tvf,k(xd,t)≠0;再經(jīng)過一段時(shí)間,即t∈[(ΔL+a)/vm+Δt,+∞)時(shí),車隊(duì)尾部的車輛已全部通過下游交叉口斷面x=xd,tvm-a>xd,且k(xd,t)=0.②在t時(shí)刻,整個(gè)公交車隊(duì)的車輛以不同速度v分布在下游路段x(x∈[tvm-a,tvf])上,因?yàn)檐囁倜芏群瘮?shù)服從截?cái)嗾龖B(tài)分布,所以車速在均值附近的車輛數(shù)較多,在速度較大及較小的兩端車輛數(shù)較少,車隊(duì)在該路段中間部分的k(x,t)較大,在路段兩端的k(x,t)逐漸減小.隨著時(shí)間的推移,整個(gè)車隊(duì)在路段[tvm-a,tvf]上的分布越離散,公交車隊(duì)密度函數(shù)k(x,t)的峰值越小.3.2車輛通過下游455.2.2如果初始下游交叉口的綠燈開始時(shí)間設(shè)置為t0=xd/μ,即假設(shè)車隊(duì)以平均速度行駛至下游交叉口時(shí)綠燈啟動,因?yàn)檐囮?duì)頭部車輛的行駛速度大于μ,所以下游交叉口的綠燈開始時(shí)間必須比t0提前一定時(shí)間th才能讓車隊(duì)頭部的車輛通過交叉口,即在t=t0-th時(shí)刻整個(gè)車隊(duì)通過下游交叉口x=xd的車輛數(shù)為A(xd,t0-th).根據(jù)式(3)計(jì)算文中模型的A(xd,t0-th),結(jié)果如表2所示.隨著下游交叉口與上游交叉口之間距離xd的增大,車隊(duì)頭部通過斷面xd的車輛車速的取值范圍[μ+a/t0,vf]逐漸變大,導(dǎo)致A(xd,t0)變大,即需要更多的提前時(shí)間th才能允許車隊(duì)頭部的車輛通過下游交叉口.一般情況,假設(shè)下游交叉口綠燈終止時(shí)間為t0=xd/μ.根據(jù)車隊(duì)離散模型,因?yàn)檐囮?duì)尾部車輛的行駛速度均小于μ,所以該交叉口的綠燈終止時(shí)間必須延長一定時(shí)間tt以讓車隊(duì)尾部的車輛盡可能駛過,即在t=tt+t0時(shí)刻整個(gè)車隊(duì)在下游交叉口x=xd處被截住的車輛數(shù)為B(xd,tt+t0).根據(jù)式(4)計(jì)算文中模型的B(xd,tt+t0),結(jié)果如表3所示.隨著下游交叉口與上游交叉口之間距離xd的增大,B(xd,t0)逐漸變小,因此,需要更多的后延時(shí)間tt才能讓車隊(duì)尾部的車輛盡可能通過下游交叉口.3.3基于q0,t的模式一般情況下,下游交叉口的計(jì)劃綠燈開始時(shí)間設(shè)置為t0=xd/μ.對于不同的x,計(jì)算上游交叉口的車隊(duì)車輛在t