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文檔簡介
1第六章
線性方程組的迭代解法數(shù)值分析——迭代法基本概念2線性方程組迭代解法運算量大,不適合大規(guī)模的線性方程組求解無法充分利用系數(shù)矩陣的稀疏性直接法的缺點:從一個初始向量出發(fā),按照一定的迭代格式,構(gòu)造出一個趨向于真解的無窮序列只需存儲系數(shù)矩陣中的非零元素運算量不超過O(kn2),其中k為迭代步數(shù)迭代法迭代法是目前求解大規(guī)模稀疏線性方程組的主要方法3矩陣分裂迭代法矩陣分裂迭代法基本思想Ax=bk=0,1,2,…給定一個初始向量x(0),可得迭代格式其中
B=M-1N
稱為迭代矩陣
A=M-NMx=Nx
+
bM非奇異A
的一個矩陣分裂4矩陣分裂迭代法k=0,1,2,…定義:若存在,則稱該迭代法收斂,否則稱為發(fā)散性質(zhì):若,則x*
為原方程組Ax=b
的解5向量序列的極限定義:設(shè)向量序列,
,若存在向量,使得i=1,2,…,n則稱向量序列收斂到x,記作定理:6向量序列的極限定理:定理:(其中||·||為任一算子范數(shù))相類似地,可以定義矩陣序列的極限與收斂7收斂性分析基本定理:對任意初始向量x(0),上述迭代格式收斂的充要條件是定理:若存在算子范數(shù)||·
||,使得||B||<1,對任意的初始向量x(0),上述迭代格式收斂。例:考慮迭代法x(k+1)=Bx(k)+f
的收斂性,其中8收斂性分析B=M-1N定理:若存在算子范數(shù)||·
||,使得||B||=q<1,則迭代法收斂
9Jacobi迭代考慮線性方程組Ax=b其中A=(aij)n
n
非奇異,且對角線元素全不為0。將A
分裂成A=D-L-
U,
其中10Jacobi迭代k=0,1,2,…令M=D,N
=L
+U,可得雅可比(Jacobi)迭代方法Jacobi迭代迭代矩陣記為:分量形式:i=1,2,…,
n,k=0,1,2,…A=M-N11Gauss-Seidel迭代寫成矩陣形式:此迭代方法稱為高斯-塞德爾(Gauss-Seidel)迭代法k=0,1,2,…可得迭代矩陣記為:12SOR迭代寫成矩陣形式:可得——SOR(SuccessiveOver-Relaxation)迭代方法迭代矩陣記為:
SOR的優(yōu)點:通過選取合適的
,可獲得更快的收斂速度
SOR的缺點:最優(yōu)參數(shù)的選取比較困難13Jacobi、G-S、SOR
Jacobi迭代
SOR迭代
G-S迭代14舉例例:分別用Jacobi、G-S、SOR迭代解線性方程組取初始向量x(0)=(0,0,0),迭代過程中小數(shù)點后保留4位。解:Jacobi迭代:迭代可得:x(1)=(0.5000,2.6667,-2.5000)Tx(21)=(2.0000,3.0000,-1.0000)T
exJ_GS_SOR.m15舉例G-S迭代:x(1)=(0.5000,2.8333,-1.0833)Tx(9)=(2.0000,3.0000,-1.0000)T迭代可得:16舉例SOR迭代:取
=1.1,迭代可得x(1)=(0.5500,3.1350,-1.0257)Tx(7)=(2.0000,3.0000,-1.0000)T如何確定SOR迭代中的最優(yōu)松弛因子是一件很困難的事17Jacobi迭代收斂的充要條件
(J)<1
G-S迭代收斂的充要條件
(G)<1
SOR迭代收斂的充要條件
(L
)<1收斂性收斂性定理Jacobi迭代收斂的充分條件||J||<1
G-S迭代收斂的充分條件||G||<1
SOR迭代收斂的充分條件||L
||<118對角占優(yōu)矩陣且至少有一個不等式嚴(yán)格成立,則稱A
為弱對角占優(yōu);若所有不等式都嚴(yán)格成立,則稱A
為嚴(yán)格對角占優(yōu)。(i=1,2,...,n)定義:設(shè)ARn
n,若19可約與不可約定義:設(shè)ARn
n,若存在排列矩陣P使得
則稱A
為可約矩陣;否則稱為不可約矩陣。如果A
是可約矩陣,則方程組Ax=b
等價于y即可以把原方程組化成兩個低階的方程組來處理。f20Jacobi、G-S收斂性定理:若A嚴(yán)格對角占優(yōu)或不可約弱對角占優(yōu),則A非奇異定理:若A嚴(yán)格對角占優(yōu)或不可約弱對角占優(yōu),則Jacobi迭代和G-S迭代均收斂定理:若A對稱,且對角線元素均大于0,則Jacobi迭代收斂的充要條件是A與2D-A均正定;G-S迭代收斂的充要條件是A正定。21SOR收斂性定理:若SOR迭代收斂,則0<
<2。SOR收斂的必要條件定理:若A
對稱正定,且0<
<2,則SOR迭代收斂。SOR收斂的充分條件定理:若A
嚴(yán)格對角占優(yōu)或不可弱約對角占優(yōu),且0<
1,則SOR迭代收斂。22舉例例:設(shè),給出Jacobi和G-S收斂的充要條件解:A對稱,且對角線元素均大于0,故(1)Jacobi收斂的充要條件是A和2D-A均正定(2)G-S收斂的充要條件是A正定A
正定2D-A
正定Jacobi收斂的充要條件是:-0.5<a<0.5G-S收斂的充要條件是:-0.5<a<123舉例解法二:Jacobi的迭代矩陣為設(shè)
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