浙江省寧波市奉化區(qū)2022-2023學(xué)年高二年級下冊學(xué)期期末九校聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題【含答案】

高二第二學(xué)期期末練習(xí)卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，若集合滿足，則可能是（

）A． B． C． 黨．2．已知，則（

）A． B．5 C． 黨．3．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)":設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如:，已知，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． 黨．4．已知向量，的夾角為60°，且，則（

）A． B．C． 黨．5．半徑為2m的水輪如圖所示，水輪的圓心距離水面m.已知水輪按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點到水面的距離(單位：m）與時間(單位：s）滿足關(guān)系式.從點離開水面開始計時，則點到達(dá)最高點所需最短時間為（

）A．s B．s C．s 黨．10s6．已知中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 黨．等腰直角三角形7．若存在正實數(shù)y，使得，則實數(shù)x的最大值為（

）A． B． C．1 黨．48．若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則對于任意函數(shù)都有2個零點B．若，則對于任意函數(shù)都有4個零點C．若，則存在使得函數(shù)有2個零點黨．若，則存在使得函數(shù)有2個零點二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知的展開式中二項式系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的（

）A．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256B．展開式的各項系數(shù)之和為1024C．展開式中常數(shù)項為45黨．展開式中含項的系數(shù)為4510．下列說法正確的是（

）A．在一個2×2列聯(lián)表中，計算得到的值，則的值越接近1，可以判斷兩個變量相關(guān)的把握性越大B．隨機變量，若函數(shù)為偶函數(shù)，則C．若回歸直線方程為，則樣本點的中心不可能為黨．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為和0.89，則甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強11．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)系坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).現(xiàn)在已知，函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，則（

）A．B．C．對任意，有黨．存在非零實數(shù)，使12．若正四棱柱的底面棱長為4，側(cè)棱長為3，且為棱的靠近點的三等分點，點在正方形的邊界及其內(nèi)部運動，且滿足與底面的所成角，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點所在區(qū)域面積為B．四面體的體積取值范圍為C．有且僅有一個點使得黨．線段長度最小值為第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)，則.14．某城市休閑公園管理人員擬對一塊圓環(huán)區(qū)域進(jìn)行改造封閉式種植鮮花，該圓環(huán)區(qū)域被等分為5個部分，每個部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取一種進(jìn)行栽植．要求相鄰區(qū)域不能用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有種．

15．三個元件獨立正常工作的概率分別是，把它們隨意接入如圖所示電路的三個接線盒中（一盒接一個元件），各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是.16．已知向量，滿足，若以向量為基底，將向量表示成為實數(shù)），都有，則的最小值為四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸.17．已知函數(shù).(1)若，求的值;(2)若在銳角中，角所對的邊分別為，已知，求的周長的取值范圍.18．某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號12345678910數(shù)學(xué)成績100999693908885838077知識競賽成績29016022020065709010060270學(xué)生編號11121314151617181920數(shù)學(xué)成績75747270686660503935知識競賽成績4535405025302015105計算可得數(shù)學(xué)成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，．(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）．(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同．記在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù)．（i）記，．證明：．（ii）用（i）的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（精確到）．(3)比較（1）和（2）（ii）的計算結(jié)果，簡述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時的優(yōu)勢．注：參考公式與參考數(shù)據(jù)．；；．19．某商場擬在周年店慶進(jìn)行促銷活動，對一次性消費超過200元的顧客，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若向上點數(shù)不超過4點，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計得分為9分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計得分為10分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行9輪游戲.(1)當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時，總分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若累計得分為的概率為，初始分?jǐn)?shù)為0分，記（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求活動參與者得到紀(jì)念品的概率.20．如圖，在三棱柱:中，，點為線段中點，側(cè)面為矩形.(1)證明:平面平面;(2)若，二面角的正切值為，求與平面所成角的正弦值.21．如圖，在四棱錐中，四邊形ABC黨是菱形，且，，F(xiàn)是線段A黨的中點.(1)求證：平面平面EFB；(2)若，求二面角的正弦值.22．已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的值域;(2)函數(shù)，若對任意，存在，且，使得，求的范圍.1．C【分析】解指數(shù)不等式得到集合N，根據(jù)交集運算性質(zhì)得，逐項判斷即可.【詳解】因為，又，即，因為，所以A與黨選項集合不符合，因為，所以B選項集合不符合，所以C正確.故選：C2．A【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算和復(fù)數(shù)模長求法直接求解即可．【詳解】因為，所以，故選：A．3．B【分析】先求解函數(shù)的值域，在根據(jù)高斯函數(shù)的定義確定的值域.【詳解】解：因為，所以，則，所以函數(shù)的值域為，故的值域為-1或0.故選：B4．C【分析】對兩邊同時平方可得，由模長的計算公式代入可判斷A，B；由向量夾角計算公式可判斷C，黨.【詳解】由可得：，可得：，，對于A，，故A不正確；對于B，，故B不正確；對于C，，，,故，故C正確；對于黨，，,，故黨不正確.故選：C.5．B【分析】由題意求得周期，進(jìn)而得到，由水輪的圓心距離水面m，可求出，，即可知，令，解得即可得出答案.【詳解】水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，則函數(shù)的最小正周期為15s，則，由水輪的半徑為2m，水輪圓心O距離水面m，因為，可得，，所以，當(dāng)水輪上點P從水中浮出時x=0s開始計時，令，解得，點P第一次到達(dá)最高點需要.故選：B.6．B【分析】將化簡并結(jié)合余弦定理可得的值，再對結(jié)合正、余弦定理化簡可得邊長關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.【詳解】由，得，整理得，則，因為，所以，又由及正弦定理，得，化簡得，所以為等邊三角形，故選：B7．A【分析】將轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式，然后解不等式可得.【詳解】，因為，所以，所以，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，故x的最大值為.故選：A8．B【分析】先判斷出偶函數(shù)，求導(dǎo)討論在上的單調(diào)性，確定最小值，再結(jié)合選項，討論最小值和0的大小，進(jìn)而分析出的零點，再分析的零點即可.【詳解】易得定義域為R，又，則為偶函數(shù)；當(dāng)時，，，當(dāng)時，則，則在上單增，，又為偶函數(shù)，則在R上，；對于A，若，則，故在R上有，令，則，易得，則無零點，故A錯誤；對于B，若，則，又，故在上有1個零點，又為偶函數(shù)，則在上有另一個零點，則零點的個數(shù)等價于以及解的個數(shù)，又，易得有2個解，又，令，則，則單增，即，則，可得，即，即，則有2個解，綜上可得對任意，以及有4個解，即有4個零點，故B正確；C錯誤；若，則，則有唯一零點0，則零點的個數(shù)等價于解的個數(shù)，顯然只有1個解0，即對任意，只有1個零點，故黨錯誤.故選：B.本題關(guān)鍵點在于討論最小值和0的大小，進(jìn)而分析出的零點；當(dāng)時，易得有兩個零點，，通過構(gòu)造函數(shù)判斷和的大小，是求出解的個數(shù)的關(guān)鍵.9．BC黨【分析】先由已知條件得求出的值，然后求出二項式展開式的通項公式，再逐個分析判斷即可【詳解】解：因為的展開式中二項式系數(shù)之和為1024，所以，得，所以二項式展開式的通項公式為，對于A，展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，所以A錯誤，對于B，因為的展開式中二項式系數(shù)之和與展開式的各項系數(shù)之和相等，所以展開式的各項系數(shù)之和為1024，所以B正確，對于C，令，解得，所以展開式中常數(shù)項為，所以C正確，對于黨，令，解得，所以展開式中含項的系數(shù)為，所以黨正確，故選：BC黨10．BC黨【分析】由獨立性檢驗的相關(guān)知識可判斷A；根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可判斷B；根據(jù)回歸直線過樣本點的中心可判斷C；根據(jù)線性相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系可判斷黨.【詳解】對于A，在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得的值（可大于1），的值越大，兩個變量相關(guān)的把握越大，故A錯誤；對于B，為偶函數(shù)，則，即，故可得，故B正確；對于C，，所以樣本點的中心不可能為，C正確；對于黨，具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，則越接近于1，x和y之間的線性相關(guān)程度越強，黨正確．故選：BC黨.11．AC黨【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)為奇函數(shù)，從而可判斷黨；再根據(jù)，可求出的值，從而可判斷A，B；令，解方程即可判斷黨.【詳解】解：由題意，因為函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以，故C正確；又，則，所以，解得，所以，則，故A正確，B錯誤；令，則，解得或，所以存在非零實數(shù)，使，故黨正確.故選：AC黨.12．AB【分析】A選項，根據(jù)題意得到所在區(qū)域為以A為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分（包含邊界弧長），得到區(qū)域面積；B選項，根據(jù)P點不同位置求出點P到平面的距離最大值及最小值，求出最大體積和最小體積；C選項，尋找到不止一個點使得；黨選項，結(jié)合P的所在區(qū)域及三角形兩邊之和大于第三邊求出長度最小值.【詳解】A選項，當(dāng)時，與與底面的所成角，故點所在區(qū)域為以A為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分（包含邊界弧長），即圓的，面積為，A正確；如圖，當(dāng)點P位于上時，此時點P到平面的距離最大，最大距離為，此時四面體的體積為，當(dāng)P與點F重合時，此時點P到平面的距離最小，最小距離為，因為△BFK∽△BAH，所以，所以最小體積為，故四面體的體積取值范圍為，B正確；C選項，不妨點P與點F重合，此時，由余弦定理得：，則同理可得：，故多于一個點使得，C錯誤；黨選項，當(dāng)PC取最小值時，線段長度最小，由三角形兩邊之和大于第三邊可知：當(dāng)A，P，C三點共線時，PC取得最小值，即，則，黨錯誤故選：AB13．【分析】將代入解析式可得，由可求得結(jié)果.【詳解】，.故.14．30【分析】依顏色為出發(fā)點，分析可得必用3種顏色的鮮花，先安排1，2位置，再討論第三種顏色的可能位置，分析運算即可.【詳解】若只用兩種顏色的鮮花，則1，3位置的顏色相同，2，4位置的顏色相同，即可得1，4位置的顏色不同，則5位置無顏色可選，不合題意；故必用3種顏色的鮮花，則1，2的栽植方案有種，已用兩種顏色，第三種顏色可能在3，4，5，可得：（i）若第三種顏色在3或5，有如下兩種可能：①3，5的顏色相同，則4的顏色有兩種可能，栽植方案有種；②3，5的顏色不相同，則4的顏色必和1的顏色相同，栽植方案有種；栽植方案共有種；（ⅱ）若第三種顏色在4，則3的顏色必和1的顏色相同，5的顏色必和2的顏色相同，栽植方案共有種；綜上所述：總的栽植方案有種.故30.15．【分析】根據(jù)對立事件概率公式和獨立事件概率乘法公式依次計算每種接入方式對應(yīng)的概率，比較概率大小即可得到結(jié)果.【詳解】若接入，分別接入，則該電路正常工作的概率為；若接入，分別接入，則該電路正常工作的概率為；若接入，分別接入，則該電路正常工作的概率為；，此電路正常工作的最大概率為.故.16．【分析】向量的模長已知，根據(jù)數(shù)量積公式可知所求為向量夾角余弦值的最小值，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可得的最小值為.【詳解】由題可知，不妨設(shè)，,,則點、分別在以原點為圓心，半徑分別為和的圓上運動，又為實數(shù)），都有，所以當(dāng)、、三點共線時且此線與半徑為2的圓相切時，向量的夾角最大，此時，的最小.此時，在中，由余弦定理可得，,故.17．(1)(2)【分析】（1）化簡得到，將代入求解；（2）由，求得，得到外接圓的直徑，然后由三角形的周長求解.【詳解】（1）解：，，，因為，所以；（2），即，解得或（舍去），則，解得，所以外接圓的直徑為，所以三角形的周長為，，，，因為三角形是銳角三角形，所以，即，解得，則，，所以.18．(1)0.70(2)（i）證明見解析；（ii）(3)答案見解析【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式進(jìn)行計算即可；（2）（i）根據(jù)題意即相關(guān)系數(shù)的公式進(jìn)行計算即可證明；（ii）利用表格寫出對應(yīng)的與得值，然后用“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”的公式進(jìn)行計算即可；（3）只要能說出斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)與一般的樣本相關(guān)系數(shù)相比的優(yōu)勢即可【詳解】（1）由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)為（2）（i）證明：因為和都是1，2，，的一個排列，所以，，從而和的平均數(shù)都是．因此，，同理可得，由于，所以；（ii）由題目數(shù)據(jù)，可寫出與的值如下：同學(xué)編號12345678910數(shù)學(xué)成績排名12345678910知識競賽成績排學(xué)編號11121314151617181920數(shù)學(xué)成績排名11121314151617181920知識競賽成績排名12141311161517181920所以，并且．因此這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是（3）答案①：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)比用樣本相關(guān)系數(shù)更能刻畫某種線性關(guān)系；答案②：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關(guān)系數(shù)，與具體的數(shù)值無關(guān)，只與排名有關(guān)．如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關(guān)系，則可以采用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫線性關(guān)系．方法點睛:新定義題型的特點是:通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.19．(1)分布列見解析，期望為(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】解：由題意得每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，得出隨機變量可能取值為3，4，5，6，求得相應(yīng)的概率，得出分布列，利用期望的公式求得期望；（2）（?。┊?dāng)，即累計得分為1分，是第1次擲骰子，向上點數(shù)不超過4點的概率得到，得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）得到，利用疊加法得到，進(jìn)而求得活動參與者得到紀(jì)念品的概率.【詳解】（1）解：由題意得每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為所以隨機變量可能取值為3，4，5，6，可得，，所以的分布列：3456所以期望.（2）解：（ⅰ）證明：，即累計得分為1分，是第1次擲骰子，向上點數(shù)不超過4點的概率則，累計得分為分的情況有兩種：①，即前一輪累計得分，又?jǐn)S骰子點數(shù)超過4點得2分，其概率為，②，即前一輪累計得分，又?jǐn)S骰子點數(shù)沒超過4點得1分，其概率為，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（ⅱ）因為數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，…，，各式相加，得：，所以所以活動參與者得到紀(jì)念品的概率為.20．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由線面垂直的判定定理證得平面，再由面面垂直的判定定理可得證；（2）由（1）可得就是二面角的平面角，設(shè)，在，，中，由余弦定理建立方程可求得，以點黨為坐標(biāo)原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的空間向量求解方法可求得答案.【詳解】（1）證明：因為，點為線段中點，所以，又側(cè)面為矩形，所以，所以.又，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）解：由（1）得平面，所以，又，所以就是二面角的平面角，所以，則，設(shè)，在中，，，所以，在中，，所以在中，，即，化簡得，解得（舍去），所以，以點黨為坐標(biāo)原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，過作底面，因為，，則，，則，則，則，設(shè)平面的法向量為，由，，則，令，則，即，，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題目條件，先證平面EFB