湖南省婁底市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

湖南省婁底市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切2．已知直線與圓相交于，兩點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．函數(shù)在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1C.0 D.e4．過點且垂直于直線的直線方程是（）A. B.C. D.5．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（）A.與互為對立事件 B.與互斥C.與相等 D.6．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.8．已知空間向量，則（）A. B.C. D.9．已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．正方體的棱長為，為側(cè)面內(nèi)動點，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.11．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若，，，則（）A. B.C. D.12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于，，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓心坐標(biāo)為圓被直線截得的弦長為，則圓的半徑為______.14．已知、是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________15．在△ABC中，，AB=3，，則________16．如圖，在平行六面體中，設(shè)，N是的中點，則向量_________．（用表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點的直線與橢圓相交于、兩點.(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求的值.18．（12分）我們知道：當(dāng)是圓O：上一點，則圓O的過點的切線方程為；當(dāng)是圓O：外一點，過作圓O的兩條切線，切點分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點弦所在直線方程.請利用上述結(jié)論解決以下問題：已知圓C的圓心在x軸非負(fù)半軸上，半徑為3，且與直線相切，點在直線上，過點作圓C的兩條切線，切點分別為.（1）求圓C的方程；（2）當(dāng)時，求線段AB的長；（3）當(dāng)點在直線上運動時，求線段AB長度的最小值.19．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直交橢圓于兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.20．（12分）某種機械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并估算該種機械設(shè)備使用8年的失效費參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與x軸交于點P．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求的值22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：存在唯一的零點；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因為，所以兩圓相交.故選：A.2、C【解析】求得直線恒過的定點，找出弦長取得最值的狀態(tài)，利用弦長公式求解即可.【詳解】因直線方程為：，整理得，故該直線恒過定點，又，故點在圓內(nèi)，又圓的圓心為則，此時直線過圓心；當(dāng)直線與直線垂直時，取得最小值，此時.故的取值范圍為.故選：.3、A【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值【詳解】由，得，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，故選：A4、A【解析】根據(jù)所求直線垂直于直線，設(shè)其方程為，然后將點代入求解.【詳解】因為所求直線垂直于直線，所以設(shè)其方程為，又因為直線過點，所以，解得所以直線方程為：，故選：A.5、D【解析】利用互斥事件和對立事件的定義分析判斷即可【詳解】因為拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對立，也不相等，，所以ABC錯誤，D正確，故選：D6、A【解析】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，計算三個數(shù)判斷作答.【詳解】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應(yīng)輸出的x值為.故選：A7、C【解析】按照程序框圖的流程進(jìn)行計算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C8、A【解析】求得，即可得出.【詳解】，，，.故選：A.9、A【解析】求出、的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.10、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值【詳解】以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)所以，得，所以因為平面，所以故△面積的最小值為故選：B11、C【解析】根據(jù)向量線性運算法則計算即可.【詳解】故選：C12、D【解析】直線的斜率為，計算，，利用余弦定理得到，化簡知，得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為，，又，由雙曲線定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線，與圓的關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用垂徑定理計算即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，得.故答案為：.14、【解析】先由，根據(jù)橢圓的定義，求出，，再由余弦定理，根據(jù)，即可列式求出離心率.【詳解】因為點在橢圓上，所以，又，所以，因，在中，由，根據(jù)余弦定理可得，解得（負(fù)值舍去）故答案為：.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于?？碱}型.15、3【解析】計算得出，可得出，再利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】∵，，，∴故答案為：3.16、【解析】根據(jù)向量的加減法運算法則及數(shù)乘運算求解即可.【詳解】由向量的減法及加法運算可得，，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】（1）由離心率得到，由橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由題意，得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，再由以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.詳解】(1)由題意知，∴，即，又雙曲線的焦點坐標(biāo)為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，所以，∴，故橢圓的方程為.(2)解：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由得：由得：設(shè)，則，，∴因為以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，所以，.滿足條件故.【點睛】本題主要考查橢圓的方程，以及橢圓的應(yīng)用，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)即可，解決此類問題時，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等求解，屬于?？碱}型.18、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根據(jù)圓圓心和半徑設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求出a；(2)根據(jù)題意寫出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長；(3)根據(jù)題意求出AB經(jīng)過的定點Q，當(dāng)CQ垂直于AB時，AB最短.【小問1詳解】由題，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故圓C方程為；【小問2詳解】根據(jù)題意可知，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離為，故弦長；【小問3詳解】設(shè)，則，又直線方程為：，故直線過定點Q，設(shè)圓心C到直線距離為，則，故當(dāng)最大時，最短，而，故與垂直時最大，此時，，∴線段長度的最小值4.19、(1)(2)點G在以AB為直徑的圓外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得解得所以橢圓E的方程為（Ⅱ）設(shè)點AB中點為由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）設(shè)點，則由所以從而所以不共線，所以銳角.故點G在以AB為直徑的圓外考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點和圓的位置關(guān)系20、（1）答案見解析；（2）；失效費為6.3萬元【解析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線性回歸方程，再代入可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知：因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以與的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（2）∵，∴∴關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機械設(shè)備使用8年的失效費為6.3萬元21、（1）直線l的普通方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程（2）【解析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；（2）利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果【小問1詳解】解：直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，曲線的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為；小問2詳解】直線轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為為參數(shù)），代入，得到，所以，，所以22、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時，求導(dǎo)得到，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，可證得命題成立；（2）當(dāng)且時，不滿足題意，故，又定義域為，講不等式化簡，參變分離后構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性并求出最值，可得實數(shù)的取值范圍【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，由，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；.且，故存在唯一的零點；（2）當(dāng)時，不滿足恒成立，故由定義域為，可得，令，則，