吉林省長春市榆樹市第一高級中學2024屆數(shù)學高二上期末考試模擬試題含解析

吉林省長春市榆樹市第一高級中學2024屆數(shù)學高二上期末考試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．己知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點，直線與C交于D、E兩點，則的最小值為（）A.24 B.22C.20 D.162．已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且的坐標為，則的最小值是A. B.C. D.3．某口罩生產商為了檢驗產品質量，從總體編號為001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的隨機數(shù)表選取10個樣本進行抽檢，選取方法是從下面的隨機數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開始由左向右讀取，則選出的第3個樣本的編號為（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3254．某雙曲線的一條漸近方程為，且焦點為，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.5．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.56．設為數(shù)列的前n項和，且，則=（）A.26 B.19C.11 D.97．設變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（）A. B.0C.6 D.88．已知等差數(shù)列前項和為，若，則的公差為（）A.4 B.3C.2 D.19．已知等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則的值為（）A.30 B.29C.28 D.2710．已知數(shù)列滿足，且，為其前n項的和，則（）A. B.C. D.11．已知直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點（）A. B.C. D.12．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若過點和的直線與直線平行，則_______14．用數(shù)學歸納法證明等式：，驗證時，等式左邊________15．甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)同時從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入對方口袋，共進行了2次這樣的操作后，甲口袋中恰有2個黑球的概率為__________________.16．總書記在2021年2月25日召開的全國脫貧攻堅總結表彰大會上發(fā)表重要講話，莊嚴宣告，在迎來中國共產黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅取得了全面勝利.在脫貧攻堅過程中，為了解某地農村經濟情況，工作人員對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結論中所存確結論的序號是____________①該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%；②該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%；③估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元；④估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若動點在橢圓上，且在第一象限內，點分別為橢圓的左、右頂點，直線分別與橢圓C交于點，過作直線的平行線與橢圓交于點，問直線是否過定點，若經過定點，求出該定點的坐標；若不經過定點，請說明理由.18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx（1）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值.19．（12分）已知，是函數(shù)的兩個極值點.（1）求的解析式；（2）記，，若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍.20．（12分）已知圓C的圓心在直線上，圓心到x軸的距離為2，且截y軸所得弦長為（1）求圓C的方程；（2）若圓C上至少有三個不同的點到直線的距離為，求實數(shù)k的取值范圍21．（12分）已知命題p：“，”為假命題，命題q：“實數(shù)滿足”．若是真命題，是假命題，求的取值范圍22．（10分）如圖1，已知矩形中，，E為上一點且.現(xiàn)將沿著折起，使點D到達點P的位置，且，得到的圖形如圖2.（1）證明為直角三角形；（2）設動點M在線段上，判斷直線與平面位置關系，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由拋物線的性質：過焦點的弦長公式計算可得.【詳解】設直線，的斜率分別為，由拋物線的性質可得，，所以，又因為，所以，所以，故選：A.2、C【解析】由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角∴當最小時，最小，則當和拋物線相切時，最小設切點，由的導數(shù)為，則的斜率為.∴，則.∴，∴故選C點睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質，與焦點、準線有關的問題一般情況下都與拋物線的定義有關，解決這類問題一定要注意點到焦點的距離與點到準線的距離的轉化，這樣可利用三角形相似，直角三角形中的銳角三角函數(shù)或是平行線段比例關系可求得距離弦長以及相關的最值等問題.3、A【解析】按隨機數(shù)表法逐個讀取數(shù)字即可得到答案.【詳解】根據(jù)隨機數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故選出的第3個樣本的編號為148.故選：A.4、D【解析】設雙曲線的方程為，利用焦點為求出的值即可.【詳解】因為雙曲線的一條漸近方程為，且焦點為，所以可設雙曲線的方程為，則，，所以該雙曲線方程為.故選：D.5、C【解析】直線l過定點D(1，1)，當時，弦長最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點，∵，故D在圓C內部，直線l始終與圓相交，當時，直線l被圓截得的弦長最短，，弦長＝.故選：C.6、D【解析】先求得，然后求得.【詳解】依題意，當時，，當時，，，所以，所以.故選：D7、C【解析】畫出可行域，利用幾何意義求出目標函數(shù)最大值.【詳解】畫出圖形，如圖所示：陰影部分即為可行域，當目標函數(shù)經過點時，目標函數(shù)取得最大值.故選：C8、A【解析】由已知，結合等差數(shù)列前n項和公式、通項公式列方程組求公差即可.詳解】由題設，，解得.故選：A9、B【解析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質求解即可【詳解】奇數(shù)項共有項，其和為，∴偶數(shù)項共有n項，其和為，∴故選：B10、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式即可求解.【詳解】由題可知是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：B.11、A【解析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點坐標表示出來，結合的值即可求得答案.【詳解】設直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當時，，即直線l恒過定點，故選：A.12、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩直線的位置關系求解.【詳解】因為過點和的直線與直線平行，所以，解得，故答案為：314、【解析】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟即可解答.【詳解】用數(shù)學歸納法證明等式：，驗證時，等式左邊=.故答案為：.15、【解析】分兩類：兩次都互相交換白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.【詳解】分兩類：①兩次都互相交換白球的概率為；②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率為.故答案為：.16、①②④【解析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項①，②，④，利用平均值的計算方法，即可判斷選項③【詳解】解：對于①，該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率為，故選項①正確；對于②，該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率為，故選項②正確；對于③，估計該地農戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項③錯誤；對于④，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于45萬元至8.5萬元之間，故選項④正確故答案為：①②④三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）過定點，【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點及離心率求出a,b即可；（2）設點，設直線的方程為，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關系，利用條件化簡，結合橢圓方程，求出即可得解.【小問1詳解】由，有，又，所以，橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】設點，設直線的方程為.如圖，聯(lián)立，消有：，韋達定理有：由，所以，又，所以又，所以.又所以有，把代入有：，解得或2，又直線不過右端點，所以，則，所以直線過定點.18、（1）（2）極小值為，無極大值【解析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；（2）根據(jù)導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得出答案.【小問1詳解】解：，則，，即切線的斜率為0，所以曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處曲線的切線方程為；小問2詳解】當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，函數(shù)的極小值為，無極大值.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)極值點的定義，可知方程的兩個解即為，，代入即得結果；（2）根據(jù)題意，將方程轉化為，則函數(shù)與直線在區(qū)間，上有三個交點，進而求解的取值范圍【詳解】解：（1）因為，所以根據(jù)極值點定義，方程的兩個根即為，，，代入，，可得，解之可得，，故有；（2）根據(jù)題意，，，，根據(jù)題意，可得方程在區(qū)間，內有三個實數(shù)根，即函數(shù)與直線在區(qū)間，內有三個交點，又因為，則令，解得；令，解得或，所以函數(shù)在，上單調遞減，在上單調遞增；又因為，，，，函數(shù)圖象如下所示：若使函數(shù)與直線有三個交點，則需使，即20、（1）或；（2）.【解析】（1）設圓心為，由題意及圓的弦長公式即可列方程組，解方程組即可；（2）由題意可將問題轉化為圓心到直線l：的距離，解不等式即可.【詳解】解：（1）設圓心為，半徑為r，根據(jù)題意得，解得，所以圓C的方程為或（2）由（1）知圓C的圓心為或，半徑為，由圓C上至少有三個不同的點到直線l：的距離為，可知圓心到直線l：的距離即，所以，解得所以直線l斜率的取值范圍為21、或【解析】先假設命題、為真，分別求得實數(shù)的取值范圍，再由命題、具體的真假，取實數(shù)的取值范圍或其補集，最終確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】若命題p為真，則“，”為假命題則，恒成立∴恒成立，即∴，∴.若命題q為真，則，即∴∴∵是真命題，是假命題∴命題、必為一真一假.①當p真q假時，∴；②當p假q真時，∴.綜上所述：a的取值范圍是或.22、（1）證明見解析（2）答案