50.阿基米德三角形

PAGEPAGE150.阿基米德三角形 題1：（2005年江西卷，理22題）： 如圖，設(shè)拋物線的焦點為，動點在直線上運動，過作拋物線的兩條切線、，且與拋物線分別相切于、兩點． （1）求的重心的軌跡方程． （2）證明． 題2：（2006全國卷II，理21題）： 已知拋物線的焦點為，、是拋物線上的兩動點，且．過、兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為． （I）證明為定值； （Ⅱ）設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值． 題3：（2007年江蘇卷，理19題）： 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點．一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點． （1）若，求的值； （2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線； （3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由． 上述三道高考試題都涉及到拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形，這個三角形又常被稱為阿基米德三角形，因為阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的．阿基米德三角形有許多有趣的性質(zhì)，上述三題都是某些性質(zhì)的體現(xiàn)，可以預(yù)見，今后圍繞該三角形性質(zhì)的高考試題還會出現(xiàn)，因此對該三角形的性質(zhì)作進(jìn)一步的研究是必要的、有益的．下面給出阿基米德三角形的一些有趣性質(zhì)，證明時均以拋物線為例，且稱弦為阿基米德三角形的底邊，為底邊的中點，下不贅述． 性質(zhì)1：阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸． 證明：設(shè)為弦中點，則過的切線方程為，過的切線方程為，聯(lián)立方程組得解得兩切線交點，進(jìn)而可知軸． 此性質(zhì)即為題3考查內(nèi)容． 性質(zhì)2：若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)定點，則另一頂點的軌跡為一條直線． 證明：設(shè)，由性質(zhì)1， 由、、三點共線和，即，將代入得，即為點的軌跡方程． 性質(zhì)3：拋物線以點為中點的弦平行于點的軌跡． 利用兩式相減法易求得以點為中點的弦的斜率為，因此該弦與點的軌跡即直線平行． 性質(zhì)4：若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點． 證明：如上圖，設(shè)方程為，且，弦過點，由性質(zhì)2可知點的軌跡方程，該方程與表示同一條直線，對照可得，即弦過定點． 性質(zhì)5：底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為． 證明：，設(shè)到的距離為，由性質(zhì)1知，設(shè)直線方程為：，則，，即． 性質(zhì)6：若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為． 證明：由性質(zhì)2，若底邊過焦點，則點軌跡方程為即為準(zhǔn)線；易驗證，即，故此阿基米德三角形為直角三角形，且為直角頂點；，而．性質(zhì)6：即為題2的所涉及性質(zhì)．性質(zhì)7：在阿基米德三角形中，． 證明：如圖，作準(zhǔn)線，準(zhǔn)線，連接，則，顯然，又，由三角形全等可得，，，，同理可證，，即，，，結(jié)論得證． 此性質(zhì)即題1的結(jié)論，但原解答采用代數(shù)法相當(dāng)復(fù)雜，這里給出的幾何法簡潔明了． 性質(zhì)8：在拋物線上任取一點（不與、重合），過作拋物線切線交于，則的垂心在準(zhǔn)線上． 證明：設(shè)，易求得過的切線交點，過向引垂線，其方程為，它和拋物線準(zhǔn)線的交點縱坐標(biāo)為，顯然這個縱坐標(biāo)是關(guān)于對稱的，因此從點向引垂線，從點向引垂線，它們與準(zhǔn)線的交點也是上述點，故結(jié)論得證． 性質(zhì)9：． 證明： ， 而． 性質(zhì)10：的中點在拋物線上，且處的切線與平行． 證明：由性質(zhì)1知，易得點坐標(biāo)為，此點顯然在拋物線上；過的切線的斜率為，結(jié)論得證． 性質(zhì)11：在性質(zhì)8中，連接、，則的面積是面積的2倍． 證明：如圖，這里出現(xiàn)了三個阿基米德三角形，即；應(yīng)用阿基米德三角形的性質(zhì)：弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的；設(shè)與拋物線所圍面積為與拋物線所圍面積為與拋物線所圍面積為，則 性質(zhì)12：在拋物線中