高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）選修二4.2等差數(shù)列同步練習(xí)（答案＋解析）

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4.2等差數(shù)列

一、單選題

1．（2023高二上·洛南月考）等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．是中的最大值B．是中的最小值

C．=0D．=0

2．（2023·漯河模擬）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則取得最大值時(shí)（）

A．14B．15C．16D．17

3．（2023高三上·溫州月考）設(shè)公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）

A．1B．2C．3D．4

4．（2023·浙江模擬）已知等差數(shù)列，公差，記，則下列等式不可能成立的是（）

A．B．C．D．

5．（2022高二上·廣東期末）圖1是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是（）

A．66B．91C．107D．120

6．（2023高一下·杭州期中）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則下列數(shù)中恒為常數(shù)的是（）

A．B．C．D．

7．（2023高三上·襄陽(yáng)月考）已知為等差數(shù)列，，，的前n項(xiàng)和為，則使得達(dá)到最大值的是（）

A．19B．20C．21D．22

8．（2023高二上·北京月考）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，是（）

A．5B．5C．2.5D．2.5

9．（2023高二上·林州月考）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若，，則數(shù)列的最小項(xiàng)是

A．第6項(xiàng)B．第7項(xiàng)C．第12項(xiàng)D．第13項(xiàng)

10．（2023高二上·柯橋期末）數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和．若對(duì)任意的，都有，則的值不可能是（）

A．B．2C．D．3

11．（2023高二上·榆林月考）在等差數(shù)列中，，，則的前10項(xiàng)和為（）

A．-80B．-85C．-88D．-90

12．（2023高一下·諸暨期中）已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（）

A．2B．3C．5D．4

13．（2023高一下·蕪湖期末）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）

A．B．C．D．

14．（2023·貴港模擬）已知數(shù)列滿足，其中、為常數(shù)，則“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

15．（2023高三上·包頭開(kāi)學(xué)考）若數(shù)列中，，，則（）

A．136B．144C．162D．170

16．（2023高二上·商丘期末）已知數(shù)列滿足，，則（）

A．B．C．12D．21

17．（2023高二下·興寧期中）已知f(n)＝，則（）

A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝

B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝

C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝

D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝

18．（2023·滄縣模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）

A．21B．11C．-21D．0

19．（2023高二上·上海月考）在等差數(shù)列中，設(shè)，則是的（）

A．充分非必要條件B．必要非充分條件

C．充要條件D．既非充分非必要條件

20．（2023高二上·武漢期末）已知等差數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（）

A．15B．16C．20D．30

二、解答題

21．（2023·朝陽(yáng)模擬）在等差數(shù)列中，已知,.

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）求.

22．（2023高二上·安徽月考）已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，1，.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

23．（2022·內(nèi)江模擬）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中．

問(wèn)題：已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，▲，是否存在正整數(shù)m，n，，使得成立？若存在，求出正整數(shù)m，n滿足的關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．

24．（2023高二上·汕尾期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.

（1）求等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差；

（2）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求出其前項(xiàng)和.

25．（2023高一下·公主嶺期末）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，公差，且，.

（1）求等差數(shù)列的公差；

（2）若，求的最大值.

26．（2022·武漢模擬）公差不為零的等差數(shù)列滿足，.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）記的前項(xiàng)和為，求使成立的最大正整數(shù).

27．（2023高三上·通州期中）已知數(shù)列的前6項(xiàng)依次成等比數(shù)列，設(shè)公比為q（），數(shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)依次為等差數(shù)列，其中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.

（1）求公比q及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求項(xiàng)數(shù)n的取值范圍.

28．（2023高一上·運(yùn)城期中）等差數(shù)列{}中，.

（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.

29．（2023高二下·福田月考）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.

（1）求的公差；

（2）求的最大值.

30．（2023高一下·上饒期末）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求的最大值．

答案解析部分

1．【答案】D

【解析】【解答】設(shè)由，知所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸為所以

故答案為：D。

【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式結(jié)合已知條件求出等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為二次函數(shù)并求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，再利用二次函數(shù)求最值的方法和二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，從而求出二次函數(shù)的最值和等差數(shù)列前60項(xiàng)的值，從而選出正確的選項(xiàng)。

2．【答案】A

【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，

解得，故，

故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，取最大值.

故答案為：A.

【分析】利用已知條件算出基本量后可得等差數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的符號(hào)可得何時(shí)取最大值.

3．【答案】B

【解析】【解答】因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

即，

解得，

故答案為：B.

【分析】由，直接利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解，即可得到答案。

4．【答案】D

【解析】【解答】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，

所以，

對(duì)于A：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，A正確，不符合題意；

對(duì)于B：，，

所以，B正確，不符合題意；

對(duì)于C：若，則，整理得，

因?yàn)椋裕?/p>

所以當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)C正確，不符合題意；

對(duì)于D：若，則，

所以，

所以，

解得，不滿足，D錯(cuò)誤，符合題意.

故答案為：D

【分析根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.

5．【答案】D

【解析】【解答】因?yàn)閳D1有1個(gè)小正方體，圖2有1+5=6個(gè)小正方體，圖3有1+5+9=15個(gè)小正方體，

歸納可得：第n個(gè)疊放圖形中共有n層，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以4為公比的等差數(shù)列，

所以第n個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是，

第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是，

故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得出第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)。

6．【答案】D

【解析】【解答】解：在等差數(shù)列中，

∵，

∴（10a1+20d）-13（a1+3d）+5（a1+7d）=10，

則2a1+16d=10，所以a1+8d=5，則a9=5，

所以S17=17×（a1+a17）=17a9=85為定值，

故答案為：D．

【分析】利用已知條件，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，從而求出等差數(shù)列第九項(xiàng)的值，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，從而求出S17=17×（a1+a17）=17a9=85為定值，進(jìn)而得出恒為常數(shù)的選項(xiàng)。

7．【答案】B

【解析】【解答】因?yàn)闉榈葦?shù)列，所以所以，而.

可得，，由“，得，所以最大。

故答案為：B．

【分析】聯(lián)立方程即可求出，，即可寫(xiě)出，要使達(dá)到最大值，即，解出即可。

8．【答案】C

【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

因?yàn)?，，所以，?

由可得，所以，.

所以.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)條件先求解首項(xiàng)和公差，結(jié)合求和公式及通項(xiàng)公式可求.

9．【答案】B

【解析】【解答】由題由題意S12＞0，S13＜0，

得a1+a12=a6+a7＞0，a1+a13=2a7＜0，

所以a6＞0，a6＞|a7|，

所以|a7|最?。?/p>

故答案為：B．

【分析】由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合條件可判斷a6＞0，a6＞|a7|，進(jìn)而可得解.

10．【答案】A

【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和．對(duì)任意的，都有，

所以，即，解得，

則當(dāng)時(shí)，，不成立；

當(dāng)時(shí)，，成立；

當(dāng)時(shí)，，成立；

當(dāng)時(shí)，，成立；

所以的值不可能是，

故答案為：A.

【分析】由等差數(shù)數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)出，由此能求出的值不可能的值。

11．【答案】A

【解析】【解答】設(shè)的公差為，則，，所以，，前10項(xiàng)和為.

故答案為：A

【分析】由題意利用等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，求出的前10項(xiàng)和。

12．【答案】C

【解析】【解答】∵數(shù)列{an}和{bn}均為等差數(shù)列，

且其前n項(xiàng)和An和Bn滿足，

則，

又，

驗(yàn)證知，當(dāng)n=1，2，3，5，11時(shí)，為整數(shù)，

故答案為：C.

【分析】由已知條件結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得到與n的關(guān)系式，再利用驗(yàn)證法得出當(dāng)n=1，2，3，5，11時(shí)，為整數(shù)，即可求出正整數(shù)n的個(gè)數(shù)。

13．【答案】B

【解析】【解答】因?yàn)?，化?jiǎn)得，

所以.

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式代入數(shù)值，結(jié)合已知條件代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

14．【答案】A

【解析】【解答】充分性：若，則，可得，此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，即充分性成立；

必要性：取，則，則，此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，即必要性不成立.

因此，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分不必要條件.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，分析可得若“p=1”，則“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”，反之不一定成立，由充分必要條件的定義分析可得答案.

15．【答案】B

【解析】【解答】令，故

因此數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列

因此

則

故答案為：B

【分析】利用賦值法結(jié)合已知條件，得出，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而推出數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，從而求出的值。

16．【答案】A

【解析】【解答】正項(xiàng)數(shù)列滿足，，所以，

可得，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，

所以，所以，

故答案為：A．

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，得到是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.

17．【答案】D

【解析】【解答】f（n）=+++…+．表達(dá)式中共有n2-n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=．

故選D．

【分析】的分母是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，由題可知，共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，的分母分別為2,3,4即可得出答案．

18．【答案】D

【解析】【解答】由，得，

所以，則，

所以.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)等差數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求解。

19．【答案】D

【解析】【解答】若等差數(shù)列為

則當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，所以非充分條件

當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，所以非必要條件

綜上可知，是的既非充分非必要條件

故答案為：D.

【分析】舉出特殊數(shù)列的例子，即可排除選項(xiàng)。

20．【答案】A

【解析】【解答】等差數(shù)列中，，解得，而，

所以數(shù)列的前5項(xiàng)和.

故答案為：A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

21．【答案】解：（I）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，,所以

解得.則,.

（II）構(gòu)成首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.

則

【解析】【分析】（I）將已知條件轉(zhuǎn)為關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解方程組求出，進(jìn)而可求通項(xiàng)公式；（II）由已知可得構(gòu)成首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.

22．【答案】（1）解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，則，，，

所以，即，

解得，

所以

所以，

所以

（2）解：因?yàn)椋?/p>

所以，

所以的前項(xiàng)和

，

，

.

【解析】【分析】（1）根據(jù)，代入已知條件，求出的值，再計(jì)算出公差，得到的通項(xiàng)公式；（2）寫(xiě)出的通項(xiàng)，然后根據(jù)分組求和的方法，計(jì)算出其前項(xiàng)和，得到答案.

23．【答案】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

若選擇條件①：∵，∴，

即，

又∵，即，∴，得，，

當(dāng)時(shí)，，

∴，即，

∵，∴，

∴存在正整數(shù)m，n，當(dāng)時(shí)，使得成立.

若選擇條件②：∵，∴，∴，

由，即，可得，

當(dāng)時(shí)，，

∴，即，

∵，∴，

∴存在正整數(shù)m，n，當(dāng)時(shí)，使得成立.

若選擇條件③：∵，∴，

即，即，

又∵，即，∴，，

當(dāng)時(shí)，，

∴，即，

∵，∴，

∴存在正整數(shù)m，n，當(dāng)時(shí)，使得成立.

【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，分別選擇①，②，③，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式即可求出正整數(shù)m，n滿足的關(guān)系。

24．【答案】（1）解：由題意可得，解得.

（2）證明：由（1）可知，所以，故.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

因此數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為.

所以等差數(shù)列的前項(xiàng)和.

【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，即可解得；

（2）由（1）可知，所以，故，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，再利用等差數(shù)列的求和公式可求得.

25．【答案】（1）解：由題意，得

解得，

又，

所以.

（2）解：由（1）知

所以，整理得，

所以，又，

所以的最大值為15.

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出公差的取值范圍，再利用已知條件，進(jìn)而求出等差數(shù)列的公差。

（2）利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合一元二次不等式求解集的方法，進(jìn)而求出n的取值范圍，再利用，進(jìn)而求出n的最大值。

26．【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由得：，解得：，

.

（2）解：由（1）得：，

若，，即，

解得：；

成立的最大正整數(shù).

【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為的公差為，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；

（2）由等差數(shù)列求和公式可求得，由可構(gòu)造不等式組求得的范圍，由此可得結(jié)果.

27．【答案】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則

∵從第5項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)依次為等差數(shù)列，∴

∵，∴，解得或

∵數(shù)列為非常數(shù)列，∴

當(dāng)