江蘇省蘇州市吳江區(qū)震澤中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

江蘇省蘇州市吳江區(qū)震澤中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知條件，條件表示焦點在x軸上的橢圓，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件2．若隨機(jī)事件滿足，，，則事件與的關(guān)系是（）A.互斥 B.相互獨立C.互為對立 D.互斥且獨立3．設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.4．已知p、q是兩個命題，若“（￢p）∨q”是假命題，則（）A.p、q都是假命題 B.p、q都是真命題C.p是假命題q是真命題 D.p是真命題q是假命題5．（）A. B.C. D.6．焦點在軸的正半軸上，且焦點到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.7．已知，，則（）A. B.C. D.8．等差數(shù)列x，，，…的第四項為()A.5 B.6C.7 D.89．已知向量，若，則（）A. B.5C.4 D.10．下列命題是真命題的個數(shù)為（）①不等式的解集為②不等式的解集為R③設(shè)，則④命題“若，則或”為真命題A1 B.2C.3 D.411．若函數(shù)，則單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列中，前項和為，且點在直線上，則=A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的右焦點為，過原點的直線與橢圓交于兩點、，則的面積的最大值為___________.14．某人實施一項投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項目.已知2020年他的工資是10萬元，預(yù)計未來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當(dāng)年的投資收益自動轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應(yīng)有__________萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）15．某教師組織本班學(xué)生開展課外實地測量活動，如圖是要測山高.現(xiàn)選擇點A和另一座山頂點C作為測量觀測點，從A測得點M的仰角，點C的仰角，測得，，已知另一座山高米，則山高_(dá)______米.16．平面內(nèi)n條直線兩兩相交，且任意三條直線不過同一點，將其交點個數(shù)記為，若規(guī)定，則，，_________，_________，（用含n的式子表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是函數(shù)的一個極值點.（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.18．（12分）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在棱，上，且，（1）證明：點在平面BEF內(nèi)；（2）若，，，求直線與平面BEF所成角的正弦值19．（12分）在矩形中，是的中點，是上，，且，如圖，將沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并說明理由；（2）若，求證：平面平面；（3）若是線段的中點，求證：直線平面；20．（12分）已知橢圓的一個頂點恰好是拋物線的焦點，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點P，若橢圓C上有兩個點A，B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸，且點B與點A的橫坐標(biāo)之差為，求直線AP的方程.21．（12分）某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、.（1）估計該班本次測試的平均分；（2）在、中按分層抽樣的方法抽取個數(shù)據(jù)，再從這個數(shù)據(jù)中任抽取個，求抽出個中至少有個成績在中的概率.22．（10分）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標(biāo)原點（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)條件，求得a的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因為條件表示焦點在x軸上的橢圓，所以，解得或，所以條件是條件q：或的充分不必要條件.故選：A2、B【解析】利用獨立事件，互斥事件和對立事件的定義判斷即可【詳解】解：因為，，又因為，所以有，所以事件與相互獨立，不互斥也不對立故選：B.3、D【解析】由拋物線的焦點可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程【詳解】由題可知，拋物線焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得故選：【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】由已知可得￢p，q都是假命題，從而可分析判斷各選項【詳解】∵“（￢p）∨q”是假命題，∴￢p，q都是假命題，∴p真，q假，故選：D.5、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.6、A【解析】直接由焦點位置及焦點到準(zhǔn)線的距離寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由焦點在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點到準(zhǔn)線的距離為，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A.7、C【解析】利用空間向量的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】因為，，所以，故選：C.8、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出x，求出公差，即可求出第四項.【詳解】由題可知，等差數(shù)列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四項為－1＋(4－1)×2＝5.故選：A.9、B【解析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得.【詳解】由于，所以.故選：B10、B【解析】舉反例判斷A，解一元二次不等式確定B，由導(dǎo)數(shù)的運算法則求導(dǎo)判斷C，利用逆否命題判斷D【詳解】顯然不是的解，A錯；，B正確；，，C錯；命題“若，則或”的逆否命題是：若且，則，是真命題，原命題也是真命題，D正確真命題個數(shù)2.故選：B11、C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，令解不等式即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)，所以，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.12、C【解析】點在一次函數(shù)上的圖象上，，數(shù)列為等差數(shù)列，其中首項為，公差為，，數(shù)列的前項和，，故選C考點：1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析可知點、關(guān)于原點對稱，可知當(dāng)、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值.【詳解】橢圓中，，，則，則，由題意可知，、關(guān)于原點對稱，當(dāng)、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值，且最大值為.故答案為：.14、24【解析】根據(jù)條件求得每一年投入在最終結(jié)算時的總收入，利用錯位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結(jié)算時的收入為，2022年的投入在結(jié)算時的收入為，，2030年的投入在結(jié)算時的收入為，則結(jié)算時的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則，故答案為：2415、【解析】利用正弦定理可求出各個三角形的邊長，進(jìn)而求出山高.【詳解】解：在中，，，，可得在中，，所以由正弦定理可得：即，得在直角中，所以故答案為：.16、①.6；②..【解析】利用第條直線與前條直線相交有個交點得出與的關(guān)系后可得結(jié)論【詳解】第4條直線與前三條直線有3個交點，因此，同理，由此得到第條直線與前條直線相交有個交點，所以，即所以故答案為：6；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3（2），【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點可得導(dǎo)數(shù)的零點，從而可求實數(shù)的值；（2）由（1）可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可求最值.【小問1詳解】，是的一個極值點,.，，此時，令，解劇或，令，解得，故為的極值點，故.【小問2詳解】由（1）可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，.又18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)、、、AC與BD的交點為O，由直四棱柱的性質(zhì)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定、的坐標(biāo)可得，即可證結(jié)論.（2）由題設(shè)，求出、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求得面BEF的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面BEF所成角的正弦值【小問1詳解】由題意，，設(shè)，，，設(shè)AC與BD的交點為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以BD，AC所在直線為x，y軸建立如下空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，得，即，因此點在平面BEF內(nèi)【小問2詳解】由（1）及題設(shè)，，，，，所以，，設(shè)為平面BEF的法向量，則，令，即設(shè)直線與平面BEF所成角為，則19、（1）為二面角的平面角，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）根據(jù)，結(jié)合二面角定義得到答案.（2）證明平面得到，得到平面，得到證明.（3）延長，交于點，連接，證明即可.【小問1詳解】連接，則，，故為二面角的平面角.【小問2詳解】，，，故平面，平面，故，又，，故平面，平面，故平面平面.【小問3詳解】延長，交于點，連接，易知，故故是的中點，是線段的中點，故，平面，且平面，故直線平面.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點坐標(biāo)，同理可得B點坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點為，則橢圓C的一個頂點為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點，設(shè)直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設(shè)，，直線AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點，∴，即.把換成，得.∴，解得，當(dāng)時，直線BP的方程為，經(jīng)驗證與橢圓C相切，不符合題意；當(dāng)時，直線BP的方程為，符合題意.∴直線AP得方程為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：兩條直線關(guān)于直線對稱，兩直線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù).21、（1）；（2）.【解析】（1）將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得的值；（2）分析可知，所抽取的個數(shù)據(jù)中，成績在內(nèi)的有個，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有個，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖可得.【小問2詳解】解：因為數(shù)學(xué)成績在、內(nèi)的頻率分別為、，所以，所抽取的個數(shù)據(jù)中，成績在內(nèi)的有個，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有個，分別記為、，從這個數(shù)據(jù)中，任取抽取個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個，其中，事件“抽出個中至少有個成績在中”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共個，故所求概率為.22、(1)；（2），a的取值范圍為.【解析】（1）先連結(jié)，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，