浙江省杭州市蕭山區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬卷03（含解析）

第第頁浙江省杭州市蕭山區(qū)2023—2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬卷03（含解析）保密★啟用前

浙江省杭州市蕭山區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷03

范圍：1-3章滿分：120分考試時(shí)間：120分鐘

姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

題號(hào)一二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

評(píng)卷人得分

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填寫在括號(hào)內(nèi)）

1．己知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象大致是（）

A．B．C．D．

2．將拋物線向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移2個(gè)單位長度后，得到的拋物線的解析式為（）

A．B．C．D．

3．連續(xù)擲一枚硬幣100次，前99次都是正面向上，則第100次出現(xiàn)正面向上的概率為（）

A．1B．C．D．

4．在⊙O中，半徑為5，圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)B．點(diǎn)P在⊙O上C．點(diǎn)P在⊙O外D．不能確定

5．從標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，20的20張卡片中任意抽取一張，下列事件中，可能性最大的是（）

A．卡片上的數(shù)字是質(zhì)數(shù)B．卡片上的數(shù)字是2的倍數(shù)C．卡片上的數(shù)字是合數(shù)D．卡片上的數(shù)字是3的倍數(shù)

6．下列命題中是真命題的是（）

A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓；B．平分弦的直徑平分弦所對(duì)的??；

C．相等的弦所對(duì)的圓心角相等；D．相等的弧所對(duì)的圓心角相等

7．一個(gè)乒乓球從光滑斜面自由滾下的路程y（米）與時(shí)間x（秒）的平方成正比例，當(dāng)乒乓球滾下3米時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為1.5秒，當(dāng)秒時(shí)，乒乓球所經(jīng)過的路程為（）

A．2米B．米C．米D．米

8．如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

9．如圖，C是以為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連接，，分別以，為直徑向外作半圓，，的中點(diǎn)分別為D，E，連接，，若要求出的長，只需知道（）

A．的長B．的長C．的長D．的長

10．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

A．B．方程的根為，

C．當(dāng)時(shí)，隨值的增大而減小D．當(dāng)時(shí)，

第II卷（非選擇題）

未命名

評(píng)卷人得分

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)將正確答案填寫在橫線上）

11．如圖，為的直徑，點(diǎn)C在上，且，過點(diǎn)C的弦與線段相交于點(diǎn)E，滿足，連接，則°．

12．已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量x的值滿足時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為，則a的值為．

13．設(shè)二次函數(shù)．點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且，則（1）．（用t的代數(shù)式表示）；（2）t的取值范圍為．

14．在下列事件中，必然事件是．

①、在足球賽中，弱隊(duì)?wèi)?zhàn)勝強(qiáng)隊(duì)；

②、任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是；

③、拋擲一枚硬幣，落地后反面朝上；

④、在地面上向空中拋擲一石塊，石塊終將落地．

15．如圖是的直徑，C，D是上的兩點(diǎn)，若，則．

16．某品牌水果凍的高為3cm，底面圓的直徑為4cm，兩個(gè)水果凍倒裝在一個(gè)長方體盒子內(nèi)，如圖為橫斷示意圖，水果凍的截面可以近似地看成兩條拋物線．以左側(cè)拋物線的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

（1）以O(shè)為頂點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是．

（2）制作該長方體盒子所需紙張面積最小值是cm2．（不計(jì)重疊部分）

評(píng)卷人得分

三、解答題

三、解答題（本大題共7小題，共66分．第17題6分；第18題8分；第19題8分；第20題10分；第21題10分；第22題12分；第23題12分；解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．某經(jīng)銷商銷售2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物印章擺件，每個(gè)進(jìn)價(jià)60元，若定價(jià)為100元時(shí)，一天可以銷售20個(gè)，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，減少庫存，商家決定采取降價(jià)措施．若一個(gè)擺件每降價(jià)1元，平均每天可多售出2個(gè)，設(shè)每個(gè)擺件降價(jià)x元時(shí)，商家一天可獲利潤y元．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該商家要獲得最大利潤，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)多少元？

(3)小顏說：“當(dāng)每天的利潤最大時(shí)，當(dāng)天的銷售額也最大．”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由．

18．籠子里關(guān)著一只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開．松鼠要先經(jīng)過第一道門（A，B，或C），再經(jīng)過第二道門（D或E）才能出去．

(1)請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法，表示松鼠走出籠子的所有可能路線（經(jīng)過的兩道門）．

(2)求松鼠經(jīng)過E門出去的概率．

19．如圖，已知為的一段弧，請(qǐng)根據(jù)要求畫出圖形．

(1)在圖中找出的圓心O，并畫出完整的圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）．

(2)點(diǎn)A在上，在上找一點(diǎn)P，使得是直角三角形，且

20．如圖，在中，，P點(diǎn)在上，從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括C點(diǎn)），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為；Q點(diǎn)在上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)（不包括A點(diǎn)），速度為．若點(diǎn)P，Q分別從B、C同時(shí)運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)解答下面的問題，并寫出探索的主要過程：

(1)經(jīng)過多少時(shí)間后，P，Q兩點(diǎn)的距離最短，最短距離是多少？

(2)經(jīng)過多少時(shí)間后，的面積最大，最大面積是多少？

21．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和兩點(diǎn)，且拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

(1)若點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，求拋物線解析式及A、B、C坐標(biāo)；

(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)P是A、C之間拋物線上一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若，且，求a的取值范圍．

22．在正方形中，、為平面上兩點(diǎn)．

【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，且，，三點(diǎn)共線，求證：；

【類比應(yīng)用】

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在正方形外部時(shí)，，，且、、三點(diǎn)共線，若，，求點(diǎn)到直線的距離；

【拓展遷移】

(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在正方形外部時(shí)，，，，且，，三點(diǎn)共線，與交于點(diǎn)，若，，求正方形的邊長．

23．某龍舟隊(duì)進(jìn)行500米直道訓(xùn)練，全程分為啟航，途中和沖刺三個(gè)階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程與時(shí)間的近似函數(shù)圖象．啟航階段的函數(shù)表達(dá)式為；途中階段勻速劃行，函數(shù)圖象為線段；在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為．

(1)求出啟航階段關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式（寫出自變量的取值范圍），

(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s．

①當(dāng)時(shí)，求出此時(shí)龍舟劃行的總路程，

②在距離終點(diǎn)125米處設(shè)置計(jì)時(shí)點(diǎn)，龍舟到達(dá)時(shí)，視為達(dá)標(biāo)，請(qǐng)說明該龍舟隊(duì)能否達(dá)標(biāo)；

(3)沖刺階段，加速期龍舟用時(shí)1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點(diǎn).求該龍舟隊(duì)完成訓(xùn)練所需時(shí)間（精確到0.01s）．保密★啟用前

浙江省杭州市蕭山區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷03

范圍：1-3章滿分：120分考試時(shí)間：120分鐘

姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

題號(hào)一二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

評(píng)卷人得分

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填寫在括號(hào)內(nèi)）

1．己知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象大致是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖象求出，，再根據(jù)一次函數(shù)圖象與其系數(shù)的關(guān)系判斷出一次函數(shù)經(jīng)過的象限即可得到答案．

【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

∴，

∴，

∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

∴四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)符合題意，

故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合判斷，正確根據(jù)二次函數(shù)推出，是解題的關(guān)鍵．

2．將拋物線向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移2個(gè)單位長度后，得到的拋物線的解析式為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：將拋物線向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移2個(gè)單位長度后，

得到的拋物線的解析式為，即，

故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟知二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

3．連續(xù)擲一枚硬幣100次，前99次都是正面向上，則第100次出現(xiàn)正面向上的概率為（）

A．1B．C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)概率的意義，即可解答．

【詳解】解：擲一枚硬幣會(huì)出現(xiàn)正面朝上和反面朝上兩種等可能的情況，

第100次出現(xiàn)正面向上的概率為．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了概率的意義，概率公式，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．

4．在⊙O中，半徑為5，圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)B．點(diǎn)P在⊙O上C．點(diǎn)P在⊙O外D．不能確定

【答案】B

【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長，再與的半徑為5相比較即可．

【詳解】解：的坐標(biāo)為，

，

的半徑為5，

點(diǎn)P在上．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟知點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系．

5．從標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，20的20張卡片中任意抽取一張，下列事件中，可能性最大的是（）

A．卡片上的數(shù)字是質(zhì)數(shù)B．卡片上的數(shù)字是2的倍數(shù)C．卡片上的數(shù)字是合數(shù)D．卡片上的數(shù)字是3的倍數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)可能性最大的是就是符合條件的卡片最多的求解即可．

【詳解】解：A、卡片上的數(shù)字是質(zhì)數(shù)的有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8張；

B、卡片上的數(shù)字是2的倍數(shù)有：，，，，，，，，，，共10張；

C、卡片上的數(shù)字是合數(shù)有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11張；

D、卡片上的數(shù)字是3的倍數(shù)有：，，，，，，共6張．

∵，

∴卡片上的數(shù)字是合數(shù)可能性最大．

故選：C．

【點(diǎn)睛】可能性大小的比較：只要總情況數(shù)目相同，誰包含的情況數(shù)目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那么它們的可能性就相等．

6．下列命題中是真命題的是（）

A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓；B．平分弦的直徑平分弦所對(duì)的??；

C．相等的弦所對(duì)的圓心角相等；D．相等的弧所對(duì)的圓心角相等

【答案】D

【分析】根據(jù)確定圓的條件，垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系即可判斷．

【詳解】解：、三點(diǎn)確定一個(gè)圓，是假命題，應(yīng)該是不在同一直線上三點(diǎn)確定一個(gè)圓；

、平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弧，是假命題，條件是此弦非直徑；

、在同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓心角對(duì)應(yīng)相等，故此命題是假命題

、相等的弧所對(duì)的圓心角相等，真命題．

故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理、確定圓的條件，圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．

7．一個(gè)乒乓球從光滑斜面自由滾下的路程y（米）與時(shí)間x（秒）的平方成正比例，當(dāng)乒乓球滾下3米時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為1.5秒，當(dāng)秒時(shí)，乒乓球所經(jīng)過的路程為（）

A．2米B．米C．米D．米

【答案】B

【分析】先由待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，再代入即可求出結(jié)論．

【詳解】解：設(shè)，

將代入上式得：,

解得：，

則函數(shù)的表達(dá)式為：，

當(dāng)時(shí)，，

即乒乓球所經(jīng)過的路程是米，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，確定函數(shù)表達(dá)式是本題解題的關(guān)鍵．

8．如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)，得出，計(jì)算，根據(jù)，計(jì)算，選擇答案即可．

【詳解】解：∵是的直徑，，，

∴，

∴，

∵，

∴．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、圓心角的關(guān)系，根據(jù)等邊對(duì)等角求角度，熟練掌握等弧對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．

9．如圖，C是以為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連接，，分別以，為直徑向外作半圓，，的中點(diǎn)分別為D，E，連接，，若要求出的長，只需知道（）

A．的長B．的長C．的長D．的長

【答案】C

【分析】記交于，連接交于，連接、、，根據(jù)垂直平分線的判定，弧、弦之間的關(guān)系，證明垂直平分，垂直平分，推出和是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，證明點(diǎn)C、D、E在同一直線上，證明是等腰直角三角形，推出，即可選擇答案．

【詳解】解：如圖，記交于，連接交于，連接、、，

∵C是以為直徑的半圓O上一點(diǎn)，

∴，，

∴點(diǎn)在的垂直平分線上，也在垂直平分線上，

∵，的中點(diǎn)分別為D，E，

∴，，

∴，，

∴點(diǎn)D在的垂直平分線上，點(diǎn)E在垂直平分線上，

∴垂直平分，垂直平分，

∴點(diǎn)和點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，即點(diǎn)和點(diǎn)分別是以，為直徑向外所作半圓的圓心，

∴，，

∴和是等腰直角三角形，

∴，

∴，即點(diǎn)C、D、E在同一直線上，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴若要求出的長，只需知道的長即可，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、弦之間的關(guān)系，垂直平分線的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)推理證明是解題的關(guān)鍵．

10．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

A．B．方程的根為，

C．當(dāng)時(shí)，隨值的增大而減小D．當(dāng)時(shí)，

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．

【詳解】解：、根據(jù)圖象可知，圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸上，則有，此選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意；

、根據(jù)圖象可知，圖象與軸的交點(diǎn)為，，當(dāng)時(shí)，的根為，，此選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意；

、根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨值的增大而減小，此選項(xiàng)判斷正確，符合題意；

、根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，此選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：．

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．

第II卷（非選擇題）

未命名

評(píng)卷人得分

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)將正確答案填寫在橫線上）

11．如圖，為的直徑，點(diǎn)C在上，且，過點(diǎn)C的弦與線段相交于點(diǎn)E，滿足，連接，則°．

【答案】20

【分析】連接，如圖，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即得答案．

【詳解】解：連接，如圖：

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

故答案為：20．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．

12．已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量x的值滿足時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為，則a的值為．

【答案】或5/5或

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，知拋物線開口向下，函數(shù)值為時(shí)，，故得或，求解即可．

【詳解】解：如圖，，對(duì)稱軸為，拋物線開口向下，

時(shí)，，解得．

根據(jù)題意，得或，

解得或5；

故答案為：或5

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)性質(zhì)，具備一定的數(shù)形的結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．

13．設(shè)二次函數(shù)．點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且，則（1）．（用t的代數(shù)式表示）；（2）t的取值范圍為．

【答案】

【分析】（1）根據(jù)A、C兩點(diǎn)的函數(shù)值相同可得二次函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式即可得到答案；

（2）把點(diǎn)B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出n的值，再根據(jù)n的取值范圍求出t的取值范圍即可．

【詳解】解：（1）∵點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，

∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，

∴，即，

故答案為：；

（2）∵在二次函數(shù)圖象上，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出對(duì)稱軸，從而得到m與t的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

14．在下列事件中，必然事件是．

①、在足球賽中，弱隊(duì)?wèi)?zhàn)勝強(qiáng)隊(duì)；

②、任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是；

③、拋擲一枚硬幣，落地后反面朝上；

④、在地面上向空中拋擲一石塊，石塊終將落地．

【答案】②④

【分析】根據(jù)事件的分類逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：①、在足球賽中，弱隊(duì)?wèi)?zhàn)勝強(qiáng)隊(duì)；是隨機(jī)事件，不符合題意；

②、任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是；是必然事件，符合題意；

③、拋擲一枚硬幣，落地后反面朝上；是隨機(jī)事件，不符合題意；

④、在地面上向空中拋擲一石塊，石塊終將落地；是必然事件，符合題意；

綜上：必然事件有②④；

故答案為：②④．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了必然事件的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一定會(huì)發(fā)生的是必然事件．

15．如圖是的直徑，C，D是上的兩點(diǎn)，若，則．

【答案】/62度

【分析】連接，根據(jù)是直徑，可知，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角可得，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互補(bǔ)可得

【詳解】連接，則，

∵，

∴．

∵如圖是的直徑，

∴．

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及推論，直角三角形兩銳角互余；由圓周角定理得到相等角是解題的關(guān)鍵．

16．某品牌水果凍的高為3cm，底面圓的直徑為4cm，兩個(gè)水果凍倒裝在一個(gè)長方體盒子內(nèi)，如圖為橫斷示意圖，水果凍的截面可以近似地看成兩條拋物線．以左側(cè)拋物線的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

（1）以O(shè)為頂點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是．

（2）制作該長方體盒子所需紙張面積最小值是cm2．（不計(jì)重疊部分）

【答案】

【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式是，求出，代入求出函數(shù)表達(dá)式是．

（2）過點(diǎn)k作于點(diǎn)H，根據(jù)題意可知，，求出，求出長方形紙盒各側(cè)面的面積相加即可．

【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式是，

∵高為，

底面圓的直徑為，

∴，

把代入，

解得，

∴函數(shù)表達(dá)式是，

故答案為：．

（2）過點(diǎn)k作于點(diǎn)H，

根據(jù)題意可知，

又∵點(diǎn)k在，

解得，

(舍去)，

∴，

∴，

∴（平方厘米），

如圖2，（平方厘米），

（平方厘米），

∴長方體盒子所需紙張面積最小值是平方厘米．

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)解析式，矩形面積，解題的關(guān)鍵是畫出平面圖．

評(píng)卷人得分

三、解答題

三、解答題（本大題共7小題，共66分．第17題6分；第18題8分；第19題8分；第20題10分；第21題10分；第22題12分；第23題12分；解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．某經(jīng)銷商銷售2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物印章擺件，每個(gè)進(jìn)價(jià)60元，若定價(jià)為100元時(shí)，一天可以銷售20個(gè)，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，減少庫存，商家決定采取降價(jià)措施．若一個(gè)擺件每降價(jià)1元，平均每天可多售出2個(gè)，設(shè)每個(gè)擺件降價(jià)x元時(shí)，商家一天可獲利潤y元．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該商家要獲得最大利潤，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)多少元？

(3)小顏說：“當(dāng)每天的利潤最大時(shí)，當(dāng)天的銷售額也最大．”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由．

【答案】(1)

(2)85元

(3)不對(duì)，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)“總利潤（實(shí)際售價(jià)進(jìn)價(jià)）（原銷售量）”可得函數(shù)解析式；

（2）將以上所得函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；

（3）可舉例說明：售價(jià)為85和售價(jià)為80時(shí)的銷售量，從而做出判斷．

【詳解】（1）解：，

即；

（2），

，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為1250，

則售價(jià)為85元時(shí)，該書店獲利最大；

（3）不對(duì)．可以舉例說明，

如：當(dāng)單價(jià)為85時(shí)，銷售量為50套，則銷售額為4250元，

當(dāng)單價(jià)為80時(shí)，銷售量為60套，則銷售額為4800元．

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系，據(jù)此列出函數(shù)解析式，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．

18．籠子里關(guān)著一只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開．松鼠要先經(jīng)過第一道門（A，B，或C），再經(jīng)過第二道門（D或E）才能出去．

(1)請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法，表示松鼠走出籠子的所有可能路線（經(jīng)過的兩道門）．

(2)求松鼠經(jīng)過E門出去的概率．

【答案】(1)見解析

(2)

【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖即可；

（2）根據(jù)（1）所畫的樹狀圖確定松鼠走出籠子的所有可能路線結(jié)果數(shù)和松鼠經(jīng)過E門出去的結(jié)果數(shù)，然后運(yùn)用概率公式計(jì)算即可．

【詳解】（1）解：根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：

（2）解：根據(jù)（1）所得的樹狀圖可知：松鼠走出籠子的所有可能路線結(jié)果數(shù)為6，松鼠經(jīng)過E門出去的結(jié)果數(shù)為3，則松鼠經(jīng)過E門出去的概率為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫樹狀圖、根據(jù)樹狀圖求概率等知識(shí)點(diǎn)，正確畫出樹狀圖是解答本題的關(guān)鍵．

19．如圖，已知為的一段弧，請(qǐng)根據(jù)要求畫出圖形．

(1)在圖中找出的圓心O，并畫出完整的圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）．

(2)點(diǎn)A在上，在上找一點(diǎn)P，使得是直角三角形，且

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）在上取一點(diǎn)，連接、，分別作和的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心O，以為圓心，長為半徑畫出完整的圓即可；

（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，即可確定點(diǎn)的位置．

【詳解】（1）解：如圖，圓心O與即為所求作；

（2）解：連接并延長，交于點(diǎn)，即為直徑，

點(diǎn)即為所求作．

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——確定圓心、畫圓，直徑的圓周角所對(duì)的弦是直徑，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

20．如圖，在中，，P點(diǎn)在上，從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括C點(diǎn)），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為；Q點(diǎn)在上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)（不包括A點(diǎn)），速度為．若點(diǎn)P，Q分別從B、C同時(shí)運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)解答下面的問題，并寫出探索的主要過程：

(1)經(jīng)過多少時(shí)間后，P，Q兩點(diǎn)的距離最短，最短距離是多少？

(2)經(jīng)過多少時(shí)間后，的面積最大，最大面積是多少？

【答案】(1)經(jīng)過秒后，P，Q兩點(diǎn)的距離最短，最短距離是

(2)當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積是

【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分別表示出，利用勾股定理的逆定理證明，進(jìn)而利用勾股定理得到，據(jù)此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，利用三角形面積公式即可表示出的面積，然后配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

由題意得，，

∴

∵在中，，，

∴是直角三角形，即，

∴

，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，

∴經(jīng)過秒后，P，Q兩點(diǎn)的距離最短，最短距離是

（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，

∴，

∴，

，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積是．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握實(shí)際問題中的等量關(guān)系和配方法是解決本題的關(guān)鍵．

21．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和兩點(diǎn)，且拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

(1)若點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，求拋物線解析式及A、B、C坐標(biāo)；

(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)P是A、C之間拋物線上一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若，且，求a的取值范圍．

【答案】(1)

(2)面積最大值為，

(3)或

【分析】（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為，將N點(diǎn)代入即可求a的值，從而確定函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，先求出直線的解析式，過P點(diǎn)作軸交于點(diǎn)G，則，，從而得到，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，此時(shí)，求出直線與x軸的交點(diǎn)為，再求，即可求四邊形面積的最大值；

（3）先求出拋物線的解析式，分別求出當(dāng)時(shí)以及當(dāng)時(shí)，a的取值，即可．

【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，

∴可設(shè)拋物線解析式為，

∵拋物線過點(diǎn)，

∴

解得：，

∴拋物線的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，

解得或1，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

∴；

（2）解：設(shè)，

設(shè)直線的解析式為，

把代入得：，

解得，

∴直線的解析式為，

過P點(diǎn)作軸交于點(diǎn)G，

∴，

∴，

∴，

當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，此時(shí)，

設(shè)直線的解析式為，

∴，

解得，

∴直線的解析式為，

∴直線與x軸的交點(diǎn)為，

∴，

∴四邊形面積的最大值為；

（3）解：將和兩點(diǎn)代入，

∴，解得，

∴，

當(dāng)時(shí)，，解得：，

當(dāng)時(shí)，，解得，

∴或．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用鉛錘法求三角形面積的方法是解題的關(guān)鍵．

22．在正方形中，、為平面上兩點(diǎn)．

【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，且，，三點(diǎn)共線，求證：；

【類比應(yīng)用】

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在正方形外部時(shí)，，，且、、三點(diǎn)共線，若，，求點(diǎn)到直線的距離；

【拓展遷移】

(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在正方形外部時(shí)，，，，且，，三點(diǎn)共線，與交于點(diǎn)，若，，求正方形的邊長．

【答案】(1)見解析

(2)

(3)

【分析】（1）證明，可得結(jié)論；

（2）證明，得