北師大版高中數(shù)學4-5第一章不等關(guān)系與基本不等式4不等式的證明第3課時學案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精4不等式的證明第3課時幾何法、反證法1．了解幾何法的證明過程,并會用幾何法證明簡單的不等式．2．掌握反證法，并會用反證法證明不等式．1．幾何法通過構(gòu)造幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式的方法稱為______．【做一做1】已知x，y，z∈(0，1)．求證：x(1－y)＋y(1－z)＋z（1－x)＜1．2．反證法反證法證不等式是：先假設所要證的不等式不成立，也就是說不等式的反面成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，進行推理論證，最后推出矛盾的結(jié)果，從而斷定假設錯誤,因而確定要證的不等式成立．它的步驟是：（1)作出否定____的假設；(2）進行推理，導出____；（3)否定假設，肯定____．【做一做2】如果a＞b＞0，證明eq\f（1，a2)＜eq\f(1，b2)．答案：1．幾何法【做一做1】分析:構(gòu)造一個邊長為1的正三角形，利用三角形的面積關(guān)系來證明．證明:如圖，構(gòu)造正三角形ABC，設其邊長為1，BD＝x，AF＝y(tǒng)，CE＝z，則根據(jù)面積關(guān)系S△ABC＞S△BDF＋S△DCE＋S△AEF,得1·1·sin60°＞x（1－y）sin60°＋y(1－z）sin60°＋z（1－x)sin60°．整理,得x(1－y)＋y（1－z）＋z(1－x)＜1．即得證．2．（1）結(jié)論(2)矛盾(3)結(jié)論【做一做2】分析：先假設eq\f(1,a2)≥eq\f（1,b2)成立，從假設出發(fā)，推出矛盾．證明：假設eq\f(1，a2）≥eq\f（1,b2)，則eq\f(1,a2)－eq\f（1,b2)＝eq\f（b2－a2,a2b2）≥0．∵a＞b＞0，∴a2b2＞0，b2－a2＝（b＋a）（b－a）≥0．∵a＞b＞0，∴b＋a＞0,∴b－a≥0，即b≥a．這與已知a＞b矛盾．∴假設不成立，即eq\f（1,a2）＜eq\f(1,b2)成立．1．反證法中的數(shù)學語言剖析：反證法適宜證明“存在性問題”，“唯一性問題”，帶有“至少有一個"或“至多有一個”等字樣的問題，或者說“正難則反”，直接證明有困難時,常采用反證法，下面列舉一些常見的涉及反證法的文字語言及其相對應的否定假設．常見詞語至少有一個至多有一個唯一一個不是全都是否定假設一個也沒有有兩個或兩個以上沒有或有兩個以上是不全不都是對數(shù)學語言的否定假設要準確,以免造成原則性的錯誤,有時在使用反證法時,對假設的否定也可以舉一些特例來說明矛盾，尤其在一些選擇題中，更是如此．2．用反證法證明不等式剖析:（1)用反證法證明，就是從結(jié)論的反面出發(fā)，要求結(jié)論反面的情況只有有限多種，然后證明這種反面的結(jié)論都是不可能的，是與已知條件、已知事實或已證明過的定理相矛盾的．(2）要證不等式M＞N，先假設M≤N，由題設及其他性質(zhì)推出矛盾,從而肯定M＞N成立．凡涉及的證明不等式為否定性命題，唯一性命題或是含“至多”、“至少”等字句時，可考慮使用反證法．（3)用反證法證明不等式要把握三點：①必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的．②反證法必須從否定結(jié)論進行推理,且必須根據(jù)這一條件進行論證；否則，僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法．③推導出來的矛盾可以是多種多樣的，有的與已知條件相矛盾，有的與假設相矛盾，有的與定理、公理相違背,有的與已知的事實相矛盾等等，但推導出的矛盾必須是明顯的．題型一用幾何法證明不等式【例1】已知a＞0，b＞0,c＞0，求證:eq\r(a2－ab＋b2)＋eq\r（b2－bc＋c2）≥eq\r（a2＋ac＋c2），當且僅當eq\f(1,b)＝eq\f（1，a）＋eq\f(1，c）時取等號．分析：從三個根式的結(jié)構(gòu)特點，容易聯(lián)想到余弦定理,于是可構(gòu)造圖形，利用余弦定理來證明．反思:利用幾何法證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造幾何圖形，先要研究所證不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點，再把其中的字母當作圖形的邊長，最后用幾何圖形中的不等關(guān)系來表示所要證明的不等式．題型二用反證法證明不等式【例2】已知a＞0,b＞0,且a＋b＞2．求證：eq\f（1＋b,a),eq\f（1＋a,b)中至少有一個小于2．分析：由于題目的結(jié)論比較復雜，討論起來比較繁瑣,宜采用反證法．反思:從“正難則反”的角度考慮,即要證明不等式A＞B，先假設A≤B．由題設及其他性質(zhì)推出矛盾,從而肯定A＞B．凡涉及到證明不等式為否定命題，唯一性命題式含有“至多”“至少”“不存在"“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法．答案：【例1】證明：如圖，作OA＝a，OB＝b，OC＝c,∠AOB＝∠BOC＝60°，則∠AOC＝120°，AB＝eq\r(a2－ab＋b2)，BC＝eq\r(b2－bc＋c2)，AC＝eq\r(a2＋ac＋c2）．由幾何知識知，AB＋BC≥AC,∴eq\r(a2－ab＋b2)＋eq\r(b2－bc＋c2）≥eq\r(a2＋ac＋c2)，當且僅當A，B,C三點共線時等號成立．此時有eq\f（1，2)absin60°＋eq\f(1,2)bcsin60°＝eq\f(1,2）acsin120°，即ab＋bc＝ac．故當且僅當eq\f（1，b）＝eq\f(1,a)＋eq\f（1，c)時,取得等號．【例2】證明：假設eq\f(1＋b，a)，eq\f（1＋a，b)都不小于2，即eq\f（1＋b，a)≥2，eq\f(1＋a，b)≥2．∵a＞0,b＞0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b兩式相加,得1＋b＋1＋a≥2(a＋b）．即a＋b≤2，這與已知a＋b＞2矛盾．故假設不成立．因此，eq\f(1＋b，a)，eq\f（1＋a,b）中至少有一個小于2．1若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1］內(nèi)至少有一個值c，使f(c）＞0，則實數(shù)p的取值范圍是(）．A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3，2）)）B．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－2，\f（1，5)))C．（－1,0)D．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2）,\f（2,3)）)2若△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，則（）．A．∠B＝eq\f（π，2）B．∠B＜eq\f（π，2)C．∠B＞eq\f(π，2)D．∠B＝eq\f(π，3)3設a，b∈R，給出下列條件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2;④a2＋b2＞2；⑤ab＞1．其中能推出“a,b中至少有一個實數(shù)大于1”的條件是__________．4已知a，b,c＞0，a＋b＞c．求證:eq\f(a,a＋1）＋eq\f(b，b＋1）＞eq\f（c,c＋1)．答案：1．A如果在［－1，1］內(nèi)沒有滿足f（c）＞0的數(shù)c，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（f－1≤0，，f1≤0,）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（p≤－\f(1，2)或p≥1，，p≤－3或p≥\f（3，2).)）∴此時p的取值范圍是eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(p\a\vs4\al(｜）p≤－3或p≥\f（3，2)）），取補集即得所求實數(shù)p的范圍,即eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(p\a\vs4\al(|)－3<p<\f(3,2)）)．2．B假設∠B≥eq\f(π，2),則b最大,有b＞a,b＞c，∴eq\f(1,a）＞eq\f（1，b)，eq\f(1，c)＞eq\f（1,b）．∴eq\f（1，a）＋eq\f（1,c）＞eq\f(2，b），與題意中的eq\f(1，a）＋eq\f（1，c）＝eq\f（2，b)矛盾．∴∠B＜eq\f(π,2)．3．③對于①，a，b均可小于1;對于②，a，b均可等于1；對于④⑤,a,b均可為負數(shù);對于③,若a，b都不大于1，則a＋b≤2,與③矛盾．故若③成立，則“a，b中至少有一個實數(shù)大于1”成立．4．證明:假設eq\f(a，a＋1）＋eq\f（b,b＋1)≤eq\f(c，c＋1），則1－eq\f(1,a＋1）＋1－eq\f(1，b＋1）≤1－eq\f(1,c＋1），即1＋eq\f(1,c＋1）≤eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1