專題10橢圓及其性質(zhì)（知識梳理專題過關(guān)）（解析版）

專題10橢圓及其性質(zhì)【知識梳理】知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注意：當時，點的軌跡是線段；當時，點的軌跡不存在．知識點二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點、、、、軸長長軸長，短軸長長軸長，短軸長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、、焦距離心率準線方程點和橢圓的關(guān)系切線方程（為切點）（為切點）對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點弦所在的直線方程焦點三角形面積①，（為短軸的端點）②③焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）弦長公式設直線與橢圓的兩個交點為，，，則弦長（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）【專題過關(guān)】【考點目錄】【題型歸納目錄】考點1：橢圓的定義與標準方程考點2：橢圓方程的充要條件考點3：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題考點4：橢圓上兩點距離的最值問題考點5：橢圓上兩線段的和差最值問題考點6：離心率的值及取值范圍考點7：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題考點8：利用第一定義求解軌跡【典型例題】考點1：橢圓的定義與標準方程1．（2021·湖北·高二期中）橢圓的焦點為，，與軸的一個交點為，若，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】在橢圓中，，，.易知.又，所以為等邊三角形，即，所以，即.故選：C.2．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中高二期中）橢圓上點到上焦點的距離為4，則點到下焦點的距離為（

）A．6 B．3 C．4 D．2【答案】A【解析】橢圓，所以，即，設上焦點為，下焦點為，則，因為，所以，即點到下焦點的距離為；故選：A3．（2021·山東山東·高二期中）已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，，則該橢圓的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，又因為，所以，由，得，所以，又.因為橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的方程是.故選：B.4．（2021·四川·遂寧高二期中（文））與橢圓有相同的焦點，且短半軸長為的橢圓方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】橢圓的標準方程為，該橢圓的焦點坐標為，設所求橢圓的長半軸長為，則，故所求橢圓的標準方程為.故選：B.5．（2021·全國·高二期中）設、分別是橢圓：（）的左、右焦點，過的直線與橢圓相交于、兩點，且，則的長為______．【答案】【解析】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故答案為：6．（2021·江蘇省南通高二期中）求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點；(2)離心率為，且橢圓上一點到兩焦點的距離之和為26．【解析】（1）由焦距是4可得，又焦點在y軸上，所以焦點坐標為，，由橢圓的定義可知，所以，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）由題意知，即，又，所以，所以，當橢圓的焦點在軸上時，橢圓的方程為；當橢圓的焦點在軸上時，橢圓的方程為，所以橢圓的方程為或7．（2021·黑龍江·大興安嶺實驗高二期中）（1）求焦點的坐標分別為，且過點的橢圓的方程.（2）求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點、的橢圓標準方程.【解析】（1）由題意，橢圓的焦點在軸上，設橢圓方程為由橢圓定義，故故橢圓的標準方程為：（2）不妨設橢圓的方程為：經(jīng)過兩點、故，解得即故橢圓的標準方程為：8．（2021·吉林油田高級高二期中）求滿足下列條件的橢圓的標準方程.(1)與橢圓有相同的焦點，且經(jīng)過點；(2)點，，，中恰有三個點在橢圓上.【解析】(1)橢圓的焦點坐標為，.所以設橢圓的標準方程為，由題意得解得所以橢圓的標準方程為.(2)根據(jù)橢圓的對稱性，，兩點必在橢圓上，因為點A和點C的縱坐標為，A，C兩點并不關(guān)于y軸對稱，故點C不在橢圓上.所以點，，三點在橢圓上.設橢圓方程為，代入A，D兩點得解得所以橢圓的標準方程為.考點2：橢圓方程的充要條件9．（2021·安徽·蕪湖高二期中）若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點在軸上，則 D．若橢圓的焦點在軸上，則【答案】C【解析】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯誤；焦點在軸上時，，解得，D錯誤，C正確；焦點在軸上時，則，焦點在軸上時，，B錯誤.故選：C10．（2021·北京工業(yè)大學附屬高二期中）設表示的是橢圓；，則p是成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若表示的是橢圓，則且，即成立；反例：當時，表示的是圓，即不成立；即p是成立的充分不必要條件，故選：A.11．（2021·上?！じ叨谥校τ诔?shù)、，“”是“方程的曲線是橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，方程的曲線不一定是橢圓，例如：當時，方程的曲線不是橢圓而是圓；或者是，都是負數(shù)，曲線表示的也不是橢圓；故前者不是后者的充分條件；當方程的曲線是橢圓時，應有，都大于0，且兩個量不相等，得到；由上可得：“”是“方程的曲線是橢圓”的必要不充分條件.故選:B.12．（多選題）（2021·江蘇·無錫市第一女子高二期中）已知曲線（

）A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是橢圓，其焦點在軸上C．若，則是圓，其半徑為D．若，，則是兩條直線【答案】AD【解析】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確，故B錯誤；對于C，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故C不正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：AD.13．（2021·上海市寶山高二期中）已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是_______；【答案】【解析】由于方程表示焦點在y軸上的橢圓，所以，解得.故答案為：14．（2021·廣西·欽州高二期中（文））若橢圓的焦點在y軸上，則實數(shù)k的取值范圍是___________.【答案】【解析】因為橢圓的焦點在y軸上，所以，解得，即實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：考點3：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題15．（2021·全國·高二期中）已知橢圓的左、右焦點為，，點P為橢圓上動點，則的值是______；的取值范圍是______．【答案】

【解析】對橢圓，其，焦點坐標分別為，由橢圓定義可得：；設點的坐標為，則，且，故，又，故，即的取值范圍為：.故答案為：；.16．（2021·安徽滁州·高二期中）已知、是橢圓的兩個焦點，M是橢圓上一點，且，則的面積為______．【答案】20【解析】由，得，，所以，，所以，設，，所以，因為，所以，所以，所以的面積為．故答案為：.17．（2021·安徽·高二期中）設是橢圓的左，右焦點，點在上，為坐標原點，且，則的面積為___________.【答案】7【解析】由題意得，，，，∴在以線段為直徑的圓上，∴，∴①，由橢圓的定義知，②，由①②，解得，.故答案為：7.18．（2021·山東師范大學附中高二期中）已知橢圓的左、右焦點為、，P在橢圓上，且是直角三角形，這樣的P點有______個【答案】6【解析】當不是直角頂點時，為過焦點與軸垂直的直線與橢圓的交點，易知這樣的點有4個；當是直角頂點時，在以為直徑的圓上，，故圓方程為，聯(lián)立方程：，解得和，兩個點滿足.綜上所述：共有6個點滿足條件.故答案為：6.19．（2021·上海市控江高二期中）設?分別是橢圓的左?右焦點，點P在橢圓C上，且滿足，則___________.【答案】【解析】由題意，橢圓，可得，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，又由，可得，所以，因為，即，解得.故答案為：.20．（2021·遼寧·大連市第三十六高二期中）已知，是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，，則的面積是（

）A．3 B．6 C． D．【答案】A【解析】因為，所以，則，所以，所以，故選：A21．（多選題）（2021·江蘇·淮陰高二期中）已知橢圓，若P在橢圓上，、是橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的有（

）A．若，則 B．面積的最大值為C．的最大值為 D．滿足是直角三角形的點有個【答案】ABC【解析】在橢圓中，，，，且，對于A選項，當時，則，由余弦定理可得，因為，所以，，A對；對于B選項，當點為橢圓的短軸頂點時，點到軸的距離最大，所以，面積的最大值為，B對；對于C選項，因為，即，所以，，C對；對于D選項，當或時，為直角三角形，此時滿足條件的點有個，當為直角頂點時，設點，則，，，，所以，，，此時，滿足條件的點有個，綜上所述，滿足是直角三角形的點有個，D錯.故選：ABC.22．（多選題）（2021·廣東·深圳市高級高二期中）已知橢圓M：的左右焦點分別為，左右頂點分別為，P是橢圓上異于的任意一點，則下列說法正確的是（

）A．周長為B．面積最大值為C．存在點P滿足：D．若面積為，則點P橫坐標為【答案】BD【解析】由題意，，，短軸一個端點，由題知，故周長為，故A錯誤；利用橢圓的性質(zhì)可知面積最大值為，故B正確；因為，所以，從而，而是橢圓上任一點時，當是短軸端點時最大，因此不存在點滿足，故C錯誤；因為，，則，，故D正確．故選：BD．23．（2021·湖南·長沙市明德高二期中）橢圓的左、右焦點為、，一直線過交橢圓于、，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在橢圓中，，則的周長為.故選：B.24．（2021·廣東·廣州市番禺區(qū)實驗高二期中）已知，是橢圓的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為（

）．A．13 B．12 C．25 D．16【答案】C【解析】由橢圓方程知：；根據(jù)橢圓定義知：，（當且僅當時取等號），的最大值為.故選：C.考點4：橢圓上兩點距離的最值問題25．（2021·陜西·長安高二期中（文））設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為________.【答案】【解析】根據(jù)題意，易知，設，則，即，故，因為，所以當時，.故答案為：.26．（2021·福建寧德·高二期中）點為橢圓上一點，為焦點，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【解析】，，，即.所以的最大值為.故選：C27．（2021·河北·正定高二期中）橢圓上任一點到點的距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】設點的坐標為，其中，由，可得，又由，當時，取得最小值，最小值為.故選：B.28．（2021·上海市行知高二期中）設、是橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于、兩點，則的最大值為______.【答案】【解析】由題意，橢圓，可得，即，根據(jù)橢圓的定義，可得，則，所以，當垂直于軸時，取得最小值，此時取得最大值，此時，所以的最大值為.故答案為：.考點5：橢圓上兩線段的和差最值問題29．（2021·四川·樹德高二期中（文））已知點，是橢圓內(nèi)的兩個點，M是橢圓上的動點，則的最大值為______．【答案】【解析】依題意，橢圓方程為，所以，所以是橢圓的右焦點，設左焦點為，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以的最大值為.故答案為：30．（2021·天津市嘉誠高二期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P為橢圓上一點，點，則的最小值為__________．【答案】1【解析】依題意，橢圓的左焦點，右焦點，點P為橢圓上一點，點A在此橢圓外，由橢圓的定義得，因此，，當且僅當點P是線段與橢圓的交點時取“=”，所以的最小值為1.故答案為：131．（2021·安徽·池州市第一高二期中）已知橢圓C的方程為，M為C上任意一點，則的最小值為___________.【答案】【解析】由題意，，，所以為左焦點，為右焦點，所，當且僅當M?D?A共線時取等號.故答案為：.32．（2021·湖北·黃石市有色第一高二期中）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6，4)，則|PM|+|PF1|的最大值為____.【答案】15【解析】如圖所示：在橢圓+=1中，a=5，b=4，c=3，所以焦點坐標分別為F1(-3，0)，F(xiàn)2(3，0).|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).∵|PM|-|PF2|≤|MF2|，當且僅當P在直線MF2上時取等號，∴當點P與圖中的點P0重合時，有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|==5，此時|PM|+|PF1|取最大值，最大值為10+5=15.故答案為：1533．（多選題）（2021·河北·石家莊市第四高二期中）已知橢圓的左、右點分別為，，定點，若點是橢圓上的動點，則的值可能為（

）A．7 B．10 C．18 D．20【答案】AB【解析】由橢圓方程得，則由橢圓定義可得，∴，，，，則.故選：AB.34．（2021·河北·石家莊二十高二期中）設是橢圓上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點，在中可得：①，當且僅當、、三點共線時，等號成立，在中可得：②，當且僅當、、三點共線時，等號成立，由①②得：，由橢圓方程可得：，即，由橢圓定義可得：，所以，.故選：A.考點6：離心率的值及取值范圍35．（2021·貴州·黔西南州金成實驗高二期中（理））設是橢圓：上任意一點，為的右焦點，的最小值為，則橢圓的離心率為_________．【答案】【解析】是橢圓上任意一點，為的右焦點，的最小值為，可得，所以，即，所以，解得，所以．故答案為：．36．（2021·黑龍江·綏化市第一高二期中）已知橢圓上有一點，，是橢圓的左、右焦點，若使得為直角三角形的點有8個，則橢圓的離心率的范圍是______．【答案】【解析】由橢圓的對稱性，為直角，共有4個位置，為直角，共有4個位置，于是以為直徑的圓與橢圓有4個交點.又離心率越大橢圓越扁，而當點P在y軸上時，，于是，若要滿足題意，.故答案為：.37．（2021·廣西柳州·高二期中（理））已知橢圓的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設點，依題意，，相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，又為線段的中點，則，，因此有，即，所以橢圓的離心率.故選：A38．（2021·寧夏·吳忠高二期中（文））已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P為C上一點，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】點橢圓上的點，，且在中，即，整理得：即故選：D39．（2021·四川·閬中高二期中（文））已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設點，，因為，所以，即，結(jié)合可得，所以.故選：B.40．（2021·江西贛州·高二期中（文））已知橢圓，P是橢圓C上的點，是橢圓C的左右焦點，若恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，在橢圓上，，，兩邊都乘以化簡后得：，，，又因為橢圓離心率，.故選：A.41．（2021·浙江浙江·高二期中）設橢圓的兩焦點為，．若橢圓C上有一點P滿足，則橢圓C的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)知當點在短軸頂點時，最大，設短軸頂點為B，則，得，故選：A42．（2021·江蘇·揚州高二期中）橢圓的左、右焦點為、，P是橢圓上一點，O為坐標原點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，根據(jù)題意，作圖如下：因為為等邊三角形，即可得：，則則，由橢圓定義可知：，故可得：．故選：A.考點7：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題43．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市第高二期中）焦點在x軸的橢圓的焦距是4，則m的值為（

）A．8 B．3 C．5或3 D．20【答案】A【解析】因為焦點在x軸，故，而焦距是4，故即，故選：A.44．（2021·遼寧·高二期中）已知橢圓的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】C【解析】因為橢圓的焦點在y軸上，故，且橢圓的標準方程為：，所以所以，故，故選：C.45．（2021·海南·瓊海市嘉積第二高二期中）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程整理可得：，設，則，，根據(jù)弦長公式有：=．故B，C，D錯誤.故選：A.46．（2021·安徽·高二期中）已知圓經(jīng)過橢圓C：的右焦點，上頂點與右頂點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】橢圓C：，右焦點為，上頂點為，右頂點為，代入圓的方程，得，解得，所以該圓的方程為．故選：A47．（2021·廣西玉林·高二期中（理））已知點P(k，1)，橢圓=1，點P在橢圓外，則實數(shù)k的取值范圍為_____.【答案】【解析】因為點P(k，1)在橢圓=1外，所以>1，解得k<或k>，故實數(shù)k取值范圍為.故答案為：考點8：利用第一定義求解軌跡48．（2021·遼寧沈陽·高二期中）已知圓：，定點，是圓上的一動點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題可得圓心，半徑為6，是垂直平分線上的點，，，點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，，，故點的軌跡方程為.故選：B.49．（2021·吉林油田高級高二期中（文））已知的周長是20，且頂點B的坐標為，C的坐標為，則頂點A的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，則點的軌跡是焦點在軸且中心為原點的橢圓，且點不在軸上，即故選：C50．（2021·云南省昆明市第十二高二期中）一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設動圓半徑為，圓心為，根據(jù)題意可知，和，，，，故動圓圓心的軌跡為焦點在y軸上橢圓，且焦點坐標為和，其中,，所以，故橢圓軌跡方程為:，故選：A.51．（2021·廣東·深圳外國語高二期中（理））△ABC的兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（

）A． B．（y≠0）C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.52．（2021·安徽·肥東縣綜合高中高二期中（理））已知兩圓C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設動圓的圓心，半徑為圓