第十三章軸對稱拔高專題（等腰三角形）（含答案）

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專題1利用“三線合一”作輔助線

1.如圖，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，E,F分別是AB,AC上的點(diǎn)，且BE=

AF,求證：

(1)DE=DF;

(2)DE⊥DF.

2.如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D,E,F分別在BC,AB,AC上，且BD=CF,BE=CD,G是EF的中點(diǎn).求證：DG⊥EF.

3.如圖，在△ABC,AB=AC,CD⊥AB于點(diǎn)D,試探究∠BAC與∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

4.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BD于點(diǎn)D,且BC=2BD.若∠DAB=20°,求∠BAC的度數(shù).

5.如圖，等腰△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D在AB上，AD=AC,BE⊥CD交CD的延長線于

點(diǎn)E.

(1)求∠BCD的度數(shù)；

(2)求證：CD=2BE.

專題2角平分線模型

1.如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于點(diǎn)E,EF⊥AB于點(diǎn)F,EG⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)G,

求證：(1)BF=CG

(2)AB+AC=2AF

2.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是AC的延長線上的一點(diǎn)，連接BD,點(diǎn)E在線段DB上，且∠BAC=∠CED,連接AE,判斷∠AEB與∠AEC的關(guān)系，并證明.

3.(1)如圖1,在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6,BD=4,那么點(diǎn)D到AB的距離是______,

(2)如圖2,已知∠1=∠2,∠3=∠4.求證：AP平分∠BAC.

4.如圖，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,乘足為E.求證：BD=2CE,

5.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F,在BD的延長線上取一點(diǎn)E,使∠ACE=∠FAD.求證：BD=2CE.

如圖，OA為第一象限的角平分線，點(diǎn)E在y軸上，∠OEF=∠AOF,FE⊥OF交OA于點(diǎn)M.

求證：EM=2OF.

7.如圖1,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，且∠FDB=∠ACB.BE⊥DF,垂足E在DF的延長線上.

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，試探究線段BE和FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合，試探究線段BE和FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

8.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。

(1)如圖1,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E.若AF⊥BD,求證：AD=CF;

(2)如圖2,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,CE⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)E.探究線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

∠EFC=∠B,CE⊥EF,

(3)如圖3,F為BC上一點(diǎn)，,垂足為E,EF與AC相交于點(diǎn)D.探究線段CE和DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

9.如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠C=180°.

10.如圖，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,且AC=6,AD=2.求BC的長.

11.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在線段CD上，且∠EAC=2∠EBC.求證：AE+AC=BC.

12.如圖，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由.

13.如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AB上，AD=CD=CB.

(1)求證：CD平分∠ACB;

(2)點(diǎn)E在AC上，EF⊥CD交BC于點(diǎn)F.求證：AE=DB+BF.

14.在四邊形ABCD中，AE平分∠BAD,E為BC的中點(diǎn)，∠AED=a.

(1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí)，求證：AD=AB+CD;

(2)如圖2,當(dāng)α=120°,且DE平分∠ADC時(shí)，探究線段AB,BC,CD,AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

專題3等腰直角三角形與全等

例.在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°,E為直線BC上一點(diǎn)，EF⊥AE且EF=AE,連接CF.

(1)如圖1,若點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在直線BC的上方，求∠FCE的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在直線BC的下方，求∠FCE的度數(shù)；

(3)如圖3,若點(diǎn)E在BC的延長線上，點(diǎn)F在直線BC的上方，完成作圖，并求∠FCE的度數(shù).

1.如圖1,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,過點(diǎn)C在△ABC外作直線MN,且AM⊥MN于點(diǎn)

M,BN⊥MN于點(diǎn)N.

(1)求證：MN=AM+BN;

(2)如圖2,過點(diǎn)C在△ABC內(nèi)作直線MN,且AM⊥MN于點(diǎn)M.BN⊥MN于點(diǎn)N.猜想AM,BN與MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

2.(1)如圖1,△ABC為等腰直角三角形，AC=BC,AC⊥BC,點(diǎn)A(0,3),C(1,0),求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)如圖2,△ABC為等腰直角三角形，AC=BC.AC⊥BC,點(diǎn)A(-1,0),C(1,3),求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)如圖3,△ABC為等腰直角三角形，AC=AB,AC⊥AB,點(diǎn)B(2,2),C(4,-2),求點(diǎn)A的坐標(biāo).

3.如圖1,OA=2,OB=4,以點(diǎn)A為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖2,OA=2,P為y軸的負(fù)半軸上一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動時(shí)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD,過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E,求OP-DE的值；

(3)如圖3,已知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-2,-2),當(dāng)點(diǎn)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動時(shí)，作等腰Rt△FGH,始終保持∠GFH=90°,FG與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)G(0,m),FH與x軸的正半軸相

交于點(diǎn)H(n,0).以下兩個(gè)結(jié)論：①m-n為定值；②m+n為定值.其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請找出正確的結(jié)論，并求出其值.

4.如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,D為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AD,且DE=AD,連接

BE,求∠DBE的度數(shù).

5.我們知道，如果兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等，而兩個(gè)不全等的三角形，在某些情況下，可通過證明等底等高來說明它們的面積相等.已知△ABC與△DEC都是等腰直角三角形，

∠ACB=∠DCE=90°,連接AD,BE.

(1)如圖1,當(dāng)∠BCE=90°時(shí)，求證：=;

(2)如圖2,當(dāng)0°AB+AC.理由如下：

如圖，在BA的延長線上取一點(diǎn)E,使AE=AC,連接EP.

由AD是△BAC的外角平分線可知，∠CAP=∠EAP.

在△ACP與△AEP中，AC=AE,∠CAP=∠EAP,AP=AP,

∴△ACP≌△AEP(SAS).∴PC=PE.

∵在△BPE中，PB+PE>BE,又BE=AB+AE=AB+AC,∴PB+PE>AB+AC.∴PB+PC>AB+AC

4.證明：(1)∵AD=CD=CB,AB=AC,∴∠A=∠ACD,∠CDB=∠CBD=∠ACB.

設(shè)∠A=∠ACD=x,∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=2x,

∵∠A+∠ACB+∠ABC=5x=180°,∴x=36°.∴∠A=∠ACD=36°,∠CDB=∠CBD=∠ACB=72°.

∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=36°=∠ACD.∴CD平分∠ACB.

如圖，在AE上截取ET=BF,連接DT.

∵EF⊥CD,CD平分∠ACB,∴∠CGE=∠CGF=90°,∠ECG=∠FCG.

在△CEG和△CFG中，∠CGE=∠CGF,CG=CF,∠ECG=∠FCG，

∴△CEG≌△CFG(ASA).∴CE=CF.∵ET=BF,∴CT=CB.

在△CTD和△CBD中，CT=CB,∠ECG=∠FCG,CD=CD,

∴△CTD≌△CBD(SAS).∴DT=DB,∠CTD=∠CBD=72°.

∴∠CTD=∠A+∠TDA=72°.∴∠TDA=36°.∴∠TDA=∠A.∴TA=TD=DB.

∴AE=AT+ET=DB+BF.∴AE=DB+BF.

5.解：(1)證明：如圖1,在AD上截取AF=AB,連接EF.

∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠FAE.

在△ABE和△AFE中，AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE,

∴△ABE≌△AFE(SAS).∴∠AEB=∠AEF,BE=FE.

∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE.∴FE=CE.

∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°.∴∠DEF=∠DEC.

在△DEF和△DEC中，F(xiàn)E=CE,∠DEF=∠DEC,DE=DE,

∴△DEF≌△DEC(SAS).∴FD=CD.∵AD=AF+FD,∴AD=AB+CD.

(2)AD=AB+CD+BC.理由如下：

如圖2,在AD上截取AG=AB,DH=DC,連接EG,EH,

∵E為BC的中點(diǎn)∴BE=CE=BC.

由(1),得△ABE≌△AGE,△DEH≌△DEC.

∴BE=GE,∠AEB=∠AEG,CE=HE,∠CED=∠HED.

∵BE=CE,∴GE=HE,∵∠AED=120°,∴∠AEB+∠CED=180°-120°=60°.

∴∠AEG+∠HED=60°∴∠GEH=60°.∴△EGH是等邊三角形。

∴GH=GE=BE=BC.∵AD=AG+HD+GH,∴AD-AB+CD+BC.

專題3等腰直角三角形與全等

例：解:(1)如圖1,過點(diǎn)F作FM⊥BC,交BC的延長線于點(diǎn)M.

∴∠B=∠M=90°,∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°.

∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°。∴∠BAE=∠MEF.

在△ABE和△EMF中，∠BAE=∠MEF，∠B=∠M，AE=EF，

∴△ABE≌△EMF(AAS).∴RE=MF,AB=EM.

∵AB=BC,∴CM=EM-EC=AB-EC=BC-EC=BE.∴CM=MF.

∴△CMF是等腰直角三角形。∴∠FCM=45°.

∴∠FCE=180°-∠FCM=180°-45°=135°.

(2)如圖2,過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M.

∴∠ABC=∠ABE=∠EMF=90'.∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°.∴∠AEB+∠MEF=90°.

∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°.∴∠BAE=∠MEF.

在△ABE和△EMF中，∠BAE=∠MEF，∠ABE=∠EMF，AE=EF,

∴△ABE≌△EMF(AAS).∴BE=MF,AH=EM,

∵AB=BC,∴CM=EC-EM=EC-AB=EC-BC-BE.∴CM=MF,

∴△CMF是等腰直角三角形?！唷螰CM=45°,即∠FCE=45°.

(3)如圖3,過點(diǎn)F作FM⊥BC,交BC的延長線于點(diǎn)M,

∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°.

∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°.∴∠BAE=∠MEF.

在△ABE和△EMF中，∠BAE=∠MEF，∠B=∠M，AE=EF,

∴△ABE≌△EMF(AAS).∴BE=MF,AB=EM.

∵AB=BC,∴CM=EM+EC=AB+EC=BC+EC=BE.∴CM=MF

∴△CMF是等腰直角三角形?！唷螰CM=45°,即∠FCE=45°。

解；(1)證明：∵AM⊥MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠CNB=90°.∴∠MAC+∠ACM=90°.

∵∠ACB=90°,∴∠NCB+∠ACM=90°.∴∠MAC=∠NCB.

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC。

∴△AMC≌△CNB(AAS).∴AM=CN,MC=NB

∵M(jìn)N=NC+MC,∴MN=-AM+BN.

(2)MN=BN-AM.

證明；∵AM」MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠CNB=90°.∴∠MAC+∠ACM=90°.

∵∠ACB=90°,∴∠NCB+∠ACM=90°.∴∠MAC=∠NCB.

∴△AMC≌△CNB(AAS).∴AM=CN,MC=NB,∵M(jìn)N=CM-CN,∴MN=BN-AM

2.解：(1)如圖1,過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D.∴∠BDO=90°.

∵∠ACB=∠AOC=90°,∴∠0AC+∠OCA=90°,∠OCA+∠DCB=90°.∴∠OAC=∠DCB.

∴△AOC≌△CDB(AAS).∴AO=CD.CO=BD.

∵A(0,3),C(1,0),∴AO=3,CO=1.

∴BD=1,0D=4.∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1)。

(2)如圖2,過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E.

∴∠ADC=∠CEB=90°.∵∠ACB=∠ADC=90°,

∴∠DAC+∠DCA=90°,∠DCA+∠ECB=90°.∴∠DAC=∠ECB.

∴△ACD≌△CBE(AAS).∴AD=CE,CD=BE.

∵A(-1,0),C(1,3)∴AD=2,CD=3,0D=1.

∴CE=2.BE=3.∴DE=CD-CE=1.∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1).

(3)如圖3,過點(diǎn)A作AD//y軸，過點(diǎn)B作BD⊥AD于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E.

∴∠ADB=∠CEA=90°.∵∠ADB=∠BAC=90°,

∴∠DAB+∠DBA=90°,∠DAB+∠EAC=90°.∴∠DBA=∠EAC.

∴△ABD≌△CAE(AAS)?！郆D=AE,AD=CE.設(shè)A(x;y),

∵B(2,2),C(4,-2),∴2-x=y+2,2-y=4-x.

∴x=1,y=-1.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-1).

3.解：(1)如圖1,過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M.

∵CM⊥OA,AC⊥AB,∴∠CMA=∠CAB=∠AOB=90°.

∴∠MAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°.∴∠MAC=∠OBA.

∴△MAC≌△OBA(AAS).∴AM=BO=4,CM=AO=2.

∴OM=0A+AM=2+4=6.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-6,-2).

(2)如圖2,過點(diǎn)D作DQ⊥OP于點(diǎn)Q.

∵DQLOP,DE⊥OE,∠POE=90°,∴DE//OP,OE//DQ,∠AOP=∠PQD.

∴OE=QD,DE=0Q.∴OP=PQ+0Q=DE+PQ.

∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°,∴∠QPD=∠OAP.

∴△AOP≌△PQD(AAS).∴OP=OA=2.∴OP-DE=PQ=2.

(3)結(jié)論②是正確的.

如圖3,過點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于點(diǎn)S,FT⊥y軸于點(diǎn)T.

∵F(-2,-2),∴FS=FT=2,∠FSH=∠FTG=∠SOT=90°.∴∠SFT=∠HFG=90°.

∴∠SFH=∠TFG.∴△FSH≌△FTG(ASA).∴HS=GT.

∵G(0,m),H(n,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-2,-2)。

∴OT=OS=2.OG=|m|=-m.OH=n.∴GT=OG-0T=-m-2,HS=OH+OS=n+2.

∴-m-2=n+2.∴m+n=-4.

4.解：如圖，作AM⊥BC于點(diǎn)M,作EN1BC于點(diǎn)N.∴∠AMD=∠END=90°.

∵AB=AC,