蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義第2章2.22.2.1向量的加法Word版含答案

2.2向量的線性運(yùn)算2.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)(教師獨(dú)具)1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義．(重點(diǎn))2．掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則作兩個(gè)向量的加法運(yùn)算．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3．了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性．(難點(diǎn))通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象核心素養(yǎng)一、向量的加法1．向量加法的定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法．2．向量加法的運(yùn)算法則(1)三角形法則：如圖，已知向量a和b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up12(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→)).(2)平行四邊形法則：如圖，已知兩個(gè)不共線的非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OC,\s\up12(→))＝b，以O(shè)A，OC為鄰邊作?OABC，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線上的向量eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋b，這個(gè)法則叫做向量加法的平行四邊形法則．二、向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(3)a＋0＝0＋a＝a.(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.1．思考辨析(1)兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加．()(2)兩個(gè)向量相加，結(jié)果有可能是個(gè)數(shù)量．()(3)向量加法的平行四邊形法則適合任何兩個(gè)向量相加．()[解析](1)錯(cuò)誤，向量相加與向量長度、方向都有關(guān)；(2)錯(cuò)誤，向量相加，結(jié)果仍是一個(gè)向量；(3)錯(cuò)誤，向量加法的平行四邊形法則適合有相同起點(diǎn)的向量相加．[答案](1)×(2)×(3)×2．(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→)))＋(eq\o(BO,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(OM,\s\up12(→))等于________．eq\o(AC,\s\up12(→))[(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→)))＋(eq\o(BO,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BO,\s\up12(→))＋eq\o(OM,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→)).]3.eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝________.0[eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0.]向量加法的三角形法則和平行四邊形法則【例1】如圖，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.思路點(diǎn)撥：根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則求解．[解]法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即為a＋b＋c(用到向量加法運(yùn)算律)．如圖①，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，接著作向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝c，則得向量eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋c，然后作向量eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，則向量eq\o(OC,\s\up12(→))＝a＋b＋c為所求．法二：三個(gè)向量不共線，用平行四邊形法則來作．如圖②，(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b；(2)作平行四邊形AOBC，則eq\o(OC,\s\up12(→))＝a＋b；(3)再作向量eq\o(OD,\s\up12(→))＝c；(4)作?CODE，則eq\o(OE,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))＋c＝a＋b＋c.則eq\o(OE,\s\up12(→))即為所求．向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別：1三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”；2三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和.聯(lián)系：1當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；2三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.1．如圖所示，求作向量和．(1)(2)(3)[解]如圖中①，②所示，圖①圖②圖③首先作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋b.如圖③所示，作eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，再作eq\o(CD,\s\up12(→))＝c，則eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝(a＋b)＋c，即eq\o(AD,\s\up12(→))＝a＋b＋c.向量的加法運(yùn)算【例2】(1)在正六邊形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AF,\s\up12(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up12(→))＝________，eq\o(AD,\s\up12(→))＝________，eq\o(AE,\s\up12(→))＝________.(2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(DF,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(FA,\s\up12(→))＝________.思路點(diǎn)撥：(1)結(jié)合正六邊形的性質(zhì)及向量的平行四邊形法則求解．(2)由向量加法的三角形法則求解．(1)2a＋b2a＋2ba＋2b(2)0[(1)如圖，連結(jié)FC交AD于點(diǎn)O，連結(jié)OB，由平面幾何知識(shí)得四邊形ABOF，四邊形ABCO根據(jù)向量的平行四邊形法則，有eq\o(AO,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＝a＋b.在平行四邊形ABCO中，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AO,\s\up12(→))＝a＋a＋b＝2a＋b.eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(AO,\s\up12(→))＝2a＋2b.而eq\o(FE,\s\up12(→))＝eq\o(AO,\s\up12(→))＝a＋b，由三角形法則得：eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\o(FE,\s\up12(→))＝b＋a＋b＝a＋2b.(2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(DF,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(FA,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(DF,\s\up12(→))＋eq\o(FA,\s\up12(→))＝0.]1．解決該類題目要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算，注意各向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)及向量起點(diǎn)、終點(diǎn)字母排列順序，特別注意勿將0寫成0.2．運(yùn)用向量加法求和時(shí)，在圖中表示“首尾相接”時(shí)，其和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)．2.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡下列各式：(1)eq\o(DG,\s\up12(→))＋eq\o(EA,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))；(2)eq\o(EG,\s\up12(→))＋eq\o(CG,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(EB,\s\up12(→)).[解](1)eq\o(DG,\s\up12(→))＋eq\o(EA,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(GC,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(GC,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\o(GB,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\o(GE,\s\up12(→)).(2)eq\o(EG,\s\up12(→))＋eq\o(CG,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(EB,\s\up12(→))＝eq\o(EG,\s\up12(→))＋eq\o(GD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(ED,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(EA,\s\up12(→))＋eq\o(AE,\s\up12(→))＝0.向量加法在實(shí)際問題中的應(yīng)用[探究問題]1．速度、位移等物理量是向量嗎？為什么？提示：是向量．因?yàn)樗鼈兗扔写笮?，又有方向，具有向量的兩個(gè)要素．2．利用向量加法解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是什么？提示：關(guān)鍵是把實(shí)際問題向量模型化，并借助向量加法知識(shí)解決實(shí)際問題．【例3】已知小船在靜水中的速度與河水的流速都是10km/h，問：(1)小船在河水中行駛的實(shí)際速度的最大值與最小值分別是多少？(2)如果小船在河南岸M處，對岸北偏東30°有一碼頭N，小船的航向如何確定才能直線到達(dá)對岸碼頭？(河水自西向東流)思路點(diǎn)撥：(1)結(jié)合向量共線知識(shí)求解；(2)借助三角形的邊角關(guān)系求解．[解](1)小船順流行駛時(shí)實(shí)際速度最大，最大值為20km/h；小船逆流行駛時(shí)實(shí)際速度最小，最小值為0km/h，此時(shí)小船是靜止的．(2)如圖所示，設(shè)eq\o(MA,\s\up12(→))表示水流的速度，eq\o(MN,\s\up12(→))表示小船實(shí)際過河的速度．設(shè)MC⊥MA，|eq\o(MA,\s\up12(→))|＝|eq\o(MB,\s\up12(→))|＝10，∠CMN＝30°.∵eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→))＝eq\o(MN,\s\up12(→))，∴四邊形MANB為菱形．則∠AMN＝60°，∴△AMN為等邊三角形．在△MNB中，|eq\o(BN,\s\up12(→))|＝|eq\o(MN,\s\up12(→))|＝|eq\o(MB,\s\up12(→))|＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，所以小船要由M直達(dá)碼頭N，其航向應(yīng)為北偏西30°.解決與向量有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)本著如下步驟：弄清實(shí)際問題→轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題→正確畫出示意圖→用向量表示實(shí)際量→向量運(yùn)算→回扣實(shí)際問題→作出解答.3．在某地抗震救災(zāi)中，一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和．[解]如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km，從B地按南偏東55°的方向飛行800km.則飛機(jī)飛行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up12(→))|＋|eq\o(BC,\s\up12(→))|；兩次飛行的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→)).依題意，有|eq\o(AB,\s\up12(→))|＋|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up12(→))|2＋|\o(BC,\s\up12(→))|2))＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向?yàn)楸逼珫|35°＋45°＝80°.從而飛機(jī)飛行的路程是1600km，兩次飛行的位移和的大小為800eq\r(2)km教師獨(dú)具1．本節(jié)課的重點(diǎn)是向量和的作法以及向量和的運(yùn)算，難點(diǎn)是向量和的應(yīng)用．2．要掌握向量加法的三個(gè)問題(1)求作向量的和．(2)向量加法運(yùn)算．(3)向量加法的應(yīng)用．3．求作向量和時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)(1)利用三角形法則求和向量時(shí)，關(guān)鍵要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)．(2)利用平行四邊形法則求和向量時(shí)，應(yīng)注意“共起點(diǎn)．1．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝()①eq\o(AD,\s\up12(→))；②eq\o(DB,\s\up12(→))；③eq\o(BC,\s\up12(→))；④eq\o(CB,\s\up12(→)).A．①③ B．②④C．①④ D．②③A[∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))，∴eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→)).]2．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，則a＋b＝________.eq\o(AC,\s\up12(→))[a＋b＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→)).]3．在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))|，則四邊形ABCD是________．矩形[由圖知|eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))|＝|eq\o(BD,\s\up12(→))|.又|eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(AC,\s\up12(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up12(→))|＝|eq\o(