南昌縣蓮塘第一中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

南昌縣蓮塘第一中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．總體有編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取3個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第3個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.02C.63 D.142．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.3．已知，則點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.4．饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見(jiàn)的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現(xiàn)在距今五千年前長(zhǎng)江下游地區(qū)的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫(huà)到了方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為，有一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經(jīng)過(guò)次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的概率為（）A. B.C. D.5．拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“兩個(gè)反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（）.A. B.C. D.6．已知，為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，為等腰三角形，且頂角為，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.7．已知數(shù)列滿足，在任意相鄰兩項(xiàng)與(k＝1，2，…)之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.1658．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.66 B.65C.64 D.639．若在直線上，則直線的一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.10．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則實(shí)數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或611．已知不等式的解集為，關(guān)于x的不等式的解集為B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.12．命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓與坐標(biāo)軸依次交于A，B，C，D四點(diǎn)，則四邊形ABCD面積為_(kāi)____.14．已知函數(shù)定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則______15．由曲線圍成的圖形的面積為_(kāi)______________16．圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的側(cè)面積大小為_(kāi)___________.(結(jié)果保留)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.點(diǎn)E在PC上.（1）求證：平面BDE⊥平面PAC；（2）若E為PC的中點(diǎn)，求直線PC與平面AED所成的角的正弦值.18．（12分）某地區(qū)2021年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為50%，通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)計(jì)算該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率．用隨機(jī)數(shù)x（，且）表示是否下雨：當(dāng)時(shí)表示該地區(qū)下雨，當(dāng)時(shí)，表示該地區(qū)不下雨，從隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)取得20組數(shù)如下：332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出m的值，并根據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）從2012年到2020年該地區(qū)清明節(jié)當(dāng)天降雨量（單位：）如表：（其中降雨量為0表示沒(méi)有下雨）．時(shí)間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年年份t123456789降雨量y292826272523242221經(jīng)研究表明：從2012年至2021年，該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量y與年份t成線性回歸，求回歸直線方程，并計(jì)算如果該地區(qū)2021年（）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，19．（12分）已知圓，是圓上一點(diǎn)，過(guò)A作直線l交圓C于另一點(diǎn)B，交x軸正半軸于點(diǎn)D，且A為的中點(diǎn).（1）求圓C在點(diǎn)A處的切線方程；（2）求直線l的方程.20．（12分）已知橢圓．離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由21．（12分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.22．（10分）已知圓的圓心在第一象限內(nèi)，圓關(guān)于直線對(duì)稱，與軸相切，被直線截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由隨機(jī)數(shù)表法抽樣原理即可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，依次讀出的數(shù)據(jù)為65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三個(gè)個(gè)體編號(hào)為14.故選：D.2、D【解析】，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴取值范圍是．故選D考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.3、C【解析】根據(jù)對(duì)稱性求得坐標(biāo)即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：C4、B【解析】本題首先可根據(jù)題意列出次跳動(dòng)的所有基本事件，然后找出沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的事件，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，次跳動(dòng)的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的事件有：（下，下，右），故到達(dá)點(diǎn)的概率，故選：B.5、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來(lái)，利用古典概型的計(jì)算公式，把，，算出來(lái)，判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】?jī)擅队矌牛洖榕c，則拋擲兩枚硬幣，一共會(huì)出現(xiàn)的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯(cuò)誤，BCD正確故選：A6、A【解析】根據(jù)給定條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程計(jì)算作答.【詳解】由雙曲線對(duì)稱性不妨令點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作軸于B，如圖，因?yàn)榈妊切危翼斀菫?，則有，，有，于是得，即點(diǎn)，因此，，解得，所以雙曲線C的離心率為.故選：A7、C【解析】確定數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，從而求出前70項(xiàng)和.【詳解】，其中之間插入2個(gè)2，之間插入4個(gè)2，之間插入8個(gè)2，之間插入16個(gè)2，之間插入32個(gè)2，之間插入64個(gè)2，由于，，故數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，故故選：C8、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的片段和性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題知：，，，所以，，成等比數(shù)列，即5，15，成等比數(shù)列，所以，解得.故選：B.9、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個(gè)向量，即可得到它的一個(gè)方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個(gè)方向向量，又∵，∴是直線的一個(gè)方向向量故選：D10、D【解析】由拋物線準(zhǔn)線與圓相切，結(jié)合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準(zhǔn)線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故當(dāng)時(shí)，有或，所以或，得或6故選：D11、B【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數(shù)求解即可.【詳解】由得，，解得，因?yàn)?，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，?dāng)時(shí)，，故故選：B12、D【解析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可得到答案.【詳解】因?yàn)槊}，，所以，.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)橢圓的方程，求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合菱形的面積公式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，可得，所以橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，此時(shí)構(gòu)成的四邊形為菱形，則面積為.故答案為：.14、3【解析】根據(jù)定義域和值域，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求得的值，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)椋捎嘞液瘮?shù)的圖像與性質(zhì)可得，則，由值域?yàn)榭傻?，所以，故答案為?.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據(jù)對(duì)稱性，可知由曲線圍成的圖形的面積為考點(diǎn)：本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學(xué)生分類討論思想的運(yùn)用和運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵是看出所求圖形在四個(gè)象限內(nèi)是相同的，然后求出在一個(gè)象限內(nèi)的圖形的面積即可解決問(wèn)題.16、【解析】由題設(shè)知：圓錐的軸截面為等邊三角形，進(jìn)而求圓錐的底面周長(zhǎng)，由扇形面積公式求圓錐的側(cè)面積大小.【詳解】由題設(shè)，圓錐的軸截面為等邊三角形，又圓錐的母線長(zhǎng)為2，∴底面半徑為1，則底面周長(zhǎng)為，∴圓錐的側(cè)面積大小為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）根據(jù)題意可判斷出ABCD是正方形，從而可得，再根據(jù)，由線面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可證出；（2）由、、兩兩垂直可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線PC與平面AED所成的角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镻A⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC【小問(wèn)2詳解】由題可知、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，，，，1，，，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，即，取，0，，所以直線與平面所成的角的正弦值為18、（1），；（2）；該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話，降雨量為20.2mm【解析】（1）利用概率模擬求概率；（2）套用公式求回歸直線方程即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨，所給的20組數(shù)據(jù)中714,740,491,272,073,445,435,027,共8組表示3天中恰有兩天下雨，故所求的概率為；（2）由題中所給的數(shù)據(jù)可得，，所以，，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話，降雨量為20.2mm【點(diǎn)睛】求線性回歸方程的步驟：①求出；②套公式求出；③寫(xiě)出回歸方程；④利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)；19、（1）（2）或【解析】（1）以直線方程的點(diǎn)斜式去求圓C在點(diǎn)A處的切線方程；（2）以A為的中點(diǎn)為突破口，設(shè)點(diǎn)法去求直線l的方程簡(jiǎn)單快捷.【小問(wèn)1詳解】圓可化為，圓心因?yàn)橹本€的斜率為，所以圓C在A點(diǎn)處切線斜率為2，所以切線方程為即.【小問(wèn)2詳解】由題意設(shè)因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以將B代入圓C方程得解得或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)l方程為當(dāng)時(shí)，，此時(shí)l方程為所以l方程為或20、（1）；（2）是定值，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由題意有，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形有，即可寫(xiě)出橢圓方程；（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理即有，已知應(yīng)用點(diǎn)線距離公式、三角形面積公式即可說(shuō)明的面積是否為定值；【詳解】（1）橢圓離心率為，即，∵點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形，∴，綜上有：，，故橢圓方程為，（2）由直線與橢圓交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程：，整理得，設(shè)，則，，，，原點(diǎn)到的距離，為定值；【點(diǎn)睛】本題考查了由離心率求橢圓方程，根據(jù)直線與橢圓的相交關(guān)系證明交點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積是否為定值的問(wèn)題.21、（1）（2），【解析】（1）由，計(jì)算出公差，再寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可.（2）直接用公式寫(xiě)出，配方后求出最小值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為，由得，從而，即又，【小問(wèn)2詳解】由（1）的結(jié)論，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值.22