離散數學 關系的閉包

4.4關系的閉包閉包的構造方法集合表示矩陣表示圖表示閉包的性質2021/5/91一、閉包定義

定義設R是非空集合A上的關系,R的自反（對稱或傳遞）閉包是A上的關系R

,使得R

滿足以下條件：

（1）R

是自反的（對稱的或傳遞的）

（2）R

R

（3）對A上任何包含R的自反（對稱或傳遞）關系R

有R

R

.

一般將R的自反閉包記作r(R),對稱閉包記作s(R),傳遞閉包記作t(R).2021/5/92由閉包的定義可知，R的自反（對稱，傳遞）閉包是含有R并且具有自反（對稱，傳遞）性質的“最小”的關系。

如果R已是自反的二元關系，顯然有：R=r(R)。同樣，當R是對稱的二元關系時R=s(R)；當R是傳遞的二元關系時，R=t(R)，且反之亦然。2021/5/93二、關系的閉包運算

（1）已知一個集合中的二元關系R，則

r(R),s(R),t(R)是唯一的，它是包含R的最小的自反（對稱，傳遞）關系；（2）若R是自反（對稱，傳遞）的，則

r(R),s(R),t(R)就是R本身。（3）若R不是自反（對稱，傳遞）的，則可以補上最少序偶，使之變?yōu)樽苑?、對稱、傳遞關系，從而得到r(R),s(R),t(R)；2021/5/94例：設Ａ={a,b,c},R={<a,b>,<b,c>,<c,a>}，求r(R),s(R),t(R)。解：r(R)=s(R)=t(R)={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}例：設Ａ={a,b},R={<a,a><a,b>}，則r(R)={<a,a><a,b><b,b>},s(R)={<a,a><a,b><b,a>},t(R)={<a,a><a,b>}=R2021/5/95

設R是A上的二元關系，x∈A，將所有(x,x)

R的有序對加到R上去，使其擴充成自反的二元關系，擴充后的自反關系就是R的自反閉包r(R)。

例如，A={a,b,c,d},R={(a,a),(b,d),(c,c)}。R的自反閉包r(R)={(a,a),(b,d),(c,c),(b,b),(d,d)}。

于是可得：定理:R是A上的二元關系，則R的自反閉包r(R)=R∪IA。1.構造R的自反閉包的方法。

三、閉包的構造方法2021/5/962.構造R的對稱閉包的方法。

每當(a,b)∈R，而(b,a)

R時，將有序對(b,a)加到R上去，使其擴充成對稱的二元關系，擴充后的對稱關系就是R的對稱閉包s(R)。

例如，A={a,b,c,d,e},R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(d,e)}。R的對稱閉包s(R)={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(d,e),(e,d)}。

定理:R是A上二元關系，是其逆關系，則R的對稱閉包s(R)=R∪

。

由逆關系的定義可知：2021/5/973.構造R的傳遞閉包的方法。

設R是A上的二元關系，每當(a,b)∈R和(b,c)∈R而(a,c)

R時，將有序對(a,c)加到R上使其擴充成R1，并稱R1

為R的傳遞擴張，R1

如果是傳遞關系，則R1是R的傳遞閉包；如果R1不是傳遞關系，繼續(xù)求R1的的傳遞擴張R2，如果R2是傳遞關系時，則R2是R的傳遞閉包；如果R2不是傳遞關系時，繼續(xù)求R2的的傳遞擴張R3…，如果A是有限集，R經過有限次擴張后，定能得到R的傳遞閉包。擴張后的傳遞關系就是R的傳遞閉包t(R)。

定理:設R為A上的關系,則有t(R)=R∪R2∪R3∪…

說明：對于有窮集合A(|A|=n)上的關系,上式中的并最多不超過Rn.2021/5/98思考：設A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},求r(R),s(R),t(R).解:r(R)=R∪R0={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,c>,<c,d>,<d,d>},s(R)=R∪R

1={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<c,d>,<d,c>},

t(R)=R∪R2∪R3∪R4

R2={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}R3={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>}R4={<a,b>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}=R2于是t(R)=R∪R2∪R3=

{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}.2021/5/99閉包的構造方法（續(xù)）設關系R,r(R),s(R),t(R)的關系矩陣分別為M,Mr,Ms和Mt,則

Mr=M+EMs=M+M’

Mt=M+M2+M3+…E是和M同階的單位矩陣,M’是M的轉置矩陣.注意在上述等式中矩陣的元素相加時使用邏輯加.2021/5/910閉包的構造方法（續(xù)）設關系R,r(R),s(R),t(R)的關系圖分別記為G,Gr,Gs,Gt,則Gr,Gs,Gt的頂點集與G的頂點集相等.除了G的邊以外,以下述方法添加新邊：

考察G的每個頂點,如果沒有環(huán)就加上一個環(huán)，最終得到Gr.考察G的每條邊,如果有一條xi到xj的單向邊,i≠j,則在G中加一條xj到xi的反方向邊，最終得到Gs.考察G的每個頂點xi,找從xi出發(fā)的每一條路徑，如果從xi到路徑中任何結點xj沒有邊，就加上這條邊.當檢查完所有的頂點后就得到圖Gt.2021/5/911實例例1設A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>},R和r(R),s(R),t(R)的關系圖如下圖所示.Rr(R)s(R)t(R)2021/5/912南寧空調回收

南寧空調出租仧莒彾MicrosoftOfficePowerPoint，是微軟公司的演示文稿軟件。用戶可以在投影儀或者計算機上進行演示，也可以將演示文稿打印出來，制作成膠片，以便應用到更廣泛的領域中。利用MicrosoftOfficePowerPoint不僅可以創(chuàng)建演示文稿，還可以在互聯(lián)網上召開面對面會議、遠程會議或在網上給觀眾展示演示文稿。MicrosoftOfficePowerPoint做出來的東西叫演示文稿，其格式后綴名為：ppt、pptx；或者也可以保存為：pdf、圖片格式等2021/5/913定理

R是A上關系，則⑴R是自反的，當且僅當r(R)=R.⑵R是對稱的，當且僅當s(R)=R.⑶R是傳遞的，當且僅當t(R)=R.證明略，因為由閉包定義即可得。定理

R是A上關系，則⑴R是自反的，則s(R)和t(R)也自反。⑵R是對稱的，則r(R)和t(R)也對稱。⑶R是傳遞的，則r(R)也傳遞。證明:⑴因為R自反,得r(R)=R,即R∪IA=R,r(s(R))=s(R)∪IA=(R∪R-1)∪IA=(R∪IA)∪R-1=r(R)∪R-1=R∪R-1=s(R)∴s(R)自反

2021/5/914類似可以證明t(R)也自反。證明⑵.證明t(R)對稱:(t(R))-1=(R∪R2∪...∪Rn∪...)-1

=R-1∪(R2)-1∪...∪(Rn)-1∪...

=R-1∪(R-1)2∪...∪(R-1)n∪...=R∪R2∪...∪Rn∪...(∵R對稱，∴R-1=R)=t(R)所以t(R)也對稱。類似可以證明r(R)也對稱。證明⑶.證明r(R)傳遞:先用歸納法證明下面結論:(R∪IA)i=IA∪R∪R2∪...∪Ri①i=1時R∪IA=IA∪R結論成立。②假設i≤k時結論成立，即(R∪IA)k=IA∪R∪R2∪...∪Rk(R2)-1=(RR)-1=R-1R-1=(R-1)22021/5/915③當i=k+1時(R∪IA)k+1=(R∪IA)k(R∪IA)

=(IA∪R∪R2∪...∪Rk）(IA∪R)

=(IA∪R∪R2∪...∪Rk)∪(R∪R2∪...∪Rk+1)=IA∪R∪R2∪...∪Rk∪Rk+1所以結論成立.t(r(R))=t(R∪IA)=(R∪IA)∪(R∪IA)2∪(R∪IA)3∪...=(IA∪R)∪(IA∪R∪R2)∪(IA∪R∪R2∪R3)∪...=IA∪R∪R2∪R3∪...=IA∪t(R)=IA∪R(R傳遞t(R)=R)=r(R)所以r(R)也傳遞。

。。2021/5/916定理設R1、R2是A上關系，如果R1

R2

，則

⑴

r(R1)

r(R2)⑵s(R1)

s(R2)⑶

t(R1)

t(R2)

證明⑴r(R1)=IA∪R1

IA∪R2=

r(R2)⑵，⑶類似可證。定理設R是A上