2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專(zhuān)題13-2 將軍飲馬模型分析

PAGE1第十三章專(zhuān)題2將軍飲馬模型1將軍飲馬如下圖，點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l的同側(cè)，在直線(xiàn)l上取一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.作法作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P.簡(jiǎn)證PA+PB=PA'+PB=A'B，P'A+P'B=P'A'+P'B，因?yàn)镻'A'所以點(diǎn)P為所求點(diǎn).2變形模型（1）如下圖，點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l的異側(cè)，在直線(xiàn)l上取一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.直接連接AB，交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小.（2）如下圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上做點(diǎn)A，B，使得?PAB的周長(zhǎng)最小.作點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1,P2,連接P1P2，交OM，ON于點(diǎn)A（3）如下圖，點(diǎn)P，Q是∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上做點(diǎn)A，B，使得四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小.作點(diǎn)P關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，作點(diǎn)Q關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q'，連接P'Q'，交OM，ON于點(diǎn)A，B，此時(shí)四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小.【題型1】將軍飲馬模型【典題1】如圖，A，B兩個(gè)村莊獨(dú)自從河流l上安裝了兩條灌溉管道AD，BE，AD⊥l于點(diǎn)D，BE⊥l于點(diǎn)E．某水務(wù)局準(zhǔn)備為兩村莊在河流l上重新安裝一臺(tái)大型的抽水設(shè)備灌溉農(nóng)田．通過(guò)測(cè)量，確定在河流l的點(diǎn)P處安裝抽水設(shè)備，則到兩個(gè)村莊鋪設(shè)的管道AP+BP的長(zhǎng)度最短，此時(shí)測(cè)得∠PBE＝30°，DE＝150米，則AP+BP的最小值為()A．180米 B．210米 C．240米 D．300米解析延長(zhǎng)AD到點(diǎn)F，使FD＝AD，連接FP，∵AD⊥l，∴點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，∴FP＝AP，∴AP+BP＝FP+BP，∵AP+BP最短，∴FP+BP最短，∴F、P、B三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，∵BE⊥l，∴AD∥BE，∠ADP＝∠BEP＝90°，∴∠A＝∠F＝∠PBE＝30°，∴AP＝2PD，BP＝2PE，∴AP+BP＝2(PD+PE)＝2DE＝2×150＝300(米)，∴AP+BP的最小值為300米，故選：D．【典題2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，E、F分別是AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為()A．152 B．5 C．3 D．解析在AB上取一點(diǎn)G，使AG＝AF，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴FE＝EG，∴CE+EF＝CE+EG，則最小值時(shí)CG垂直AB時(shí)，CG的長(zhǎng)度，CG＝125故選：D．【典題3】如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝4，射線(xiàn)CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線(xiàn)CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF＝5，則AB的長(zhǎng)為()A．10 B．8 C．7 D．9解析作E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，過(guò)E'作E'F⊥AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)P，連接PE，∴PE＝PE'，∴EP+FP＝PE'+PF≥E'F，此時(shí)EP+FP的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵E'F⊥AB，∴∠FE'B＝30°，∴BE'＝2BF＝2×5＝10，∵BE＝4，CE＝CE'，∴10＝2CE+BE＝2CE+4，∴CE＝3，∴BC＝BE+CE＝4+3＝7，故選：C．【鞏固練習(xí)】1.如圖，直線(xiàn)m是△ABC中BC邊的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)m上一動(dòng)點(diǎn)，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，則△APC周長(zhǎng)的最小值是()A．13 B．14 C．15 D．13.5答案A解析∵直線(xiàn)m垂直平分BC，∴B、C關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線(xiàn)m交AB于D，∴當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+CP的值最小，最小值等于AB的長(zhǎng)，∴△APC周長(zhǎng)的最小值是AB+AC＝6+7＝13．故選：A．2.如圖，△ABC是等腰三角形，底邊BC的長(zhǎng)為6，面積是30，腰AC的垂直平分線(xiàn)EF分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線(xiàn)段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值是()A．11 B．13 C．18 D．24答案B解析連接AM，當(dāng)A、M、D時(shí)，此時(shí)AD⊥BC，△CDM的周長(zhǎng)最小，∵△ABC是等腰三角形，底邊BC的長(zhǎng)為6，面積是30，∴AD＝10，∴△CDM周長(zhǎng)的最小值是：10+3＝13，故選：B．3.如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線(xiàn)，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為()A．15° B．22.5° C．30° D．45°答案C解析過(guò)E作EM∥BC，交AD于N，∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，連接CM交AD于F，連接EF，則此時(shí)EF+CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝12∠ACB故選：C．4.如圖，等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是24，E為腰AB的垂直平分線(xiàn)MN上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則△BDE的周長(zhǎng)的最小值為.答案11解析連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC∵M(jìn)N是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，∴點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長(zhǎng)為BE+ED的最小值，∴△BDE的周長(zhǎng)最短＝(BE+ED)最小+BD=AD+1故選：D．5.如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)C作直線(xiàn)l⊥BC，然后作△ABC關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的△A'B'C，P為線(xiàn)段A'C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，PB，則AP+PB答案4解析如圖，連接B'P，∵△ABC與△A'B'∴△A'∴A'B＝AB＝2，∠A'CB'＝60°，∴∠在△B'CPB'C＝AC＝2，∠B'CP＝∠ACP＝60°，∴△∴B∴AP+PB＝B由三角形的三邊關(guān)系定理、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，即點(diǎn)B，P，B'共線(xiàn)時(shí)，B′P+PB取得最小值，最小值為BB'＝BC+B'C＝2+2＝4，即AP+PB的最小值為4．故選：A．6.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線(xiàn)，垂足為F，與AB相交于點(diǎn)E，連接CE．(1)說(shuō)明：AE＝CE＝BE；(2)若DA⊥AB，BC＝6，P是直線(xiàn)DE上的一點(diǎn)，則當(dāng)P在何處時(shí)，PB+PC最小，并求出此時(shí)PB+PC的值．答案(1)略(2)12解析(1)∵△ADC是等邊三角形，DF⊥AC，∴DF垂直平分線(xiàn)段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝EB，∴AE＝CE＝BE．(2)連接PA，PB，PC．∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴BC＝AE＝EB＝CE＝6．∴AB＝12，∵DE垂直平分AC，∴PC＝AP，∴PB+PC＝PB+PA，∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，也就是PB+PA最小，即P，B，A共線(xiàn)時(shí)最小，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E共點(diǎn)時(shí)，PB+PC的值最小，最小值為12．【題型2】將軍飲馬的變形模型【典題1】如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是()A．120° B．60° C．30° D．90°解析分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，連接P1、P2交OA于M，交OB于N，∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值＝P1P2，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得∠P1OP2＝2∠AOB，∴等腰△OP1P2中，∠O∴∠=180故選：B．【典題2】如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為()A．72° B．36° C．108° D．38°解析作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，A''，連接A'A''，交BC于M，交CD于N，則A'A∵∠DAB＝108°，∴∠HAA′＝72°，∴∠∵∠MA∴∠=2×72∴∠MAN＝36°，故選：B．【鞏固練習(xí)】1.已知∠MON＝40°，P為∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，OM上有一點(diǎn)A，ON上有一點(diǎn)B，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，∠APB的度數(shù)是()A．40° B．100° C．140° D．50°答案B解析分別作點(diǎn)P關(guān)于OM、ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'、P''，連接OP',OP''、P'P''，P'P''交OM、ON由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得，OP∴∠∴∠又∵∠∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故選：B．2.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB=5，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE+EF+FD的最小值是()A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6答案C解析如圖作D關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作D關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接CM，CN，CD，DN，DM，EN，F(xiàn)M．∵∠MCA＝∠DCA，∠BCD＝∠BCN，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠DCN+∠DCM＝180°，∴M、C、N共線(xiàn)，∵DF+DE+EF＝FM+EF+EN，∵FM+EF+EN≥MN，∴當(dāng)F、E、M、N共線(xiàn)時(shí)，且CD⊥AB時(shí)，DE+EF+FD的值最小，最小值＝2CD，∵CD⊥AB，∴1∴CD=3×4∴DE+EF+FD的最小值為4.8．故選：C．3.如圖，△ABD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，若∠ADC＝∠ABC＝90°，則△CEF周長(zhǎng)的最小值為．答案12解析如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接GE，AC，HF，DG，BH，則DG＝DC，BC＝BH，∵AD⊥CD，AB⊥BC，∴AD垂直平分CG，AB垂直平分HC，∴CE＝GE，CF＝HF，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AD＝AB，AC＝AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACB(HL)，∴CD＝CB，∴CG＝CH，∴∠G＝∠H＝30°，∴∠DCE＝∠BCF＝30°，∴∠CEF＝∠CFE＝60°＝∠ECF，∴△CEF是等邊三角形，∴AE＝CE＝2DE＝4，∴△CEF周長(zhǎng)＝CE+CF+EF＝4+4+4＝12．故答案為：12．4.已知點(diǎn)P在∠MON內(nèi)．(1)如圖1，點(diǎn)P關(guān)于射線(xiàn)OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G，點(diǎn)P關(guān)于射線(xiàn)ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是H，連接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，則∠GOH＝；②若PO＝5，連接GH，請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)∠MON為多少度時(shí)，GH＝10；(2)如圖2，若∠MON＝60°，A、B分別是射線(xiàn)OM、ON上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠APB的度數(shù)．答案(1)①100°；②10；(2)60°解析(1)①∵點(diǎn)P關(guān)于射線(xiàn)OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G，點(diǎn)P關(guān)于射線(xiàn)ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是H，∴OG＝OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，故答案為：100°；②∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，當(dāng)∠MON＝90°時(shí)，∠GOH＝180°，∴點(diǎn)G，O，H在同一直線(xiàn)上，∴GH＝GO+HO＝10；(2)如圖所示：分別作點(diǎn)P關(guān)于OM、ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′、P″，連接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于點(diǎn)A、B，連接PA、PB，則AP＝AP'，BP＝BP''，此時(shí)△由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得，OP∴∠∴∠∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，同理可得∠BPO=∴∠APB＝30°+30°＝60°．【A組基礎(chǔ)題】1.如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)D，P是直線(xiàn)MN上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值是()A．2 B．3 C．3.5 D．4.5答案B解析如圖，MN是BC的垂直平分線(xiàn)，∴點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng)，∴線(xiàn)段AB與直線(xiàn)MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，∴PA+PC＝AB．∵AB＝3，∴PA+PC的最小值是3．故選：B．2.如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是()A．2.4 B．3 C．4 D．4.8答案D解析如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，∵BD平分∠ABC，∴ME＝MN，∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，∴S∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8．故選：D．3.如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠PCD的度數(shù)是()A．90° B．60° C．45° D．30°答案D解析如圖，連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE≥BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCD＝∠PBC＝30°，故選：D．4.如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)D是它內(nèi)部一點(diǎn)，OD＝m．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為()A．0.5m B．m C．1.5m D．2m答案B解析作D點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，作D點(diǎn)關(guān)于OC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接GH交AO于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)F，連接GO，OH，由對(duì)稱(chēng)性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，最小值為GH，∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，∴∠GOH＝2∠AOC，∵∠AOC＝30°，∴∠GOH＝60°，∴△GOH是等邊三角形，∴GH＝OD，∵DO＝m，∴△DEF周長(zhǎng)的最小值為m，故選：B．5.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分別是邊AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MCN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MCN的大小是()A．50° B．70° C．90° D．100°答案D解析作C點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接EF交AD于N'點(diǎn)，交AB于M∴N∴CN∴此時(shí)△MCN的周長(zhǎng)最小，∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，∴∠BCD＝140°，∵N'E＝N'C，M'F＝∴∠E＝∠N'CE，∠F＝∠M'∵∠E+∠F＝180°﹣∠ECF＝180°﹣140°＝40°，∴∠N'CE+∠M'∴∠即△MCN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MCN為100°．故選：D．6.如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線(xiàn)CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線(xiàn)CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+PF的值最小時(shí)，BF＝7，則AC為．答案10解析∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，過(guò)G作GF⊥AB于F，交CD于P，則此時(shí)，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∴CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故選：A．7.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD＝4，AD是∠BAC的平分線(xiàn)．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是．答案24解析∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AC于點(diǎn)Q，BQ交AD于點(diǎn)P，則此時(shí)PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長(zhǎng)，如圖所示．∵S∴BQ=BC故答案為：2458.如圖，∠AOB＝15°，M是邊OA上的一個(gè)定點(diǎn)，且OM＝12cm，N，P分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值是．答案6解析作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，過(guò)Q作QN⊥OA于N，交OB于P，則此時(shí)PM+PN的值最小，連接OQ，則∠QOB＝∠AOB＝15°，OQ＝OM＝8，PM＝PQ，∠QNO＝90°，∵QN=1∴PM+PN＝PQ+PN＝QN＝6，故答案為：6．9.如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)若∠BAD＝37°，求∠ACB的度數(shù)；(2)若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB時(shí)，求CE的長(zhǎng)；(3)在(2)的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出BP+EP的最小值．答案(1)53°(2)245(3)解析(1)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝37°，∴∠ABC＝53°，∴∠ACB＝53°．(2)∵CE⊥AB，∴1∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，∴CE=24(3)連接PC．∵AD垂直平分線(xiàn)段BC，∴PB＝PC．∴PB+PE＝PE+PC≥CE，∴PE+PB的最小值為245．【B組提高題】1.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，